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高數(shù)A(1)復(fù)習(xí)資料一、極限計(jì)算:常用方法包括等價(jià)無(wú)窮小替換,洛必達(dá)法則,兩個(gè)重要極限。解題思路:首先判斷是否為未定式,否則化成未定式類型(特別注意冪指函數(shù)情形利用對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化;加減法類型一般通分;如果無(wú)窮多項(xiàng)相加則要先求和,如果不能直接求和可能需要利用夾逼準(zhǔn)則放縮后后再求和;),對(duì)于未定式類型先考慮利用等價(jià)無(wú)窮小替換后再利用洛必達(dá)法則。注意:函數(shù)中如果出現(xiàn)冪指函數(shù)類型也可以考慮直接利用第二個(gè)重要極限處理,注意處理技巧。如果出現(xiàn)變上限函數(shù)類型,注意變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如何計(jì)算,特別是上限為的函數(shù),也就是積分上限函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時(shí)求導(dǎo)要利用鏈?zhǔn)椒▌t;如果積分上限函數(shù)被積函數(shù)不是積分變量的一元函數(shù),則將其他變量提出到積分號(hào)外面,或者利用換元法化到積分限上。常用等價(jià)無(wú)窮?。?,()練習(xí)題:設(shè),則;;.4.5.6.7.二、無(wú)窮小比較:高階,同階,等價(jià)的定義處理思路:轉(zhuǎn)化為求極限問(wèn)題,特別是同階無(wú)窮?。蛔⒁馊绻质綐O限存在,分母為無(wú)窮小量,則分子也一定為無(wú)窮小量。練習(xí)題:1.當(dāng)時(shí),x-sinx是的A,低階無(wú)窮小B,高階無(wú)窮小C,等價(jià)無(wú)窮小D,同階但非等價(jià)無(wú)窮小2.當(dāng)時(shí),比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小量是()3.,求:.三、連續(xù)性間斷點(diǎn)判斷:注意連續(xù)定義和兩類間斷點(diǎn)的區(qū)別,重點(diǎn)在可去,跳躍和無(wú)窮的判斷;處理思路:轉(zhuǎn)化為求極限,特別注意單側(cè)極限不相等情形。練習(xí):求下列函數(shù)的間斷點(diǎn),并判斷其類型(1);[(1)無(wú)窮;(2)跳躍](2)[(1)可去;(2)跳躍]四、導(dǎo)數(shù)計(jì)算:掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義(切線斜率),會(huì)求切線方程和法線方程;掌握求隱函數(shù)和參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)方法;會(huì)求微分。處理思路:求二階導(dǎo)數(shù)時(shí)先求一階,對(duì)于隱函數(shù)的一階可以采用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法或者微分法解決,二階導(dǎo)數(shù)利用定義結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算;參數(shù)方程將參數(shù)視為中間變量化為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),二階導(dǎo)數(shù)結(jié)合定義、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)法則進(jìn)行。微分計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)計(jì)算,但結(jié)果表示時(shí)候注意不要漏掉自變量的微分。練習(xí):1.曲線上對(duì)應(yīng)于t=處的法線方程2.設(shè)函數(shù)由等式所確定,求:。[]3.由確定的隱函數(shù)為,求:。[]4.求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù):[]5.求的微分dy.6.求五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:?jiǎn)握{(diào)性判斷,極值,凹凸區(qū)間,拐點(diǎn)處理思路:對(duì)單調(diào)性+極值問(wèn)題采用一階導(dǎo)數(shù),求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),分割定義區(qū)間,判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào),極限判斷可利用第一充分條件或者第二充分條件;對(duì)凹凸性+拐點(diǎn)問(wèn)題類似,但需要用到二階導(dǎo)數(shù),求二階導(dǎo)數(shù)為0或者不存在的點(diǎn)。注意拐點(diǎn)的定義為點(diǎn)的幾何坐標(biāo),極值點(diǎn)僅為自變量的坐標(biāo)。練習(xí):1.求的極值點(diǎn)與拐點(diǎn).2.求:的(1)單調(diào)性;(2)凹凸性;[(1);(2):凹;]六、積分計(jì)算:處理思路:主要考慮兩種方法,換元或者分部。注意第一換元法被積函數(shù)類型為復(fù)合函數(shù)乘以中間變量導(dǎo)數(shù)類型,若被積函數(shù)里面含有根式則可以考慮第二換元法,如三角代換,無(wú)理式整體代換,倒代換等。如果被積函數(shù)為兩種不同類型的函數(shù)乘積,又不能使用第一換元法,則考慮分部積分。注意:(1)可能換元和分部積分法的結(jié)合使用,另外不定積分不要漏掉常數(shù)C。(2)對(duì)稱性在定積分中的使用,如果積分區(qū)間對(duì)稱,而被積函數(shù)僅僅部分有奇偶性時(shí)候則將利用積分的線性性質(zhì)拆開再利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)。練習(xí):2.3.3.4.5.6.7.[]七、定積分的應(yīng)用:主要是求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積;處理思路:利用微元法推導(dǎo)公式或者熟記相關(guān)公式,注意積分變量的選擇,盡可能選擇計(jì)算簡(jiǎn)單的積分變量;對(duì)于旋轉(zhuǎn)體的體積注意有圓盤法和柱殼法兩種,重點(diǎn)使用圓盤法。練習(xí):求拋物線,圍成的區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積;2.,求,使與直線相切,且與軸所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積達(dá)到最大.3.已知曲線與曲線在點(diǎn)處有公切線,求:(1)常數(shù)及切點(diǎn);(2)兩曲線與軸圍成的平面圖形的面積及繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積[]八、反常積分計(jì)算:處理思路:轉(zhuǎn)化為常義積分+求極限,常義積分的計(jì)算采用換元或者分部。練習(xí):[:發(fā)散]九、一階線性微分方程求通解:處理思路:常數(shù)變易法或者公式;注意線性的判斷,如果關(guān)于不是線性,考慮是否關(guān)于為線性。練習(xí):1.求微分方程滿足的特解.2.[]3.設(shè)連續(xù),且,求:[]十、二階常系數(shù)非齊次微分方程求通解:主要考慮,就是多項(xiàng)式乘指數(shù)函數(shù)類型。處理思路:先求齊次的通解(利用特征方程求根),再判斷非齊次特解的類型(特解類型也是多項(xiàng)式乘指數(shù)類型,關(guān)鍵是多項(xiàng)式的次數(shù)的確定,三種類型:同次,高一次,高二次,與是否為特征方程的根有關(guān)系),然后代入原方程確定相應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)即可。注意:特解求出后可以代入原方程驗(yàn)證是否正確。練習(xí):求微分方程的通解.2.求微分方程的通解.十一、證明題:不等式證明、等式證明處理思路:(1)不等式證明一般采用導(dǎo)數(shù)法,首先將不等式右手邊移項(xiàng),設(shè)出輔助函數(shù)(如果是分式情形最好化成整式情形),然后求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)和端點(diǎn)函數(shù)值(一般為0)推導(dǎo)出不等式。注意如果一階導(dǎo)數(shù)求出后無(wú)法直接判斷其符號(hào),可能要對(duì)一階導(dǎo)數(shù)(也可能是一階導(dǎo)數(shù)中的部分)繼續(xù)求導(dǎo),利用二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷一階導(dǎo)數(shù)符號(hào),然后再利用一階導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)輔助函數(shù)的單調(diào)性。等式證明:對(duì)于證明的存在性的問(wèn)題,一般采用羅爾定理。這里注意兩個(gè)地方:一是輔助函數(shù)的構(gòu)造(根據(jù)證明結(jié)論反推,特別是抽象函數(shù)情形,特別注意類型);二是羅爾定理第三個(gè)條件證明,如果對(duì)于輔助函數(shù)的第三個(gè)條件不好驗(yàn)證(一般是抽象函數(shù)),而已知條件中含有定積分條件,可以考慮利用積分中值定理得到兩點(diǎn)的函數(shù)值相等這個(gè)條件。特別是已知條件中如果包含有定積分,則輔助函數(shù)一般就是被積函數(shù)。注意零點(diǎn)定理也可以證明根的存在性問(wèn)題。但是利用零點(diǎn)定理不需要求導(dǎo),只要利用連續(xù)性就可以,需要判斷兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)。注意如果證明
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