2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題(教師版含解析)_第1頁
2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題(教師版含解析)_第2頁
2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題(教師版含解析)_第3頁
2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題(教師版含解析)_第4頁
2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題(教師版含解析)_第5頁
已閱讀5頁,還剩17頁未讀, 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡介

專題18等腰、等邊三角形問題

專題知識(shí)點(diǎn)概述

一、等腰三角形

1.定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的兩條邊叫腰,第三條邊叫底邊,兩腰的夾角叫頂

角,底邊和腰的夾角叫底角.

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱“等邊對等角”).

性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合(簡稱“三線合一”).

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等,角相等,垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高(頂角平分線或底邊上的中線)所在直線是它的對稱軸,通常情況只有一條對稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對的邊也相等(簡稱“等角對等邊”).

要點(diǎn)詮釋:等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理,是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的

相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

二、等邊三角形

1.定義:三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

2.性質(zhì)

性質(zhì)1:等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°;

性質(zhì)2:等邊三角形是軸對稱圖形,并且有三條對稱軸,分別為三邊的垂直平分線。

3.判定

(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;

(2)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形;

(3)有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

三、解題方法要領(lǐng)

1.等腰(邊)三角形是一個(gè)特殊的三角形,具有較多的特殊性質(zhì),有時(shí)幾何圖形中不存在

等腰(邊)三角形,可根據(jù)已知條件和圖形特征,適當(dāng)添加輔助線,使之構(gòu)成等腰(邊)三角形,然后利用其

定義和有關(guān)性質(zhì),快捷地證出結(jié)論。

2.常用的輔助線有:(1)作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。(2)在三角形的中線問

題上,我們常將中線延長一倍,這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。

3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法,在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊

或角,要對已知的邊和角進(jìn)行討論,分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。

【例題1】(2020?臨沂)如圖,在△A8C中,AB=AC,乙4=40°,CD//AB,則)

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求N4C8,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求N8CD

:在△/BC中,4B=AC,N/=40°,

:.ZACB=10",

':CD//AB,

:.ZJC£>=180°-4=140°,

,NBCD=NACD-NACB=1Q°.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖所示,點(diǎn)D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn)),AD=BD,則下列結(jié)論正確

的是()

A.AC>BCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì):等腰三角形的兩腰相等;等腰三角形的兩個(gè)底角相

等;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.根據(jù)等腰三角形的

兩個(gè)底角相等,由AD=BD得到NA=NABD,所以NABONA,則對各C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷;

根據(jù)大邊對大角可對A、B進(jìn)行判斷.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

/.ZABC>ZA,所以C選項(xiàng)和D選項(xiàng)錯(cuò)誤;

AAOBC,所以A選項(xiàng)正確;B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【例題2](2020?寧波)AffOE和是兩個(gè)全等的等邊三角形,將它們按如圖的方式放置在等邊三角形

48c內(nèi).若求五邊形DEC所的周長,則只需知道()

D,

BGEC

A.△ABC的周長B.△/尸,的周長

C.四邊形尸的周長D.四邊形/DEC的周長

【答案】A

【解析】證明四△CHG(/4S),得出AF=CH.由題意可知BE=FH,則得出五邊形DECHF的周長

=AB+BC,則可得出答案.

:△GF”為等邊三角形,

:.FH=GH,NF”G=60°,

ZAHF+ZGHC=120°,

:△NBC為等邊三角形,

:.AB=BC=AC,ZACB=ZA=6O°,

:.ZGHC+AHGC=\2O°,

NAHF=ZHGC,

:.XAFg△CHG(AAS),

:.AF=CH.

?;△BCE和△FG4是兩個(gè)全等的等邊三角形,

:.BE=FH,

:.五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+4F+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

=AB+BC.

二只需知道△45C的周長即可.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖所示,在等邊三角形ABC的邊BC、AC上分別取點(diǎn)D、E,使BD=CE,AD與BE相交于

點(diǎn)P,則/APE的度數(shù)為°.

【答案】60

【解析】根據(jù)BD=CE可得CD=AE,即可證明△ACD^Z\BAE,得NCAD=NABE,再根據(jù)內(nèi)角和為180。的

性質(zhì)即可解題。

VBD=CE,

.*.BC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD與4BAE中,,NACD=NBAE,

AB=AC

.?.△ACD絲△BAE(SAS),

.,.ZCAD=ZABE,

ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

NABE+/BAE+/AEB=180°,

ZAPE=ZBAE=60°

【例題3】(2020?臺(tái)州)如圖,已知AD=AE,8。和CE相交于點(diǎn)O.

(1)求證:△4BDg"CE;

⑵判斷△8OC的形狀,并說明理由.

A

【答案】見解析。

【分析】⑴由“SAS”可證△48。2△4CE;

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得N/87)=/ZCE,由等腰三角形的性質(zhì)可得/Z5C=/4C8,可求N08C=N

OCB,可得BO=CO,即可得結(jié)論.

【解答】證明:(1);48=/C,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

:.△ABgAACE(SAS);

(2)Z\8OC是等腰三角形,

理由如下:

LABD絲△ACE,

:.NABD=NACE,

'JAB^AC,

:.NABC=ZACB,

:./ABC-NABD=ZACB-NACE,

:./OBC=ZOCB,

:.BO=CO,

二△80。是等腰三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖,已知AC_LBC,BD±AD,AC與BD交于點(diǎn)0,AC=BD.求證:

D

O

A匕---------------------'B

(1)BC=AD;

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】見解析。

【解析】證明:(1):AC_LBC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

AB=BA,

在RtZ\ACB和RtZXBDA中,\'

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

,BC=AD.

(2)由AACB^4BDA,得NCAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】已知:在AABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),DE±AB,DF±BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

且DE=DF.求證:Z\ABC是等邊三角形.

BAFC

【答案】見解析。

【解析】只要證明RtAADE^RtACDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC;

證明:;DE_LAB,DF1BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

?,.ZAED=ZCFD=90°,

:D為AC的中點(diǎn),

;.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中,

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

ABA=BC,VAB=AC,

.?.AB=BC=AC,

/.△ABC是等邊三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖,AABC中,AB=AC,ZA=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足,連接EC.

⑴求NECD的度數(shù);(2)若CE=5,求BC長.

【答案】(D/ECD的度數(shù)是36°;

(2)BC長是5.

【解析】(1):DE垂直平分AC

;.CE=AE,

ZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°,

:.ZB=ZACB=72°,

/.ZBEC=ZA+ZECD=72°,

.\ZBEC=ZB,

:.BC=EC=5.

一、選擇題

1.(2020?聊城)如圖,在△45C中,AB=AC,NC=65°,點(diǎn)。是8c邊上任意一點(diǎn),過點(diǎn)。作。尸〃力8

交4C于點(diǎn)£則/短C的度數(shù)是()

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出N8=NC=65°,由平行線的性質(zhì)得出NCQE=N8=65°,再由三角形

的外角性質(zhì)即可得出答案.

^AB=AC.ZC=65°,

:.ZB=ZC=65°,

?:DF〃AB,

:.ZCDE=ZB=65°,

AZFEC=ZCZ)E+ZC=65°+65°=130°.

2.(2020?南充)如圖,在等腰△力8。中,8。為乙48c的平分線,NZ=36°,AB=AC=a,BC=b,則CO

=()

a+ba-b

A.1B.C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出8。=8。=力。,進(jìn)而解答即可.

?.?在等腰△48C中,8。為NR8C的平分線,N4=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=N4

:?BD=AD,

:./BDC=NA+NABD=T10=ZC,

:,BD=BC,

u:AB=AC=a,BC=b,

:.CD=AC-AD=a-b

3.(2020?徐州)如圖,48是。。的弦,點(diǎn)。在過點(diǎn)8的切線上,OC_LO4OC交AB于點(diǎn)、P.若NBPC=

70°,則NZ3C的度數(shù)等于()

A

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用對頂角相等和互余得到NZ=20°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到N。從l=/Z=20°,然

后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBLBC,從而利用互余計(jì)算出N/8C的度數(shù).

':OC±OA,:.ZAOC=90C,,

,:NAPO=NBPC=7Q°,AZA^90°-70°=20°,

":OA=OB,:.ZOBA=ZA=20),,

,.?8C為。。的切線,J.OBLBC,:.NOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等邊三角形的邊長為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到三邊的距離之和為

()

A.返B.0返C.aD.不能確定

222

【答案】B

【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),根據(jù)三角形的面積求點(diǎn)P到三邊的距離之和等于等

邊三角形的高是解題的關(guān)鍵,作出圖形更形象直觀.

作出圖形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長,再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到

三邊的距離之和等于高線的長度,從而得解.

D,

如圖,???等邊三角形的邊長為3,

高線AH=3X返=2^5.,

22

SA"C」B£>AH」AB?PD+LBC?PE+LJPF,

2222

J-X3?AH=Lx3?PD+Lx3?PE+Lx3?PF,

2222

,PD+PE+PF=AH=&fi,

2

即點(diǎn)p到三角形三邊距離之和為3返.

2

5.(2019?浙江衢州)“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能

三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成,兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)動(dòng),C點(diǎn)固

定,OC=CD=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動(dòng),若NBDE=75°,則/CDE的度數(shù)是()

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì),等腰上角形的性質(zhì)。

<?,OC=CD=DE,

:.ZO=ZODC,NDCE=NDEC,

設(shè)NO=/OE>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

???ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

?:/BDE=W,

:.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BP大+180。?4%+75。=180。,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.(2019?湖南長沙)如圖,我心/BC中,ZC=90°,Z5=30°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)8為圓心,大于?8的長

為半徑作弧,兩弧相交于M、N兩點(diǎn),作直線交BC于點(diǎn)、D,連接則NC4。的度數(shù)是()

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△48。中,;NB=30°,ZC=90°,

.,.N8/C=180°-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MN為AB的中垂線,

:.DA=DB,

:.NDAB=NB=3Q°,

:.ZCAD=ZBAC-NDAB=3Q°

二、填空題

7.(2020?臺(tái)州)如圖,等邊三角形紙片N8C的邊長為6,E,尸是邊5c上的三等分點(diǎn).分別過點(diǎn)£尸沿著

平行于84C4方向各剪一刀,則剪下的△OEF的周長是—.

【答案】6

【解析】根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求所的長,再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

?.?等邊三角形紙片/8C的邊長為6,E,尸是邊BC上的三等分點(diǎn),

:.EF=2,

■:DE//AB,DF//AC,

.?.△QEF是等邊三角形,

二剪下的△£)£尸的周長是2X3=6.

8.(2020?牡丹江)如圖,在RtzXXBC中,CA=CB,又是ZB的中點(diǎn),點(diǎn)。在創(chuàng)/上,AEVCD,BFVCD,

垂足分別為E,F,連接則下列結(jié)論中:

①BF=CE;

②NAEM=NDEM;

(3)AE-CE=五ME;

④。冉/)/=2。序;

⑤若4E平分/8/C,則EF:BF=y/2:1;

⑥CF?DM=BM,DE,

正確的有.(只填序號(hào))

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】證明△8CF絲△C4E,得到8F=CE,可判斷①;再證明絲△CEM,從而判斷為等

腰直角三角形,得至UE尸=近百%可判斷③,同時(shí)得到NM£F=NMFK=45°,可判斷②;再證明△。尸W

QXNEM,得到為等腰直角三角形,得到。N=&,DM,可判斷④;根據(jù)角平分線的定義可逐步

EFEFEF\[2EM/—

推斷出DE=EM,再證明得到DE=CE,則有——=—=——=--------=、2,從而判斷

BFCEDEDE

…CMDM

⑤;最后證明△CZM/S/OE,得到——=——,結(jié)合aw=CA/,AE=CF,可判斷⑥.

【解析】VZACB=90°,

;.NBCF+NACE=90°,

■:NBCF+NCBF=9Q°,

ZACE=ZCBF,

又,;NBFD=90°^ZAEC,AC=BC,

:./\BCF^^CAE(AAS),

:.BF=CE,故①正確;

由全等可得:AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF=CE=EF,

連接FM,CM,

:點(diǎn)M是18中點(diǎn),

:.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8。尸和△COW中,NBFD=NCMD,2BDF=2CDM,

:.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

:.ABFM經(jīng)△CEM{SAS),

:.FM=EM,ZBMF=ZCME,

,:NBMC=90°,

:.ZEMF=90°,即為等腰直角三角形,

:.EF=\[2EM=AE-CE,故③正確,NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

;.NMEF=NAEM=45°,故②正確,

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)、N,連接

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

/\DFM^/\NEM(ASA),

:.DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N為等腰直角三角形,

:.DN=y/2DM,而NDE4=90°,

DE2+DF2^DN2=2DM2,故④正確;

':AC^BC,NACB=90°,

AZCAB=45<:,

,.1E平分/8/C,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5

?;NDEM=45°,

AZEMD=67.5°,BPDE=EM9

?;AE=AE,NAED=NAEC,ZDAE=ZCAE,

:.△4DEq4ACE(ASA),

:.DE=CE,

?/AMEF為等腰直角三角形,

:.EF=?EM,

EFEFEF五EM

故⑤正確;

BF~CE~DE~DE

■:NCDM=NADE,NCMD=/AED=90°,

:?叢CDMSADE,

.CDCMDM

**AD~AE~DE'

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

?.=,

CFDE

:?CF*DM=BM,DE,故⑥正確。

B

9.如圖所示,D是等邊AABC的AC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長線上,DE=DB,4ABC的周長是9,則

ZE=°,CE=.

【答案】30;-

2

【解析】由aABC為等邊三角形,且BD為邊AC的中線,根據(jù)"三線合一”得到BD平分/ABC,而NABC

為60°,得到NDBE為30°,又因?yàn)镈E=DB,根據(jù)等邊對等角得到NE與NDBE相等,故/E也為30°;

由等邊三角形的三邊相等且周長為9,求出AC的長為3,且/ACB為60",根據(jù)/ACB為ADCE的外角,

根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和,求出/CDE也為30°,根據(jù)等角對等邊得到CD=CE,

都等于邊長AC的一半,從而求出CE的值

解:???△ABC為等邊三角形,D為AC邊上的中點(diǎn),

.??BD為NABC的平分線,且NABC=60。,

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.*.ZE=ZDBE=30",

?.?等邊^(qū)ABC的周長為9,.,.AC=3,且/ACB=60°,

AZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

.,?CD=CE=-AC=-.

22

10.(2019黑龍江綏化)如圖,在4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上,且BD=BC=AD,則NA=度.

【答案】16

【解析】VBD=AD,TSZA=ZABD=X,.\ZBDC=2X,VBD=BC,ZC=ZBDC=2X,VAB=AC,.,.ZABC=ZC

=2x,.*.x+2x+2x=180°,.\x=36°.

三、解答題

11.(2020?紹興)問題:如圖,在中,R4=8D在8。的延長線上取點(diǎn)E,C,作△/£C,使E4=£C.若

NB4E=90°,ZB=45°,求/。4c的度數(shù).

答案:ND4c=45°.

思考:(1)如果把以上“問題”中的條件“/8=45°”去掉,其余條件不變,那么乙D/C的度數(shù)會(huì)改變嗎?

說明理由.

(2)如果把以上“問題”中的條件“N8=45°”去掉,再將“/BAE=90。”改為“/BAE=n°”,其余條

件不變,求NQ4C的度數(shù).

【答案】見解析。

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/X£C=2NC,①求得ND/E=90°-/BAD=90°-(45°+ZC)

=45°-ZC,②由①,②即可得到結(jié)論;

(2)設(shè),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】(1)ND4c的度數(shù)不會(huì)改變:

,:EA=EC,

;.NAED=2NC,①

VZBAE=90°,

/.ZBAD=^[180°-(90°-2/。]=45°+NC,

:.ZDAE=90°-NB4D=90°-(45°+NC)=45°-ZC,@

由①,②得,ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°;

(2)設(shè),

則N840=1(18O。-m°)=90°-1/M°,ZJEB=180°-n°-tn,

AZDAE=n°-ABAD=n°-90°+1/n°,

,;EA=EC,

1ii

:.ZCAE=^^AEB=90°一如。--m°,

1

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評論

0/150

提交評論