2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)期末壓軸課-與三角形有關(guān)的角（解析版）

（難）2021-2022學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)期末壓軸課

與三角形有關(guān)的角（解析版）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.（2021?江蘇工業(yè)園區(qū)?七年級月考）如圖，將AABC沿r）E、EF翻折，頂點A,B均

落在點。處，且E4與EB重合于線段EO,若NCDO+NCFO=UO。，則NC的度數(shù)為

【答案】35°.

【分析】

由折疊得/A=/OOE,NB=NFOE,可得四邊形內(nèi)角和可得

360O-ZDOF+ZCDO+ZC+ZCFG>=360°,由NCDO+NCFO=110°,可得

ZA+ZB=110°+ZC由三角形內(nèi)角和可得/A+NB=18（r-NC,構(gòu)造方程

180°-ZC=110°+ZC,解方程即可.

【詳解】

解：由折疊得NB=NFOE,

：.NDOF=NDOE+NFOE=NA+NB,

：.360°-ZDOF+ZCDO+ZC+ZCFO=360°,

,?ZCDO+ZCFO=UO0,

N4+N8=NCDO+ZC+ZCFO=I1O°+ZC,

又?.?NA+NB=180°-NC,

.?.180°-ZC=U00+ZC,

.?.NC=35。，

故答案為35。.

【點睛】

本題考查三角形內(nèi)角和定理、折疊性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和與一元一次方程等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，學(xué)會把條件轉(zhuǎn)化的思想，屬于中考?？碱}型.

2.（2021?全國）如圖，在AABC中，N4CB=90。，ZA<ZB,點。為A8邊上一點

且不與A.B重合，將△AQ?沿CD翻折得到△ECD,直線CE與直線AB相交于點F.若

NA=40。，當(dāng)AOEF為等腰三角形時，ZACD=.

【答案】30?；?5。或60。

【分析】

若AOE尸為等腰三角形，分EF=DF,ED=EF,OE=EF三種情況，利用等腰三角形的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別求解.

【詳解】

解：由翻折的性質(zhì)可知NE=/A=a,NCDE=NADC,

如圖1,

當(dāng)E尸=OF時，則NEOF=NE=a,

,/ZEDF=ZCDE-ZCDB,ZCDB=ZA+ZACD,

：.a^ZADC-(4+/AC。)

=180°-2(Z4+ZACD)

=180°-2(a+NAC￡)),

3

ZACD=90°--x40°=30°,

2

當(dāng)/AC￡>=30。時，△DEF為等腰三角形，

1OAO_/[)FF

當(dāng)ED二EF時，ZEDF=ZEFD=---------------=70°,

???2ZADC=180。+ZEDF=250°,

:.ZADC=125°,

；?ZACD=180°-ZA-ZADC=180°-N4-125。=15。,

?/ZDFE=ZA+ZACFf

，NDFE豐NDEF,

如圖2,

如圖2

當(dāng)DE=EF時，ZEDF=ZEFD=JZA=20°；

ZACF=\80°-ZA-ZEFD=120°,

ZACD=^/4CF=60。；

綜上：當(dāng)/ACO=30。或15。或60。時，△￡>￡：尸為等腰三角形，

故答案為:30?；?5?；?0。.

【點睛】

本題考查翻折變換、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知

識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理.

3.(2021?浙江)如圖，已知“A3C中，ZA=a,如圖：設(shè)/8、NC的兩條三等分角線

分別對應(yīng)交于q，Q則NBOzC=；請你猜想，當(dāng)4、NC同時〃等分時，(〃-1)條

等分角線分別對應(yīng)交于《、烏，…,Q,,則NBO,iC=(用含〃和。的代數(shù)式表示).

【答案】60。+2a魚。￡+幽

3nn

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180。用a表示出(NA8C+NACB),再根據(jù)三等分的定義求出

(NOZBC+NOKB),在AaBc中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)

三角形的內(nèi)角和等于180。用a表示出(/A8C+/ACB),再根據(jù)〃等分的定義求出

(NOUBC+NOMCB),在△?！?由C中，利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解.

【詳解】

解：在AABC中，VZA=a,

:.ZABC+ZACB=\SO°-af

?.?。23和02c分別是NB、NC的三等分線，

222

：./0迎+/02cB=-CZABC+ZACB)=-(180°-a)=120°--a；

333

22

AZBO2C=1800-CZO2BC+ZO2CB)=180°-(120°-ya)=60°+ya；

在AABC中，VZA=af

：.ZABC+ZACB=]SO0-a,

???a-B和OzC分別是NB、zc的〃等分線，

AAOfl-\BC+AOn-\CB=^~(ZABC+ZACB)=^~(180。-。)JOp-l)_,

nnnn

ZBO,MC=180°-(NOZBC+NOMCB)=180°-(180。(〃-1)_("fa)=(n-l)?+180^,

nnnn

故答案為：60。+算，①乂+幽.

3nn

【點睛】

本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，以及三等分線，“等分線的定義,

整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?全國七年級專題練習(xí))如圖，已知AB//CD,點E在兩平行線之間，連接8E,

CE,N4BE的平分線與4EC的平分線的反向延長線交于點尸，若ZBFE=50。，則NC

的度數(shù)是_________

【答案】80。

【分析】

延長FE,交CD于G,過點F作FH〃AB,則FH〃CD,設(shè)/ABF=NEBF=x,

/BEG=/CEG=y,根據(jù)外角的性質(zhì)得出/BEG=/BFE+/EBF,即y=5(T+x,再推出

NBFG=NABF+NCGF,得到NC=130°+x-y,結(jié)合y=50°+x,得出結(jié)果.

【詳解】

解：延長FE,交CD于G,過點F作FH〃AB,則FH〃CD,

VBF和EG分別平分NABE和交BEC,

.,.設(shè)NABF=NEBF=x,ZBEG=ZCEG=y,

,/ZBEG=ZBFE+ZEBF,ZBFE=50°,

y=50°+x,

由平行可得：/ABF=NBFH=x,/CGF=/HFG,

ZBFG=ZABF+ZCGF,

貝ijx+ZCGF=50°,

VZC=180°-ZCEG-ZCGF=180°-y-(50°-x)=130°+x-y,

將y=50°+x代入，

!)ll]ZC=130°+x-(50°+x)=80。.

故答案為：80°.

【點睛】

本題考查平行線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考常考題型.

5.（2021?遼寧鞍山?七年級月考）如圖，已知，把一張長方形紙片A8C。沿EF折疊后功

與8c的交點為G,D、C分別在“、N的位置上.

有以下結(jié)論：Q）EF平分乙MED；②N2=2Z3；③Nl+gz3=90。；④Nl+2N3=180°.其

中一定正確的結(jié)論有.（填序號）

【答案】①②④

【分析】

①根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求解；②根據(jù)長方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得=,

再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解；③無法得到Nl+g23=90。；④根據(jù)平角的定義即

可求解.

【詳解】

解：①由折疊的性質(zhì)可得EF平分NMED,故①正確；

②四邊形ABC。是平行四邊形，

/.AD//BC,

:.ZDEF=Z3,

?.?EF平分NMED,

:.ZDEF=ZMEF,

?.?N2=Z3+ZMEF,

Z2=2Z3,故②正確；

③Nl+g/3=90。，故③錯誤；

?-：ZDEF=Z3,=ZMEF,ZD￡F+ZAffiF+Zl=18O°,

.?.Z1+2Z3=180°,故④正確.

故答案為：①②④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?安徽太和?八年級期末）如圖，已知4。河=30。,乙鉆〃=60。，點尸是射線8M

上一動點（尸不與8重合），當(dāng)NOAP=時，以A、0、8中的其中兩點和尸點為

頂點的三角形是等腰三角形.

【答案】75?；?0?；?20。

【分析】

根據(jù)三角形的定義分以點40,P為頂點的等腰三角形和以點為頂點的等腰三角

形兩種情況，再分別根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理即可得.

【詳解】

ZAOM=30°,ZABM=60°,

ZOAB=ZABM-ZAOM=30°,

由題意，分以卜兩種情況:

（I）以點A,。,P為頂點的等腰三角形，

①當(dāng)NQ4P=NAOM=30°時，AAOP是等腰三角形，

則/OAP-NOAB,

??,點P是射線上一動點，

???此時點P與點B重合，不符題意，舍去；

②當(dāng)NOAP=NOPA時，AAOP是等腰三角形，

則ZOAP=g（180°-ZAOM）=75°；

③當(dāng)NOE4=NA0M=3O。時，AAOP是等腰三角形，

則ZOAP=180°-NOPA-ZAOM=120°；

（2）以點A8,尸為頂點的等腰三角形，

-.■ZABM=60°,

二當(dāng)"BP是等腰三角形時，"BP一定是等邊三角形，

:.ZBAP=60°,

：.ZOAP=ZOAB+NBAP=90°：

綜上，符合條件的NO4P的度數(shù)為75。或90?；?20°,

故答案為：75°或90?；?20。.

【點睛】

本題考查了等腰三角形與等邊三角形的判定、三角形的內(nèi)角和定理，依據(jù)題意，正確分

情況討論是解題關(guān)鍵.

7.（2021?河南濟源?八年級期末）如圖，△A5C的外角NOJ5C、NEC8的角平分線交于

點M,NACZ?的角平分線與5M的反向延長線交于點N,若在△CMN中存在一個內(nèi)角

等于另一個內(nèi)角的2倍，則NA的度數(shù)為

M

【答案】60?；?0。或120。

【分析】

根據(jù)NEC8,ND8C的角平分線交于點/，可求得NM=9(T-g/A,延長CB至F,

根據(jù)8M為A4BC的外角/DBC的角平分線，可得8N是AABC的外角NABF的平分線,

根據(jù)CN平分ZACB,得到N4CB=24VCB,則有4VM=Z/VCB+Z/V,可得

ZABF=Z4CB+2Z/V,可求得NN=；NA；再根據(jù)ZAO/uZACF+ZBCM=；NACB+；/BCE

=90°,分四種情況：①ZMCW=2Z/V=90°；②ZA/C7V=2ZA/=9O0；③ZM=2Z7V；④

ZN=2ZM,分別討論求解即可.

【詳解】

解：???外角NEC3,/￡)3c的角平分線交于點M,

NMCB+NMBC=#ECB+NDBC)

；(180。-NACB+180°-NABC)

-(36O0-ZACB-ZABC)

1[36O0-(18O°+Z>4)]

=l(1800+Z4)

=90°+-ZA

2

ZM=180°-(ZMCB+NMBC)=180°-(90°+gZA)=90°-；ZA；

2

如圖示，延長C8至尸,

M

BM為AABC的外角NDBC的角平分線,

BN是MBC的外角ZABF的平分線，

:.ZABF=2ZNBF,

???CN平分ZAC8,

:&CB=2dCB,

\ZNBF=^NCB+ZN,

..2ZNBF=2ZNCB+2ZN,

Q|]ZABF=Z4CB+2ZZV,

又?.?ZABF=ZACB+ZA,

ZACB+2ZN=ZACB+ZA

.-.ZA=2zJV,即NN二；NA；

ZNCM=ZNCF+ZBCM

=-ZACB+-ZBCE

22

=-xl80°

2

=90。；

如果△CMN中，存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，那么分四種情況：

①ZMGV=247=90°,則NN=45。，ZA=2zW=90°；

?ZMCN=2ZM=<XP,則/M=45。，ZN=45°,ZA=2Z7V=90°；

③ZM=2Z/V,貝l]9（r_；NA=2x；NA,解得ZA=60°；

@ZZV=2ZM,則gzA=2（9（r-；NA）,解得ZA=120°.

綜上所述，ZA的度數(shù)是60?；?0?；?20。.

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)，角平分線定義等知識；

靈活運用三角形的內(nèi)角和定理、外角的性質(zhì)進行分類討論是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?全國八年級專題練習(xí)）等腰AABC中，過點8的直線8。分AABC為兩個等腰

三角形，則頂角為_____度.

1OAO

【答案】36?；颞摶?0?；?08。

【分析】

根據(jù)題意分四種情況畫出圖形，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進行求解.

【詳解】

解：AABC中，AB=AC,

AD=BD,BC=BD,

：.ZA=ZABD,NBDC=/C,

貝IJNGN3002N4,

.??ZA+ZABC+ZC=ZA+2ZA+2ZA=180°,

,ZA=36°；

若AD=BD,BC=CD,

：.ZA=ZABD1NCBD=/CDB,

貝|JNCQB=2NA,

???NA+ZABC+ZC=NA+NA+2ZA+3ZA=180°,

若AD=BD,AD=CDt

：.ZB=ZC=ZBAD=ZCADf

：.ZBAC+ZABC+ZC=180°,

???ZBAD=ZCAD=45°,

：.NBA090。；

^AD=BDfAC=CD,

：.ZB=ZBADfNCAD=NCDA,

則ZCDA=2NBAD,ZC=180°-2ZCAD=180°-4/BAD,

,:NB=NC,

???ZBAD=1800-4ZBADf

：.ZBAD=36°,

：.ZBAC=3ZBAD=\0S°；

1QHO

故答案為：36?；蛞粡S或90?；?08。.

【點睛】

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和與外角，解答此題的關(guān)鍵是要正確畫出

圖形，分情況進行討論.

9.（2021?浙江杭州?）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個

任務(wù)：如圖，有一張三角形紙片43C,NB=30。，ZC=50°,點。是A8邊上的固定

點（8/）＜g48）,請在5c上找一點E,將紙片沿OE折疊為折痕），點8落在點

尸處，使E尸與三角形ABC的一邊平行，則4DE為_______度.

【答案】35。或75。或125°

【分析】

由于E戶不與8c平行，則分E尸〃A8和E尸〃4C,畫出圖形，結(jié)合折疊和平行線的性

質(zhì)求出N8OE的度數(shù).

【詳解】

解：當(dāng)即〃A8時，

NBDE=NDEF,

由折疊可知：NDEF=NDEB,

:.NBDE=NDEB,又/B=30°,

：.NBDE=j(180°-30°)=75°；

當(dāng)EF〃AC時，

如圖，NC=NBEF=5Q。,

由折疊可知：ZBED=ZFED=25°,

ZBDE=180o-ZB=ZB￡D=125°；

如圖，EF//AC,

則NC=NCEF=50。，

由折疊可知：ZBED=ZFED,又NBED+NCED=180。,

則ZCED+50°=180°-ZCED,

解得：ZC￡D=65°,

Z?D￡=ZCED-ZB=65°-30°=35°；

綜上：ZBDE的度數(shù)為35。或75。或125°.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，折疊問題，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，畫

圖圖形推理求解.

10.（2021?蘇州外國語學(xué)校七年級期中）如圖，在“IBC中，ZF=16°,BD、CO分別

平分ZABC、Z4CB,M,N、。分別在DC、BC的延長線上，BE、CE分別平

分NM8C、ZBCN,BF、CF分另U平分NE8C、NECQ,貝！］ZA=

【答案】52°

【分析】

根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出NE,利用三角形內(nèi)角和求出

Z5+Z6+Z1,得到ZMBC+Z/VCB,從而求出NZJ8C+/OC8,再次利用角平分線的定義

和三角形內(nèi)角和得到NA.

【詳解】

解：?;BF、C尸分別平分/EBC、NECQ,

,Z2=Z3+Z4,

vZ3+Z4=Z5+ZF,Z2+Z3+Z4=Z5+Z6+ZE,

即Z2=Z5+NF,2Z2=2Z5+ZE,

.-.2ZF=ZE=32O,

■.■BE,C￡分別平分ZM8C、NBCN,

.-.Z5+Z6=-ZA/BC,N1=、NNCB,

22

.-.Z5+Z6+Zl=i(NMBC+ZNCB),

ZE=180°-(Z5+Z6+Zl)=32°,

Z5+Z6+Z1=148°,

ZMBC+NNCB=2(N5+N6+N1)=296。，

QBD、CD分別平分NABC、ZACH,

ZDBC=-ZABC,ZDCB=-ZACB,

22

；.Z.DBC+NDCB=1800-NMBC+180°-乙NCB=36O°-(Z.MBC+NNC8)=64。，

ZA=180°-(NABC+NACB)=180。-2(NDBC+NDCB)=52°,

故答案為:52°.

【點睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵

是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

二、解答題

11.(2021?東莞市東華初級中學(xué)七年級期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點A(a,b)是第

2

四象限內(nèi)一點，ABJLy軸于8,且B(0,b)是y軸負(fù)半軸上一點，b=16,SAACB=

12

(1)求點4和點8的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點O為線段OA(端點除外)上某一點，過點。作4。垂線交x軸于E,

交直線A3于尸，NEOD、NAFZ)的平分線相交于N,求NON尸的度數(shù)；

(3)如圖2,若點O為線段04(端點除外)上某一點，當(dāng)點。在線段上運動時，過

點O作直線E廠交x軸正半軸于E,交直線48于RNEOD,NAFO的平分線相交

于點N.若記NO。尸=a,請用a的式子表示/ON尸的大小.

圖1圖2

【答案】(1)A的坐標(biāo)為(6,-4),B(0,-4)；(2)45°；(3)

【分析】

(1)先確定8的坐標(biāo)，再利用叉板8的面積求出AB,即可求出點A的坐標(biāo)；

⑵過點N作NM//x軸，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得出NMNO=ZNOC=g

NE。。，NMNF=NNFA=W/AFD,利用三角形的內(nèi)角和，即可得出NON尸的度數(shù);

(3)過點N作NM〃x軸，平行線的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)可得出NMNO=NNOC=g

ZEOD,NMNF=NNFA=WNAFD,利用三角形外角性質(zhì)，即可得出NON尸的度數(shù).

【詳解】

解：⑴..72=16,

.*./?=±4,

(0,b)是y軸負(fù)半軸上一點，

.?.8(0,-4),

軸，SAAOB=12,

二即;,A8X4=12,解得A8=6,

?'A的坐標(biāo)為(6,-4),

(2)如圖1,過點N作NM〃x軸,

,:NM〃x,

：./MNO=/NOC,

?；ON是NEOD的角平分線，

???NMNO=ZNOC=|NE。。，

又,：MN〃AB,

:./MNF=/NFA,

,:FN是NAFD的角平分線，

???NMNF=ZNFA=g/AFD,

?.?A8〃x軸，

；?/OED=/AFD,

?:ED10A,

JNEOO+NA尸￡>=90。，

:?NONF=/MNO+/MNF=g(/EODMAFD)=lx90°=45°.

(3)如圖2,過點N作/VM〃不軸,

：.ZMNO=ZNOC,

「ON是/EOO的角平分線，

NMNO=ZNOC=gNEOD,

又,：MN〃AB,

：.ZMNF=ZNFA,

???FN是NAF。的角平分線，

NMNF=4NFA=』NAFD,

軸，

ZOED=ZAFD,

■:ZODF=ZEOD+ZAFD=a,

:.NONF=NMNO+NMNF=；（NEOD+NAFD）=ga.

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角

和定理和三角形的外角性質(zhì)等知識，靈活運用以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

12.（2021?江蘇沐陽?七年級期末）在AABC中，N班C=100。，ZABC=ZACB,點。在

直線BC上運動（不與點8、C重合），點￡在射線AC上運動，且NADE=NAED,設(shè)

ZDAC=n°.

(1)如圖①，當(dāng)點。在邊8c上，且〃=40。時，貝！|N8AO=。，ZCDE=

(2)如圖②，當(dāng)點。運動到點8的左側(cè)時，其他條件不變，請猜想ZS4D和NCDE的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)當(dāng)點。運動到點C的右側(cè)時，其他條件不變，ZfitW和NC￡?E還滿足(2)中的數(shù)

量關(guān)系嗎？請在圖③中畫出圖形，并給予證明.(畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑)

【答案】(1)60,30；(2)ZBAD=2ZCDE,證明見解析；(3)成立，NBAD=2NCDE,

證明見解析

【分析】

(1)如圖①，將/BAC=100。，N￡>4C=40。代入求出/BAD在

△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理求出NA8C=N4C8=40。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出

ZADC=ZABC+ZBAD=100°,在小ADE中利用三角形內(nèi)角和定理求出

ZADE=ZAED=10°,那么/CDE=ZADC-ZADE=30°；

(2)如圖②，在AABC和△AOE中利用三角形內(nèi)角和定理求出/ABC=/AC8=40。，

ZADE=ZAED=^^.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出”空詈,

再由ND4G/84C得到ZBAD=n-\00°,從而得出結(jié)論/8AO=2NCDE；

(3)如圖③，在△ABC和△AOE中利用三角形內(nèi)角和定理求出NABC=NACB=40。，

ZADE=ZAED=180°~W.根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出ZCDE=ZACD-ZAED=l00°+n,

再由NBAO=NBAC+ND4C得到/54。=100。+〃，從而得出結(jié)論NBAO=2NCQE.

【詳解】

解：(1)ZBAD=ZBAC-ZDAC=\00°-40°=60°.

二?在AABC中，ZBAC=KX)°,NABC=NACB,

：.ZABC=ZACB=40°,

：.ZADC=ZABC+ZBAD=400+60°=100°.

VZDAC=40°,NADE=NAED,

：.ZAD￡=ZAED=70°,

二ZCDE=ZADC-ZADE=100°-70°=30°.

故答案為60,30.

(2)NBAD=2NCDE,理由如下：

如圖②，在△ABC中，NBAC=100。,

ZABC=ZACB=40°.

在AAOE中，ZDAC=n,

??ZADE=ZAED=------,

2

*/NACB=NCDE+NAED,

：.NCOE=NAC8-NAEO=40。?幽■工三竺

22

VZBAC=100°,NDAC=n,

/.ZBAD=/?-100°,

:.ZBAD=2ZCDE.

(3)成立，NBAD=2/CDE,理由如下:

如圖③，在△ABC中，N8ACM00。，

???NABC=NACB=40。,

/.ZACD=140°.

在△AOE中，/DAC=n,

?/人八萬/人zrn180°—〃

??Z.ADE-Z.AED---------,

2

,:ZACD=ZCDE+ZAEDf

：.ZCDE=ZACD-ZAED=140°-18Q°-n=10Q°+n

22

VZBAC=100°,ZDAC=n,

：.ZBAD=\00°+nf

：.NBAD=2NCDE.

【點睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和定理.，三角形外角的性質(zhì)，從圖形中得出相關(guān)角度之間的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

13.(2021凍莞市光明中學(xué))(1)如圖(1)A8〃C￡>,猜想N3PD與NB、NO的關(guān)系，

說出理由.

(2)觀察圖(2),已知AB〃CQ,猜想圖中的NBPQ與NB、N。的關(guān)系，并說明理

由.

(3)觀察圖(3)和(4),已知A8〃C￡>,猜想圖中的N8尸。與NB、NO的關(guān)系，不

需要說明理由.

【答案】(1)N8+/8PO+/D=360。，理由見解析；(2)NBPD=NB+ND,理由見解

析；(3)NBPD=ND-/B或NBPANB-ND,理由見解析

【分析】

(1)過點尸作根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可求解：

(2)首先過點P作由A8〃C￡>,可得尸E〃4B〃C￡>,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)

錯角相等，即可得42=ND,則可求得

(3)由AB〃CD,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得N8PQ

與NB、ND的關(guān)系.

【詳解】

解：(1)如圖(1)過點尸作跖〃AB,

⑴

：.ZB+ZHPE=\SQ0,

■:ABHCD,EF//AB,

J.EF//CD,

：.ZEPD+ZD=\S0°,

：.ZB+ZBPE+ZEPD+ZD=360°,

：.ZB+ZBPD+ZD=360°.

(2)ZBPD=ZB+ZD.

理由：如圖2,過點P作PE〃AB,

Q)

U：AB//CD,

：.PE//AB//CDf

AZ1=ZB,Z2=ZD,

???ZBPD=Z1+Z2=ZB+ZD.

NBPD=ND-NB.

(3)

理由：?:AB〃CD,

.\Z1=ZD,

VZ1=ZB+ZBPD,

:?/D=/B+/BPD,

如圖(4),/BPD=/B-/D.

(4)

理由：'：AB//CD,

：.Z\=ZBf

?：N1=ND+NBPD,

：.NB=/D+NBPD,

即N3PQ=NB-ND.

【點睛】

此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意掌握

平行線的性質(zhì)，注意輔助線的作法.

14.（2021?岳陽市弘毅新華中學(xué)）如圖1,直線MN與直線A5、CD分別交于點￡、F,

N1與N2互補.

（1）試判斷直線A5與直線CZ）的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,NBEF與NEFD的角平分線交于點P,EP與CD交于點G,點"是MN

上一點，且GZ7JLEG,求證：PFHGH.

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接尸“，K是G”上一點使作尸。

平分NEPK,問NHPQ的大小是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值若變化，說明理由.

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）/HPQ的大小不發(fā)生變化，理由見詳解.

【分析】

（1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩條直線平行即可判斷直線AB與直線。平行；

（2）先根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，再根據(jù)N8E尸與NEF。的角平分線交于點

P,可得/EP尸=90°,進而證明PF//GH-

（3）根據(jù)角平分線定義，及角的和差計算即可求得NHPQ的度數(shù)，進而即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：（1）AB〃C￡>,理由如下：

VZ1與22互補，

.,.Zl+Z2=180°,

又；/l=NAEF,N2=NCFE,

/AEF+NC尸E=180°,

：.AB//CD-

（2）由（1）知，AB//CD,

ZBEF+/EFD=180°.

又；NBEF與/EFD的角平分線交于點P,

：.ZFEP+NEFP=1（ZBEF+ZEFD）=90°,

二/EP尸=90°,即EGJ_P尸.

'：GH±EG,

J.PF//GH-.

（3）'：ZPHK=ZHPK,

：.NPKG=2NHPK.

又；GHLEG,

：.ZKPG=90°-ZPKG=90°-2ZHPK.

：.ZEPK=\S00-ZKPG=90°+2ZHPK.

■:PQ平■分4EPK,

：.NQPK=yZEPK=45°+ZHPK.

：.ZHPQ=ZQPK-ZHPK=45°.

:./HPQ的大小不發(fā)生變化.

【點睛】

本題考查了平行線的判定和性質(zhì)、余角和補角，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用角平分線的

定義、平行線的性質(zhì)、余角和補角.

15.（2021?南京玄武外國語學(xué)校七年級月考）（概念認(rèn)識）

如圖①，在NABC中，若N48O=NO8E=NE8C,則BD,BE叫做NA8C的“三

分線其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”.

（問題解決）

（1）如圖②，在AABC中，NA=73。，ZB=42°,若NB的三分線80交AC于

點D,貝|JN8DC=°；

（2）如圖③，在△A5C中，BP、CP分別是NA5c鄰AB三分線和NAC8鄰AC三

分線，且BPLCP,求NA的度數(shù)；

（延伸推廣）

（3）在AABC中，ZACD是AA8C的外角，NB的三分線所在的直線與NACD的

三分線所在的直線交于點P.若N4=a。，NB=?。,直接寫出N8PC的度數(shù).（用

含a、0的代數(shù)式表示）

【答案】（1）87。或101；（2）45°；（3）ga。或（3詈）?；颍ó?dāng)幺）?；颍ㄅc義）。

或§a。.

【分析】

(1)分為兩種情況：當(dāng)8。是“鄰4?三分線”時，當(dāng)8。是“鄰BC三分線”時，根據(jù)三

角形的外角性質(zhì)求出即可；

(2)求出NP8C+/PC8=90。，根據(jù)BP、CP分別是248C鄰4B三分線和乙4cB鄰AC

2?

三分線求出ZPCB=-ZACB,求出NA8C+NAC8=135。，再求出NA

即可；

(3)畫出符合的所有情況，①當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰AC三分線”時，

②當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰AC三分線”時，③當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB

三分線”、“鄰CD三分線”時，④當(dāng)BP和C尸分別是“鄰BC三分線”、“鄰C。三分線”

時，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出答案即可.

【詳解】

解：(1)如圖，

當(dāng)BD是“鄰48三分線”時，

：NA=73。，ZABC=42°,

：.NBOC=/A+/ARD=73°+gx42°=87°；

2

當(dāng)8￡)’是“鄰8c三分線”時，ZBDC=ZA+ZABDf=73°+-x42°=101°；

故答案為：87。或101；

(2)如圖，

?:BP1.CP,

???ZBPC=90°,

???NPBC+NPCB=90°,

?:BP、CP分別是NABC鄰AB三分線和ZACB鄰AC三分線,

22

AZPBC=-ZABCZPCB=-ZACB,

33f

22

J-NA3C+-ZACB=90°,

33

???ZABC+ZACB=135°,

o

AZA=\SO°-(ZABC+ZACB)=180°-135=45°;

(3)分為四種情況：

當(dāng)5尸和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰4C三分線”時,

22

由外角可得：ZPCD=-ZACD=-(a+p),

222

:?/BPC:NPCD-/PBC=-(a+p)--p=ya；

情況二：如圖2,

當(dāng)3尸和CP分別是“鄰三分線”、“鄰AC三分線”時,

22

由外角可知：Z-PCD--ZACD=—(a+p),

...N8PC=/PCZX/PBC=|(a+。)-^0="；，；

情況三：

當(dāng)BP和CP分別是“鄰AB三分線”、“鄰CD三分線”時,

當(dāng)a>p時，如圖3,

：.NBPC=NPCD-NPBC=；(a+p)-|p=^^;

當(dāng)a<0時，如圖4,

由外角及時頂角可得：ZDCE=ZPCB=|ZACD=1(a+p),

:.NBPC=NFBC-NPCB=-p-1(a+p)；

情況四：如圖5,

當(dāng)BP和CP分別是“鄰BC三分線”、“鄰CD三分線”時，

由外角可得：ZPCD=1ZAC￡>=1（a+p）,

:.NBPC=NPCD-NPBC=；（a+p）-1p=1a；

綜合上述：NBPC的度數(shù)是ga?；颍昧耍；颍ㄈ忡郏慊颍ㄌ枺；?a

【點睛】

本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，注意：三角形的一個外角等于

與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用了分類討論思想.

16.（2021?浙江東陽?）如圖1,在A4BC中，ZB=65°,ZBAC=75°,。為AC邊上

一點，分別過點A、。作BC、43的平行線交于點E.

<1）求NE的度數(shù).

（2）點尸為直線AC上的一個動點，過點尸作PF〃AE,且尸連OF.

①如圖2,當(dāng)點尸在點C的右側(cè)，且NP尸。=25。時，判斷OE與。尸的位置關(guān)系，并

說明理由.

②在整個運動中，是否存在點P,使得NPF￡>=2NEO尸？若存在，請求出NPFO的度

數(shù)，若不存在，請說明理由.

130

【答案】（1）65°；（2）?DE±DF,理由見解析；②（?。；?30。

【分析】

（1）利用平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求解即可.

（2）①如圖2中，結(jié)論:DEVDF.過點D作OT〃A￡首先證明/屈公/人后/升/。/。，

推出/EL?F=90唧可.

②存在，當(dāng)點P在點。的左側(cè)時存在.分兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)點P在線段AD上

時，設(shè)交P尸于J.如圖3-2中，當(dāng)點P在線段OA的延長線上時，設(shè)AE交。產(chǎn)于

Q.分別利用平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖1中，

圖1

*：AB〃DE,AE//BC,

；.NADE=NBAC=75Q,ZDAE=ZACBf

ZACB=180°-ZB-ZBAC=\80o-650-75o=40°,

：.ZDAE=ZACB=40°9

：.ZE=180°-ZADE-ZEAD=\80o-40°-75o=65°.

(2)①如圖2中，結(jié)論：DELDF,

理由：過點。作。T〃A￡

*：AE//PF,DT//AE,

：.AE//DT//PF,

：.ZAED=ZTDEfZTDF=ZDFPf

：.ZEDF=ZTDE+Z7DF=65o+25°=90°,

：.DE1DF.

②存在，當(dāng)點P在點。的左側(cè)時存在.

如圖3?1中，當(dāng)點P在線段4。上時，設(shè)。上交PE于J.

???NPJD=NAED=65°,

VZPJD=ZPFD+ZJDFf/PFD=2/EDF,

：.65°=3ZEDF,

：.ZEDF=(—)°,

3

130

：?/PFD=(-)°.

3

如圖3-2中，當(dāng)點。在線段D4的延長線上時，設(shè)AE交OF于Q.

圖3-2

'：PF//AE,

：.ZPFD=ZAQD,

VZAQD=ZAED+ZEDF,ZPFD=2ZEDF,

：.2NEDF=65°+/EDF,

：.NEDF=65°,

：.ZPFD=130°,

綜上所述，NPFD=（亍BO）?；?30。.

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加平行線，利用平行線的性質(zhì)解決問題.

17.（2021?湖南岳陽?七年級期末）（1）如圖1,在三角形ABC中，8平分ZACB,點E

在邊AC上，Z1=Z2,試說明OE與BC的位置關(guān)系，并予以證明；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若NCBD=NCDB,N8E的平分線交AC于點F,連

接BF.求證：NDBF+NDFB=90。；

（3）如圖3,在前面的條件下，若ZA8的平分線與AB、。尸分別交于G、H兩點,

且NBGC=54。，求ZACB的度數(shù).

【答案】（1）DE//BC,證明見解析；（2）證明見解析；（3）72。

【分析】

(1)證明/2=NBCO,可得結(jié)論.

(2)根據(jù)QE〃BC,得到NE￡>8+/O8C=180。，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；

(3)根據(jù)FZUA8,NBGC=54。，得到/OHG=36。，利用外角的性質(zhì)得到

ZFDC+ZHCD=36°,再根據(jù)。尸平分NE￡>C,CG平分NAC。，彳導(dǎo)至1]NEDC=2NFDC,

ZACD=2ZHCD,得至ljNEOC+/ACD=2(NFDC+NHCD)=108°,利用三角形內(nèi)角和

為180。，ZD￡C=180°-(ZEDC+ZACD)=180°-108°=72°,再利用平行線的性質(zhì)求出

ZACB.

【詳解】

解：(1)結(jié)論：DE//BC.

理由：如圖1中，

：.Z\=ZBCD,

VZ1=Z2,

N2=/BCD,

J.DE//BC.

(2)證明：如圖2中,

：.ZEDB+ZDBC=\S00,

：.ZEDF+ZFDC+ZCDB+ZDBC=\S00,

■:/CDB=NDBC,/EDF=/FDC,

：.2ZFDC+2ZCDB=180°,

???ZFDC+ZCDB=90°,

:.FDtBD,

：.ZDBF+DFB=90°.

(3)如圖3中，

VZBGC=54°,FDLBD,

：./DHG=36。,

:./FDC+/HCD=36。,

???￡)"平分NEO。，CG平分NACD,

:?/EDC=2/FDC,NACD=2NHCD,

：.ZEDC+ZACD=2(NFDC+NHCD)=72°,

AZDEC=180°-(ZEDC+ZACD)=180°-72°=108°,

■:DE〃BC,

：.ZACB+ZDEC=180°,

:.ZACB=72°.

【點睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形

內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系.

18.(2021?安徽阜南?七年級期末)如圖1,點E是直線AB,CD內(nèi)部一點，ABHCD,

連接￡4ED.

(1)探究猜想：

①若NEA5=22。，ZEDC=61°9則的度數(shù)為;

②若N￡A5=32。，N￡DC=45。，則NA￡0的度數(shù)為；

③猜想圖1中N4￡。、NEAB、NEOC之間的關(guān)系并說明理由.

(2)￡F隔開的兩個區(qū)域(不含邊界)，點尸是位于以上兩個區(qū)域內(nèi)的點，連接PE,PR

猜想NPEB、NPFC、NEPF1之間的關(guān)系（不要求寫出過程）.

圖2

【答案】（1）①83。；②77。；③NAED=NEAB+NEDC,理由見解析；（2）點尸在區(qū)

域①時，ZEPF=360°-（NPEB+NPFC）；點P在區(qū)域②時，NEPF=NPEB+NPFC；

點P在區(qū)域③時，NEPF=ZPEB-NPFC；點、P在區(qū)域④時，/EPF=NPFC-NPEB.

【分析】

（1）①根據(jù)圖1,過點E作EF〃AB,利用內(nèi)錯角相等，得到/AE。、NEAB、ZEDC

之間的關(guān)系，代入/E4B,/E￡>C的度數(shù)，計算出/AEO的度數(shù).同理可得②，③的

答案；

（2）利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系以及平行線所形成的同位角、內(nèi)錯角間關(guān)系，得

結(jié)論.

【詳解】

解：（1）①如圖，過點E作所〃48,

,JAB//CD,

：.AB//CD//EF,

ZEAB=22°,ZEDC=6\0,

：.Z1=ZEAB=22°,Z2=ZEZ)C=61°,

.,.ZAED=Z1+Z2=83°；

②過點E作所〃AB,

'."AB//CD,

J.AB//CD//EF,

；/￡48=32°,ZEDC=45°,

：.Z\=ZEAB=32°,Z2=ZE￡>C=45°,

NA￡Z)=Nl+/2=77°；；

③猜想：NAED=NEAB+NEDC.

理由：過點￡作打〃CO,

-AB//DC,：.EF//AB（平行于同一條直線的兩直線平行）,

???N1=NEAB,N2=NEDC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

/.ZAED=Z1+Z2=ZEAB+ZEDC（等量代換）.

（2）根據(jù)題意得:

如圖1,當(dāng)點P在①區(qū)域時，

圖1

*：AB//CD,

AZBEF+ZCFE=180°,

：.ZPEF+ZPFE=(NPEB+NPFC)-180°.

VZPEF+ZPFE+ZEPF=180°,

：.ZEPF=\S00-(NPEF+NPFE)=180。一(ZPEB+ZPFC)+180°=360°-(/PEB

+ZPFC)；

當(dāng)點P在區(qū)域②時，如圖2所示，

,:AB〃CD,

：.ZBEF+ZCFE=\S0°f

,/ZEPF+ZFEP+ZPFE=180°,

???ZEPF=ZPEB+/PFC.

點戶在區(qū)域③時，如圖3所示:

p.

[烹④『

D'-----------------------'C

高

"：AB//CD,

：.ZBEF+ZCFE^]SO°,

"：ZEPF+NFEP+NPFE=180°,

NEPF=NPEB-NPFC；

點戶在區(qū)域④時，如圖4所示：

/.NBEF+ZCFE=180°,

"：ZEPF+ZFEP+ZPFE=180°,

NEPF=ZPFC-NPEB；

綜上所述，點P在區(qū)域①時，ZEPF=360°-(NPEB+NPFC)；

點P在區(qū)域②時，NEPF=ZPEB+ZPFC；

點尸在區(qū)域③時，NEPF=NPEB-NPFC；

點P在區(qū)域④時，NEPF=NPFC-NPEB.

【點睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔

助線，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵.

19.(2021?臺州市書生中學(xué)八年級開學(xué)考試)在中，ZA=70。.

(1)如圖①，AABC.ZACB的平分線相交于點0,貝IJN8OC=。；

(2)如圖②，的外角NCBD、4BCE的平分線相交于點O,,則NBOC=

。.9

(3)探究

探究一：如圖③，AABC的內(nèi)角NA8C的平分線與其外角NA8的平分線相交于點。，

設(shè)ZA=〃。，求N8OC的度數(shù).(用〃的代數(shù)式表示)

探究二：已知，四邊形ABC。的內(nèi)角ZABC的平分線所在直線與其外角/OCE的平分

線所在直線相交于點。，ZA=n°,ZD=nf

①如圖④，若ZA+/O2180。，則N8OC=(用"?、”的代數(shù)式表示)

②如圖⑤，若ZA+/O<180。，則N3OC=(用〃?、〃的代數(shù)式表示)

【答案】(l)125；(2)55；(3)探究一：J〃°；探究二：①g(〃°+"°)-90°；②90°-；(〃°+加°)

【分析】

(1)求出NA8C+/4CB,根據(jù)角平分線定義求出N08C+N0C8,根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求出即可：

(2)根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示

出/O8C與/OC8,然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解：

(3)探究一：根據(jù)提供的信息，根據(jù)三