數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)

§2-2傳遞函數(shù)

用拉氏變換求解微分方程，雖思路清晰,簡單實用,但如果系統(tǒng)參數(shù)改變，特征方程及其解都會隨之改變。要了解參數(shù)變化對系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響，就必須多次計算，方程階次愈高，計算工作量越大，故引入另一種數(shù)?！獋鬟f函數(shù)。它是控制理論中的重要概念和工具，也是經(jīng)典理論中兩大分支—根軌跡和頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)。利用傳遞函數(shù)不必求解微方就可研究初始條件為零的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程。第二章數(shù)學(xué)模型11、定義：對于線性定常系統(tǒng)來說，當(dāng)初始條件為零時，輸入量拉氏變換與輸出量拉氏變換之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型反映了系統(tǒng)自身的動態(tài)本質(zhì)，表達(dá)了傳遞信號的性質(zhì)和能力，故稱它為傳遞函數(shù)。2設(shè)線性定常系統(tǒng)的微方一般形式為：當(dāng)初始條件為零時有：

傳遞函數(shù)(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型3是復(fù)變量s的函數(shù)，故稱為復(fù)放大系數(shù)。

為復(fù)數(shù)，

可見：有了微分方程，可以直接寫出其傳遞函數(shù)，與

c(t)有關(guān)的項為分母，與有關(guān)的項為分子。

傳遞函數(shù)(續(xù))第二章數(shù)學(xué)模型42．性質(zhì)與說明：（1）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式，具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì)，且所有系數(shù)均為實數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型（2）傳函是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達(dá)式，它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與r(t)的形式無關(guān)，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息。5（3）傳函是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的一種數(shù)學(xué)模型而形式上和系統(tǒng)的動態(tài)微方一一對應(yīng)。但只適用于線性系統(tǒng)且初始條件為零的情況下，原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律。傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型6（4）傳函是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，物理性質(zhì)完全不同的系統(tǒng)可以具有相同的傳函。在同一系統(tǒng)中，當(dāng)取不同的物理量作輸入或輸出時，其G(s)一般也不相同，但卻具有相同的分母。該分母多項式稱為特征多項式。(形成的方程叫特征方程）傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型7②指r(t)加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在時的值也為零。傳遞函數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型（5）傳函是在零初始條件下定義的，控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義：①指r(t)是在時才作用于系統(tǒng)，在t=0-

時，

r(t)及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。8例．無源RC網(wǎng)絡(luò)求。解：

傳遞函數(shù)（續(xù)）第二章數(shù)學(xué)模型9（1）零、極點表示法：當(dāng)時，G(s)=0.為傳函的零點。

當(dāng)時，G(s)=為傳函的極點。傳函的表示法：第二章數(shù)學(xué)模型10而——傳遞系數(shù)。(根軌跡中叫根軌跡增益)

(2）時間常數(shù)表示法：其中――放大系數(shù)。第二章數(shù)學(xué)模型11(3)二項式表示法：如為一對共軛復(fù)數(shù)，則有或第二章數(shù)學(xué)模型12系統(tǒng)可能還會有零值極點，若為個，則有：

（4）一般表示法：第二章數(shù)學(xué)模型從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。13⑴首1標(biāo)準(zhǔn)型：⑵

尾1標(biāo)準(zhǔn)型：

14首1標(biāo)準(zhǔn)型尾1標(biāo)準(zhǔn)型增益15關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)；與系統(tǒng)的微分方程有直接聯(lián)系關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式16一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌跡中詳述。傳遞函數(shù)是在零初始條件下建立的，因此，它只是系統(tǒng)的零狀態(tài)模型，有一定的局限性，但它有現(xiàn)實意義，而且容易實現(xiàn)。17四、典型元部件的傳遞函數(shù)1.電位器：將線位移或角位移變換為電壓量。182.電位器電橋：用一對相同的電位器組成誤差檢測器。電位器電橋的輸出電壓為在使用電位器時要注意負(fù)載效應(yīng)，即指在電位器輸出端接有負(fù)載時所產(chǎn)生的影響。193.無源網(wǎng)絡(luò)為了改善系統(tǒng)的性能，常引入圖示的無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件。無源網(wǎng)絡(luò)通常由電阻、電容、電感組成，利用電路理論可方便地求出其動態(tài)方程，對其進(jìn)行拉氏變換即可求出傳遞函數(shù)。這里用直接求的方法。因為電阻、電容、電感的復(fù)阻抗分別為R、1∕Cs、Ls，它們的串并聯(lián)運(yùn)算關(guān)系類同電阻。204.測速發(fā)電機(jī)測速發(fā)電機(jī)是用于測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置.在控制系統(tǒng)中常用的有直流和交流測速發(fā)電機(jī),如圖所示.圖(a)是永磁式直流測速發(fā)電機(jī)的原理線路