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文檔簡介
平面向量
一、單選題
1.向量a,O,c滿足0+力+c=0,aLb9(〃一B)_Lc,貝UM二
()
A.3B.3V2C.2+也~D.1+
22
【答案】D
【解析】
111___
試題分析:由已知。=一(。+〃),V(4Z-/?)±C,/.
rrrrrrrr2r2r2r2內(nèi).r.11
(a—b)?c=-(a—b)?(a+b)=b—a=0,即。=h,所以〃二斗又
所以口=,+]=武+2焉+3=夜口,所以M=l+七+&=1+¥.故選
D.
考點:向量的垂直,向量的數(shù)量積.
2.已知向量入石滿足同=2網(wǎng)可。0,且關(guān)于x的函數(shù)
/(X)=2d+3同陽歷+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,則向量入石的夾角的取值
范圍是()
B.0,|7171
C.嗚D.
【答案】C
【解析】
【分析】
rrr
設(shè)向量3、坂的夾角為。,求出函數(shù)y=/(x)的導數(shù)/(力=6/+6卜卜+6a力,由
題意得出△W0,求出cos。的取值范圍,可得出角。的取值范圍.
【詳解】
rrr
設(shè)向量£、B的夾角為。,由題意可得/'(x)=6『+6ax+6a/,
由于函數(shù)/(x)=2d+3口/+6)鼠+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增,
rrI*
則不等式/'(尤)20在R上恒成立,即不等式f+“X+2a/20在R上恒成立,
則8。)=32州2—16行,『cosOWO,.?.cos6N#.
JT7[
Q0<^<^,:.0<0<-,因此,向量£、行的夾角的取值范圍是0,-,故選:
C.
【點睛】
本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查向量的數(shù)量積,解題的關(guān)鍵是利用
判別式小于等于0在R上恒成立,屬于中檔題,考查了學生分析問題,轉(zhuǎn)化問題,解決
問題的能力.
3.對任意兩個非零的平面向量£和萬,定義£。7=郊.若兩個非零的平面向量a,B
滿足a與B的夾角6G心,工),且。。西行。4都在集合/Z,中,則。。6=
42[2
()
53.1
A.—B.—C.1D.一
222
【答案】D
【解析】
--aba-q-cos^|a|cos6m
試題分析:由定義用。/="=1?居_一=1匕=竺(利。),同理
b-bbb仿|2
揚|cos?!盜r)n|
boa-..——=一("eN),相乘得cos?9----e(0,—)所以只能m=〃=1
P|242
考點:向量的數(shù)量積
4.已知",02為單位向量,且滿足(2弓+02),02=。,則0,02=()
A.30°B.60°C.120°D.150°
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義及乘法運算,即可求得(冢,1)
【詳解】
因為(2耳+e2^-e2=0
,?..2
則2q?e2+02=0
由向量數(shù)量積的定義可得2卜?,e2kos(ex,e2)+同=。
et,e2為單位向量
由向量夾角的取值范圍為[0,180°]
可得怎,0=120。
故選:c
【點睛】
本題考查了向量數(shù)量積的定義,向量的夾角求法,屬于基礎(chǔ)題.
5.設(shè)4,J是平面內(nèi)一組基向量,且£=q+2e2,b~~e1+e2,若'+色=x£+yB,
則x+2y=()
11
A.-B.--C.1D.0
33
【答案】D
【解析】
【分析】
將a=q+202,b=~e{+e2代入q+e2=x£+yB,得到q+02=(x-y)et+(2x+y)e2.
根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等解得x、y.
【詳解】
因為e{+e2=xa+yb-
-—?__,_>
Q=q+2e2,b=-e}+e2,
所以q+g=x(q+2e2)+y(-q+e2)
=(x-y)e]+(2x+y)e2.
x-y=L
由平面向量基本定理,得1
2x+y=1,
,2
X=—9
3
所以4;
M2
故x+2y=—+2X
3
故選D.
【點睛】
此題考查了平面向量基本定理,向量加減法則,屬基礎(chǔ)題,難度較小.
6.已知Z,5,工和2為空間中的4個單位向量,且Z+萬+2=0,則
,_4+忸_4+卜_《不可能等于()
A.3B.2GC.4D.3亞
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)n個向量的和的模不大于n個向量的模的和可推出結(jié)論.
【詳解】
因為卜—力+|?!?忸—-6/+/?-t/+c_</1=|ci+b+c-36/|
而五+B+二=0,
所以忖_4+|5_4+歸_@>|-3<y|=3
因為心5,右,2是單位向量,且4+6+^=0,
所以〃一2,5—,,守一2不共線,
所以,一2|+|6-4+忸一《>3,故選A.
【點睛】
本題主要考查了向量與不等式的關(guān)系,涉及向量的共線問題,屬于難題.
7.已知平面向量〃與分滿足a=(G,l),網(wǎng)=4,且他—25)_L〃,則()
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】
【分析】
對式子:一力進行平方,再將已知條件代入計算求解,即可得答案.
【詳解】
因為Z=(G』),所以/=小
因為(4一2加)_1_4=>(。-24.=0=>24%=.一,
所以卜/-目=a-2a-b+b=4—4+16=16,
所以歸_囚=4.
故選:C
【點睛】
本題考查向量的模的計算、向量數(shù)量積、向量垂直關(guān)系,考查邏輯推理能力和運算求解
能力.
8.已知非零向量荏與而滿足(名:+建工).就=o且3.£—
1皿14cl⑷g2
貝!JAA5C為()
A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的
三角形
【答案】C
【解析】
試題分析:利用單位向量的定義及向量的數(shù)量積為0兩向量垂直,得到等腰三角形;利
用向量的數(shù)量積求出三角形的夾角,得到非等邊三角形.3_、“°
——一■、?—I分別是4C方
AB\AC\-3蛆
^45aC
向的單位向量,向量在/BAC的平分線上,
.IBAC
:'--------
.IBAC=…
7-=-H+i=i3C=0,知,AB=AC,
ABAC-g/CAB=120°,..A.-1BC為等腰非等邊三角形,
故選c
考點:向量在幾何中的應(yīng)用:平面向量的綜合題.
9.已知。為坐標原點,雙曲線。:0-=13>0/>0)的右焦點為F,點A,B
分別在雙曲線。的兩條漸近線上,AF_Lx軸,的.麗<(),四邊形OAEB為梯形,
則雙曲線C離心率的取值范圍是()
【答案】A
【解析】
【分析】
求出A的坐標,然后求解5的坐標,利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.
【詳解】
_____b
解:設(shè)尸(c,O),所以c=>/7壽,直線OB的方程為y=一,x,
直線BE的方程為y=2(x—c),解得8
a
麗=(—;,”],又直線。4的方程為y=2x,
V22aJa
.(bc\—(c3bcy,_.
貝A.'"),B"=15'wd'又因為5O5A<(),
2
所以-£?+3b2c2<0,二」,
44a2a23
???I〈笆
33
故選:A.
【點睛】
本題考查雙曲線的離心率,結(jié)合向量知識,屬于基礎(chǔ)題.
10.已知向量。=(百,1),方=(0,-l),c=(左,百),若3-2b),c,則上=
A.2A/3B.2C.-3D.1
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的坐標運算,求出a-力;由向量垂直的坐標關(guān)系,代入求得k的值.
【詳解】
因為a=^=(0,-1)
所以a-2Z?=(百,3)
因為c=(%,G),若(a-2b)J.c
所以(a-班)t=
代入得6%+3百=0
所以后=一3
所以選C
【點睛】
本題考查了向量的坐標運算,向量垂直時的坐標關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.
11.在AABC中,若瓦=&,就=5,麗=d,且小5=5七=d在,則AABC的形狀
為()
A.等邊三角形B.銳角三角形
C.直角三角形D.鈍角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)向量的運算性質(zhì)得向量的垂直關(guān)系即可判斷
【詳解】
£%=尻"=3£貝|13〃=〃,2,.(£一。=0即仁5_1_百萬(。為4c中點),同理,
BCLAE,ABYCF,(£尸分別為8C,AB中點),故三角形為等邊三角形
故選:A
【點睛】
本小題主要考查向量的數(shù)量積、向量的模、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識,考查運算
求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
12.如下圖所示:在AA3C中,ZABC=120°,45=2,BC=\,D為BC邊上一
點,且。C=23£),則4/583=()
A
4_8_4
A.-D
3~3~3-I
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意,用基向量表示出目標向量,根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求得結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)題意,作圖如下:
根據(jù)題意因為I而卜2,|BC|=1,/ABD=120°,
故可得5A.8C=2x1x(一g)=-l;
—.1一一
又因為AQ=-6C—區(qū)4,
3
故可得而.方=(3團_麗>團=1+1=3.
故選:A.
【點睛】
本題考查用基向量表示平面向量,以及向量的數(shù)量積,屬綜合基礎(chǔ)題.
二、填空題
13.已知平面向量晟[滿足|局=4,1%=4,若(加+〃)-L(加-3〃),則晟〃的夾
角的余弦值為.
【答案】趙
40
【解析】
【分析】
兩個向量垂直,則它們的數(shù)量積為零,由此列方程,可求得兩向量夾角的余弦值.
【詳解】
依題意,(w+n)-(m-3?)=0,故潘一2而%—3片=0,設(shè)嬴的夾角為氏
故16-2x4xV^cos6-15=0,故cos6=^^.
40
【點睛】
本小題主要考查兩個向量垂直的數(shù)量積表示,考查向量數(shù)量積模的運算,屬于基礎(chǔ)題.
14.如圖,某人想要從點力出發(fā)繞陰影部分走一圈,他可按圖中提供的向量行走,則將
這些向量按順序排列為.
【答案】a,e,d,c,b
【解析】
【分析】
找出依次與陰影部分各邊表示的向量相等的向量即可.
【詳解】
若按通,配,①,礪麗的方向行走,由于相等向量的長度和方向相同,則與此5個向
量相等的向量依次為”,e,d,c,6.
若按次而反,國麗的方向行走,與圖中提供的向量方向不同,不合題意.
所以正確的排列順序為2e,d,c,b.
【點睛】
本題考查相等向量的判斷.
15.已知向量。與b的夾角為45°,同=血,網(wǎng)=3,若a+Z?與如+Z?的夾角為銳角,
則實數(shù)我的取值范圍是.
【答案】%>-上12且
5
【解析】
試題分析:ab=\/2-3-cos45=3,由題意得(。+/?)?(生/+份>0且。+人與妨+人不
1?
共線,因此22+9+3(%+1)>0=%>—],且左=因此實數(shù)上的取
值范圍是左>一上且攵
5
考點:向量數(shù)量積
【易錯點睛】La,b的夾角為銳角并不等價于a?b>0,a?b>0等價于a與b夾角為
銳角或0。.
2.依據(jù)兩向量的夾角0求向量坐標中的參數(shù)時,要注意。=0°或180。的情形.其
中cos0°=1>0,cos180°=—K0.
16.已知平面向量4=(2加一1,2)1=(-2,3加一2),且|。+4=,一耳,則5a-3。在
向量a上的投影等于.
【答案】5布
【解析】
由|。+耳=,一.得=02(2加一1)+2(3加-2)=。,解得十=1,二a=(1,2),
a?(5a-3力)25,/r
5a-3b=(11,7),由投影公式可得,所求投影為一向一=忑=5點.
三、解答題
17.若點A(O,1),B(l,0),C(l,2),0(2,1),則A8與CO有什么位置關(guān)系?證明你
的猜想.
【答案】平行,證明見解析
【解析】
【分析】
求出屈,麗的坐標,即可判斷而,麗的關(guān)系,得到AB與CO的位置關(guān)系?
【詳解】
解:AB//CD.
證明如下:因為而=(1,一1),CD=(1,-1),所以麗=麗.
又因為與CO不共線,
所以AB//C0.
【點睛】
本題考查向量的坐標運算,向量共線的判定,屬于基礎(chǔ)題.
18.在AABC中,D為BC的一個三等分點,求證:而=+
【答案】見解析
【解析】
試題分析:由通=通+麗和麗AC+CDAC-2BD,消去而即可
證得.
試題解析:
證明:ADAB+BD=>2而=2而+2而,
AD=AC+CDAC-2BD'
03AD=2AB+AC
2—■1—.
,AD=—A8+—AC.
33
點睛:應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題
(1)只要兩個向量不共線,就可以作為平面的一組基底,平面的基底可以有無窮多
組.在解決具體問題時.,合理地選擇基底會給解題帶來方便.
(2)利用已知向量表示未知向量,實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向
量的加減運算或數(shù)乘運算.
19.設(shè)為平面內(nèi)的四點,且4(1,3),3(2-2),C(4,l)
lUUCti
(I)若通=①,求O點的坐標及卜。卜
(II)設(shè)向量〉=器,{=潴,若妨一石與G+3b平行,求實數(shù)k的值.
IU明.—1
【答案】(I)°(5T);|Ar)|=V65(II)k=-;
【解析】
【分析】
(I)設(shè)O(x,y),由通=C力可構(gòu)造方程解出。點坐標,從而得到明,根據(jù)模長
的定義可求得結(jié)果;(II)利用坐標表示出%-石,江+35,根據(jù)向量共線構(gòu)造方程求
得結(jié)果.
【詳解】
(I)設(shè)0(x,y),則第=(1,一5),明=(x—4,y_l)
1=x—4x=5
由題=6得:,解得:??.0(5,-4)
<-5=y-\y=-4
uuurIUUCTi-------------
AD=(4,-7)=>|AD|=716+49=765
vULTf、VULiy
(ID由題意得:a=AB=(l,-5),b=BC=(2,3)
:.ka-b=(k-2-5k-3),a+3^=(7,4)
(總-;)//1+3力=4(左—2)=7(—5左一3)nk
【點睛】
本題考查向量的坐標運算,涉及到向量相等、向量模長的求解、向量共線定理的應(yīng)用,
屬于基礎(chǔ)題.
20.已知平面向量。=(—1,2),1=(2,加)
(1)若乙石,求收+2年
(2)若m=0,求£+石與夾角的余弦值.
【答案】(1)k+涕|=5(2)叵
65
【解析】
【分析】
⑴由題可得£.B=0,解出加=1,Z+2石=(-1,2)+(4,2)=(3,4),進而得出答案.
iiiinb
(2)由題可得a+6=(l,2),a-b=(-3,2),再由cos,=r[r]計算得出答案,
【詳解】
因為£,歸,3=(—1,2)3=(2,利)
所以Q?〃=0,即-2+2m=0
解得m=1
所以Z+2區(qū)=(-1,2)+(4,2)=(3,4)
,+2&|=^32+42=5
(2)若m=0,則B=(2,0)
所以〃+b=(1,2),a-h=(—3,2)
rrrr-
a+b=5,ci-b=V13,H=-3+4=l
1_V65
所以cose=-r-rrr
a+ba-bV5-V13-65
【點睛】
本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積,屬于簡單題.
-(石)-「20
21.已知向量。=cos0,——,b=sin。,-----
(2)若£,求tan。.
【答案】(1)3;(2)—2或
2
【解析】
【分析】
/八上--/日八八m上sin8+cos8tanO+1
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