2021年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題18 等腰、等邊三角形問題（教師版含解析）

專題18等腰、等邊三角形問題

專題知識(shí)點(diǎn)概述

一、等腰三角形

1.定義：兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂

角，底邊和腰的夾角叫底角.

2.等腰三角形的性質(zhì)

性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡稱“等邊對等角”）.

性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.

3.等腰三角形的性質(zhì)的作用

性質(zhì)1證明同一個(gè)三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個(gè)重要依據(jù).

性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等.

4.等腰三角形是軸對稱圖形

等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸.

5.等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.

要點(diǎn)詮釋：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的

相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.

二、等邊三角形

1.定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.

2.性質(zhì)

性質(zhì)1：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°；

性質(zhì)2：等邊三角形是軸對稱圖形，并且有三條對稱軸，分別為三邊的垂直平分線。

3.判定

（1）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

（2）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形；

（3）有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。

三、解題方法要領(lǐng)

1.等腰（邊）三角形是一個(gè)特殊的三角形，具有較多的特殊性質(zhì)，有時(shí)幾何圖形中不存在

等腰（邊）三角形，可根據(jù)已知條件和圖形特征，適當(dāng)添加輔助線，使之構(gòu)成等腰（邊）三角形，然后利用其

定義和有關(guān)性質(zhì)，快捷地證出結(jié)論。

2.常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問

題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關(guān)中線的問題。

3.分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊

或角，要對已知的邊和角進(jìn)行討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)一般是根據(jù)邊是腰還是底來分類。

【例題1】（2020?臨沂）如圖，在△A8C中，AB=AC,乙4=40°,CD//AB,則）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】D

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求N4C8,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求N8CD

:在△/BC中，4B=AC,N/=40°,

：.ZACB=10",

'：CD//AB,

：.ZJC￡>=180°-4=140°,

，NBCD=NACD-NACB=1Q°.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，點(diǎn)D是△ABC的邊AC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），AD=BD,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.AC>BCB.AC=BCC.ZA>ZABCD.ZA=ZABC

【答案】A

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等；等腰三角形的兩個(gè)底角相

等；等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.根據(jù)等腰三角形的

兩個(gè)底角相等，由AD=BD得到NA=NABD,所以NABONA,則對各C、D選項(xiàng)進(jìn)行判斷；

根據(jù)大邊對大角可對A、B進(jìn)行判斷.

VAD=BD,

,ZA=ZABD,

/.ZABC>ZA,所以C選項(xiàng)和D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

AAOBC,所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

【例題2]（2020?寧波）AffOE和是兩個(gè)全等的等邊三角形，將它們按如圖的方式放置在等邊三角形

48c內(nèi).若求五邊形DEC所的周長，則只需知道（）

D,

BGEC

A.△ABC的周長B.△/尸，的周長

C.四邊形尸的周長D.四邊形/DEC的周長

【答案】A

【解析】證明四△CHG(/4S),得出AF=CH.由題意可知BE=FH,則得出五邊形DECHF的周長

=AB+BC,則可得出答案.

：△GF”為等邊三角形，

：.FH=GH,NF”G=60°,

ZAHF+ZGHC=120°,

：△NBC為等邊三角形，

：.AB=BC=AC,ZACB=ZA=6O°,

：.ZGHC+AHGC=\2O°,

NAHF=ZHGC,

：.XAFg△CHG(AAS),

：.AF=CH.

?；△BCE和△FG4是兩個(gè)全等的等邊三角形，

：.BE=FH,

：.五邊形DECHF的周長=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+4F+BE+DF,

=(BD+DF+AF)+(CE+BE),

=AB+BC.

二只需知道△45C的周長即可.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖所示，在等邊三角形ABC的邊BC、AC上分別取點(diǎn)D、E,使BD=CE,AD與BE相交于

點(diǎn)P,則/APE的度數(shù)為°.

【答案】60

【解析】根據(jù)BD=CE可得CD=AE,即可證明△ACD^Z\BAE,得NCAD=NABE,再根據(jù)內(nèi)角和為180。的

性質(zhì)即可解題。

VBD=CE,

.*.BC-BD=AC-CE,

即CD=AE,

'CD=AE

在4ACD與4BAE中，，NACD=NBAE,

AB=AC

.?.△ACD絲△BAE(SAS),

.,.ZCAD=ZABE,

ZCAD+ZAPE+NAEB=180°,

NABE+/BAE+/AEB=180°,

ZAPE=ZBAE=60°

【例題3】(2020?臺(tái)州)如圖，已知AD=AE,8。和CE相交于點(diǎn)O.

(1)求證：△4BDg"CE；

⑵判斷△8OC的形狀，并說明理由.

A

【答案】見解析。

【分析】⑴由“SAS”可證△48。2△4CE；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得N/87)=/ZCE,由等腰三角形的性質(zhì)可得/Z5C=/4C8,可求N08C=N

OCB,可得BO=CO,即可得結(jié)論.

【解答】證明：(1)；48=/C,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

：.△ABgAACE(SAS)；

(2)Z\8OC是等腰三角形，

理由如下：

LABD絲△ACE,

：.NABD=NACE,

'JAB^AC,

：.NABC=ZACB,

：./ABC-NABD=ZACB-NACE,

：./OBC=ZOCB,

：.BO=CO,

二△80。是等腰三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖，已知AC_LBC,BD±AD,AC與BD交于點(diǎn)0,AC=BD.求證:

D

O

A匕---------------------'B

(1)BC=AD；

(2)A0AB是等腰三角形.

【答案】見解析。

【解析】證明：(1)：AC_LBC,BD1AD,

/.ZD=ZC=90°.

AB=BA,

在RtZ\ACB和RtZXBDA中，\'

AC=BD,

.,.△ACB^ABDA(HL).

，BC=AD.

(2)由AACB^4BDA,得NCAB=/DBA,

...△OAB是等腰三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】已知：在AABC中，AB=AC,D為AC的中點(diǎn)，DE±AB,DF±BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

且DE=DF.求證：Z\ABC是等邊三角形.

BAFC

【答案】見解析。

【解析】只要證明RtAADE^RtACDF,推出NA=/C,推出BA=BC,又AB=AC,即可推出AB=BC=AC；

證明：；DE_LAB,DF1BC,垂足分別為點(diǎn)E,F,

?,.ZAED=ZCFD=90°,

：D為AC的中點(diǎn)，

；.AD=DC,

在RtAADE和RtACDF中，

[AD=DC

IDE=DF'

ARtAADE^RtACDF,

.*.ZA=ZC,

ABA=BC,VAB=AC,

.?.AB=BC=AC,

/.△ABC是等邊三角形.

【對點(diǎn)練習(xí)】如圖，AABC中，AB=AC,ZA=36°,AC的垂直平分線交AB于E,D為垂足，連接EC.

⑴求NECD的度數(shù)；（2）若CE=5,求BC長.

【答案】（D/ECD的度數(shù)是36°；

（2）BC長是5.

【解析】（1）：DE垂直平分AC

；.CE=AE,

ZECD=ZA=36°

(2)VAB=AC,ZA=36°，

：.ZB=ZACB=72°,

/.ZBEC=ZA+ZECD=72°,

.\ZBEC=ZB,

:.BC=EC=5.

一、選擇題

1.（2020?聊城）如圖，在△45C中，AB=AC,NC=65°,點(diǎn)。是8c邊上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作。尸〃力8

交4C于點(diǎn)￡則/短C的度數(shù)是（）

A.120°B.130°C.145°D.150°

【答案】B

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得出N8=NC=65°,由平行線的性質(zhì)得出NCQE=N8=65°,再由三角形

的外角性質(zhì)即可得出答案.

^AB=AC.ZC=65°,

：.ZB=ZC=65°,

?:DF〃AB,

：.ZCDE=ZB=65°,

AZFEC=ZCZ)E+ZC=65°+65°=130°.

2.（2020?南充）如圖，在等腰△力8。中，8。為乙48c的平分線，NZ=36°,AB=AC=a,BC=b,則CO

=()

a+ba-b

A.1B.C.a-bD.b-a

22

【答案】C

【解析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定得出8。=8。=力。，進(jìn)而解答即可.

?.?在等腰△48C中，8。為NR8C的平分線，N4=36°,

AZABC=ZC=2ZABD=72°,

AZABD=36°=N4

:?BD=AD,

:./BDC=NA+NABD=T10=ZC,

:,BD=BC,

u：AB=AC=a,BC=b,

：.CD=AC-AD=a-b

3.（2020?徐州）如圖，48是。。的弦，點(diǎn)。在過點(diǎn)8的切線上，OC_LO4OC交AB于點(diǎn)、P.若NBPC=

70°,則NZ3C的度數(shù)等于（）

A

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】B

【解析】先利用對頂角相等和互余得到NZ=20°,再利用等腰三角形的性質(zhì)得到N。從l=/Z=20°,然

后根據(jù)切線的性質(zhì)得到OBLBC,從而利用互余計(jì)算出N/8C的度數(shù).

'：OC±OA,：.ZAOC=90C，,

,:NAPO=NBPC=7Q°,AZA^90°-70°=20°,

"：OA=OB,：.ZOBA=ZA=20),,

,.?8C為。。的切線，J.OBLBC,：.NOBC=90°,AZABC=90°-20°=70°.

4.已知等邊三角形的邊長為3,點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為

()

A.返B.0返C.aD.不能確定

222

【答案】B

【解析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的面積求點(diǎn)P到三邊的距離之和等于等

邊三角形的高是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀.

作出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出高AH的長，再根據(jù)三角形的面積公式求出點(diǎn)P到

三邊的距離之和等于高線的長度，從而得解.

D,

如圖，???等邊三角形的邊長為3,

高線AH=3X返=2^5.,

22

SA"C」B￡>AH」AB?PD+LBC?PE+LJPF,

2222

J-X3?AH=Lx3?PD+Lx3?PE+Lx3?PF,

2222

,PD+PE+PF=AH=&fi,

2

即點(diǎn)p到三角形三邊距離之和為3返.

2

5.（2019?浙江衢州）“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的。借助如圖所示的“三等分角儀”能

三等分任一角。這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA,OB組成，兩根棒在。點(diǎn)相連并可繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)固

定，OC=CD=DE,點(diǎn)、D,E可在槽中滑動(dòng)，若NBDE=75°,則/CDE的度數(shù)是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】D

【解析】考點(diǎn)是三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)，等腰上角形的性質(zhì)。

<?,OC=CD=DE,

：.ZO=ZODC,NDCE=NDEC,

設(shè)NO=/OE>C=x,

:.ZDCE=ZDEC=2xf

???ZCDE=180°-ZDCE-ZDEC=180°-4x,

?:/BDE=W,

：.ZODC+ZCDE+ZBDE=180°,

BP大+180。?4%+75。=180。,

解得:x=25°,

ZCDE=180°-4x=80°.

6.（2019?湖南長沙）如圖，我心/BC中，ZC=90°,Z5=30°,分別以點(diǎn)/和點(diǎn)8為圓心，大于?8的長

為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線交BC于點(diǎn)、D,連接則NC4。的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】在△48。中，；NB=30°,ZC=90°,

.,.N8/C=180°-ZB-ZC=60°,

由作圖可知MN為AB的中垂線，

：.DA=DB,

:.NDAB=NB=3Q°,

：.ZCAD=ZBAC-NDAB=3Q°

二、填空題

7.（2020?臺(tái)州）如圖，等邊三角形紙片N8C的邊長為6,E,尸是邊5c上的三等分點(diǎn).分別過點(diǎn)￡尸沿著

平行于84C4方向各剪一刀，則剪下的△OEF的周長是—.

【答案】6

【解析】根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求所的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

?.?等邊三角形紙片/8C的邊長為6,E,尸是邊BC上的三等分點(diǎn)，

:.EF=2,

■:DE//AB,DF//AC,

.?.△QEF是等邊三角形，

二剪下的△￡）￡尸的周長是2X3=6.

8.（2020?牡丹江）如圖，在RtzXXBC中，CA=CB,又是ZB的中點(diǎn)，點(diǎn)。在創(chuàng)/上，AEVCD,BFVCD,

垂足分別為E,F,連接則下列結(jié)論中：

①BF=CE；

②NAEM=NDEM；

（3）AE-CE=五ME；

④。冉/）/=2。序；

⑤若4E平分/8/C,則EF：BF=y/2：1；

⑥CF?DM=BM,DE,

正確的有.（只填序號(hào)）

【解析】①②③④⑤⑥.

【分析】證明△8CF絲△C4E,得到8F=CE,可判斷①；再證明絲△CEM,從而判斷為等

腰直角三角形，得至UE尸=近百%可判斷③，同時(shí)得到NM￡F=NMFK=45°,可判斷②；再證明△。尸W

QXNEM,得到為等腰直角三角形，得到。N=&,DM,可判斷④；根據(jù)角平分線的定義可逐步

EFEFEF\[2EM/—

推斷出DE=EM,再證明得到DE=CE,則有——=—=——=--------=、2,從而判斷

BFCEDEDE

…CMDM

⑤；最后證明△CZM/S/OE,得到——=——，結(jié)合aw=CA/,AE=CF,可判斷⑥.

【解析】VZACB=90°,

；.NBCF+NACE=90°,

■:NBCF+NCBF=9Q°,

ZACE=ZCBF,

又,；NBFD=90°^ZAEC,AC=BC,

：./\BCF^^CAE(AAS),

：.BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

：.AE-CE=CF=CE=EF,

連接FM,CM,

:點(diǎn)M是18中點(diǎn),

：.CM=^AB=BM=AM,CMLAB,

在△8。尸和△COW中，NBFD=NCMD,2BDF=2CDM,

：.ZDBF=ZDCM,

又BM=CM,BF=CE,

：.ABFM經(jīng)△CEM{SAS),

：.FM=EM,ZBMF=ZCME,

,:NBMC=90°,

：.ZEMF=90°,即為等腰直角三角形，

：.EF=\[2EM=AE-CE,故③正確，NMEF=NMFE=45°,

VZAEC=90°,

；.NMEF=NAEM=45°,故②正確，

設(shè)AE與CM交于點(diǎn)、N,連接

VZDMF=ZNME,FM=EM,ZDFM=ZDEM=ZAEM=45°,

/\DFM^/\NEM(ASA),

：.DF=EN,DM=MN,

...△ZM/N為等腰直角三角形，

：.DN=y/2DM,而NDE4=90°,

DE2+DF2^DN2=2DM2,故④正確；

'：AC^BC,NACB=90°,

AZCAB=45<:,

,.1E平分/8/C,

AZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5

?；NDEM=45°,

AZEMD=67.5°，BPDE=EM9

?；AE=AE,NAED=NAEC,ZDAE=ZCAE,

：.△4DEq4ACE(ASA),

:.DE=CE,

?/AMEF為等腰直角三角形,

：.EF=?EM,

EFEFEF五EM

故⑤正確;

BF~CE~DE~DE

■:NCDM=NADE,NCMD=/AED=90°,

:?叢CDMSADE,

.CDCMDM

**AD~AE~DE'

■:BM=CM,AE=CF,

.BM_DM

?.=,

CFDE

:?CF*DM=BM,DE,故⑥正確。

B

9.如圖所示，D是等邊AABC的AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長線上，DE=DB,4ABC的周長是9,則

ZE=°,CE=.

【答案】30；-

2

【解析】由aABC為等邊三角形，且BD為邊AC的中線，根據(jù)"三線合一”得到BD平分/ABC,而NABC

為60°,得到NDBE為30°,又因?yàn)镈E=DB,根據(jù)等邊對等角得到NE與NDBE相等，故/E也為30°；

由等邊三角形的三邊相等且周長為9,求出AC的長為3,且/ACB為60",根據(jù)/ACB為ADCE的外角，

根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，求出/CDE也為30°,根據(jù)等角對等邊得到CD=CE,

都等于邊長AC的一半，從而求出CE的值

解：???△ABC為等邊三角形，D為AC邊上的中點(diǎn)，

.??BD為NABC的平分線,且NABC=60。,

BPZDBE=30°,又DE=DB,

.*.ZE=ZDBE=30",

?.?等邊^(qū)ABC的周長為9,.,.AC=3,且/ACB=60°,

AZCDE=ZACB-ZE=30°,即NCDE=NE,

.,?CD=CE=-AC=-.

22

10.（2019黑龍江綏化）如圖，在4ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD,則NA=度.

【答案】16

【解析】VBD=AD,TSZA=ZABD=X,.\ZBDC=2X,VBD=BC,ZC=ZBDC=2X,VAB=AC,.,.ZABC=ZC

=2x,.*.x+2x+2x=180°,.\x=36°.

三、解答題

11.（2020?紹興）問題：如圖，在中，R4=8D在8。的延長線上取點(diǎn)E,C,作△/￡C，使E4=￡C.若

NB4E=90°,ZB=45°,求/。4c的度數(shù).

答案：ND4c=45°.

思考：（1）如果把以上“問題”中的條件“/8=45°”去掉，其余條件不變，那么乙D/C的度數(shù)會(huì)改變嗎？

說明理由.

（2）如果把以上“問題”中的條件“N8=45°”去掉，再將“/BAE=90。”改為“/BAE=n°”,其余條

件不變，求NQ4C的度數(shù).

【答案】見解析。

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/X￡C=2NC,①求得ND/E=90°-/BAD=90°-（45°+ZC）

=45°-ZC,②由①，②即可得到結(jié)論；

（2）設(shè),根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解析】（1）ND4c的度數(shù)不會(huì)改變:

,:EA=EC,

；.NAED=2NC,①

VZBAE=90°,

/.ZBAD=^[180°-(90°-2/。]=45°+NC,

：.ZDAE=90°-NB4D=90°-(45°+NC)=45°-ZC,@

由①，②得，ZDAC=ZDAE+ZCAE=45°；

(2)設(shè),

則N840=1(18O。-m°)=90°-1/M°,ZJEB=180°-n°-tn,

AZDAE=n°-ABAD=n°-90°+1/n°,

,；EA=EC,

1ii

：.ZCAE=^^AEB=90°一如。--m°,

1