2021屆 人教a版 平面向量 單元測試

平面向量

一、單選題

1.向量a,O,c滿足0+力+c=0,aLb9(〃一B)_Lc,貝UM二

()

A.3B.3V2C.2+也~D.1+

22

【答案】D

【解析】

111___

試題分析：由已知。=一(。+〃)，V(4Z-/?)±C,/.

rrrrrrrr2r2r2r2內(nèi).r.11

(a—b)?c=-(a—b)?(a+b)=b—a=0,即。=h,所以〃二斗又

所以口=,+]=武+2焉+3=夜口，所以M=l+七+&=1+￥.故選

D.

考點：向量的垂直，向量的數(shù)量積.

2.已知向量入石滿足同=2網(wǎng)可。0,且關(guān)于x的函數(shù)

/（X）=2d+3同陽歷+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量入石的夾角的取值

范圍是（）

B.0,|7171

C.嗚D.

【答案】C

【解析】

【分析】

rrr

設(shè)向量3、坂的夾角為。，求出函數(shù)y=/(x)的導數(shù)/(力=6/+6卜卜+6a力，由

題意得出△W0,求出cos。的取值范圍，可得出角。的取值范圍.

【詳解】

rrr

設(shè)向量￡、B的夾角為。，由題意可得/'(x)=6『+6ax+6a/,

由于函數(shù)/(x)=2d+3口/+6)鼠+7在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，

rrI*

則不等式/'(尤)20在R上恒成立，即不等式f+“X+2a/20在R上恒成立，

則8。)=32州2—16行,『cosOWO,.?.cos6N#.

JT7[

Q0<^<^,:.0<0<-,因此，向量￡、行的夾角的取值范圍是0,-,故選：

C.

【點睛】

本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是利用

判別式小于等于0在R上恒成立，屬于中檔題，考查了學生分析問題，轉(zhuǎn)化問題，解決

問題的能力.

3.對任意兩個非零的平面向量￡和萬，定義￡。7=郊.若兩個非零的平面向量a,B

滿足a與B的夾角6G心,工)，且。。西行。4都在集合/Z,中，則。。6=

42[2

()

53.1

A.—B.—C.1D.一

222

【答案】D

【解析】

--aba-q-cos^|a|cos6m

試題分析：由定義用。/="=1?居_一=1匕=竺（利。），同理

b-bbb仿|2

揚|cos?！盜r)n|

boa-..——=一("eN),相乘得cos?9----e(0,—)所以只能m=〃=1

P|242

考點：向量的數(shù)量積

4.已知"，02為單位向量，且滿足（2弓+02），02=。，則0,02=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的數(shù)量積定義及乘法運算，即可求得（冢,1）

【詳解】

因為（2耳+e2^-e2=0

,?..2

則2q?e2+02=0

由向量數(shù)量積的定義可得2卜?,e2kos（ex,e2）+同=。

et,e2為單位向量

由向量夾角的取值范圍為[0,180°]

可得怎,0=120。

故選:c

【點睛】

本題考查了向量數(shù)量積的定義，向量的夾角求法,屬于基礎(chǔ)題.

5.設(shè)4,J是平面內(nèi)一組基向量，且￡=q+2e2，b~~e1+e2,若'+色=x￡+yB,

則x+2y=()

11

A.-B.--C.1D.0

33

【答案】D

【解析】

【分析】

將a=q+202，b=~e{+e2代入q+e2=x￡+yB，得到q+02=(x-y)et+(2x+y)e2.

根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等解得x、y.

【詳解】

因為e{+e2=xa+yb-

-—?__,_>

Q=q+2e2，b=-e}+e2,

所以q+g=x(q+2e2)+y(-q+e2)

=(x-y)e]+(2x+y)e2.

x-y=L

由平面向量基本定理，得1

2x+y=1,

，2

X=—9

3

所以4；

M2

故x+2y=—+2X

3

故選D.

【點睛】

此題考查了平面向量基本定理，向量加減法則，屬基礎(chǔ)題，難度較小.

6.已知Z，5，工和2為空間中的4個單位向量，且Z+萬+2=0,則

,_4+忸_4+卜_《不可能等于（）

A.3B.2GC.4D.3亞

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)n個向量的和的模不大于n個向量的模的和可推出結(jié)論.

【詳解】

因為卜—力+|?！?忸—-6/+/?-t/+c_</1=|ci+b+c-36/|

而五+B+二=0，

所以忖_4+|5_4+歸_@>|-3<y|=3

因為心5,右，2是單位向量，且4+6+^=0,

所以〃一2,5—，，守一2不共線，

所以,一2|+|6-4+忸一《>3,故選A.

【點睛】

本題主要考查了向量與不等式的關(guān)系，涉及向量的共線問題，屬于難題.

7.已知平面向量〃與分滿足a=（G,l）,網(wǎng)=4,且他—25）_L〃，則（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】

對式子:一力進行平方，再將已知條件代入計算求解，即可得答案.

【詳解】

因為Z=（G』），所以/=小

因為（4一2加）_1_4=>（。-24.=0=>24%=.一,

所以卜/-目=a-2a-b+b=4—4+16=16,

所以歸_囚=4.

故選：C

【點睛】

本題考查向量的模的計算、向量數(shù)量積、向量垂直關(guān)系，考查邏輯推理能力和運算求解

能力.

8.已知非零向量荏與而滿足（名:+建工).就=o且3.￡—

1皿14cl⑷g2

貝!JAA5C為()

A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的

三角形

【答案】C

【解析】

試題分析：利用單位向量的定義及向量的數(shù)量積為0兩向量垂直，得到等腰三角形；利

用向量的數(shù)量積求出三角形的夾角，得到非等邊三角形.3_、“°

——一■、?—I分別是4C方

AB\AC\-3蛆

^45aC

向的單位向量，向量在/BAC的平分線上,

.IBAC

:'--------

.IBAC=…

7-=-H+i=i3C=0,知，AB=AC,

ABAC-g/CAB=120°,..A.-1BC為等腰非等邊三角形,

故選c

考點：向量在幾何中的應(yīng)用：平面向量的綜合題.

9.已知。為坐標原點，雙曲線。：0-=13>0/>0）的右焦點為F,點A，B

分別在雙曲線。的兩條漸近線上，AF_Lx軸，的.麗<（）,四邊形OAEB為梯形,

則雙曲線C離心率的取值范圍是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

求出A的坐標，然后求解5的坐標，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.

【詳解】

_____b

解：設(shè)尸（c,O）,所以c=>/7壽，直線OB的方程為y=一,x,

直線BE的方程為y=2（x—c）,解得8

a

麗=(—；，”］，又直線。4的方程為y=2x,

V22aJa

.(bc\—(c3bcy,_.

貝A.'"),B"=15'wd'又因為5O5A<()，

2

所以-￡?+3b2c2<0,二」,

44a2a23

???I〈笆

33

故選：A.

【點睛】

本題考查雙曲線的離心率，結(jié)合向量知識，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知向量。=（百,1）,方=（0,-l）,c=（左,百），若3-2b），c,則上=

A.2A/3B.2C.-3D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的坐標運算，求出a-力；由向量垂直的坐標關(guān)系，代入求得k的值.

【詳解】

因為a=^=（0,-1）

所以a-2Z?=（百,3）

因為c=（%,G）,若（a-2b）J.c

所以（a-班）t=

代入得6%+3百=0

所以后=一3

所以選C

【點睛】

本題考查了向量的坐標運算，向量垂直時的坐標關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

11.在AABC中，若瓦=&,就=5,麗=d,且小5=5七=d在，則AABC的形狀

為（）

A.等邊三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.鈍角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的運算性質(zhì)得向量的垂直關(guān)系即可判斷

【詳解】

￡%=尻"=3￡貝|13〃=〃,2，.（￡一。=0即仁5_1_百萬（。為4c中點），同理，

BCLAE,ABYCF,（￡尸分別為8C,AB中點），故三角形為等邊三角形

故選：A

【點睛】

本小題主要考查向量的數(shù)量積、向量的模、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.

12.如下圖所示：在AA3C中，ZABC=120°,45=2,BC=\,D為BC邊上一

點，且。C=23￡）,則4/583=（）

A

4_8_4

A.-D

3~3~3-I

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意,用基向量表示出目標向量，根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可求得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意,作圖如下:

根據(jù)題意因為I而卜2,|BC|=1,/ABD=120°,

故可得5A.8C=2x1x（一g）=-l；

—.1一一

又因為AQ=-6C—區(qū)4,

3

故可得而.方=（3團_麗＞團=1+1=3.

故選：A.

【點睛】

本題考查用基向量表示平面向量，以及向量的數(shù)量積，屬綜合基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.已知平面向量晟［滿足|局=4，1%=4，若(加+〃)-L(加-3〃)，則晟〃的夾

角的余弦值為.

【答案】趙

40

【解析】

【分析】

兩個向量垂直，則它們的數(shù)量積為零，由此列方程，可求得兩向量夾角的余弦值.

【詳解】

依題意,(w+n)-(m-3?)=0,故潘一2而%—3片=0,設(shè)嬴的夾角為氏

故16-2x4xV^cos6-15=0，故cos6=^^.

40

【點睛】

本小題主要考查兩個向量垂直的數(shù)量積表示，考查向量數(shù)量積模的運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.如圖，某人想要從點力出發(fā)繞陰影部分走一圈，他可按圖中提供的向量行走，則將

這些向量按順序排列為.

【答案】a,e,d,c,b

【解析】

【分析】

找出依次與陰影部分各邊表示的向量相等的向量即可.

【詳解】

若按通，配，①，礪麗的方向行走，由于相等向量的長度和方向相同，則與此5個向

量相等的向量依次為”,e,d,c,6.

若按次而反，國麗的方向行走，與圖中提供的向量方向不同，不合題意.

所以正確的排列順序為2e,d,c,b.

【點睛】

本題考查相等向量的判斷.

15.已知向量。與b的夾角為45°,同=血,網(wǎng)=3,若a+Z?與如+Z?的夾角為銳角，

則實數(shù)我的取值范圍是.

【答案】%>-上12且

5

【解析】

試題分析：ab=\/2-3-cos45=3,由題意得（。+/?）?（生/+份>0且。+人與妨+人不

1?

共線，因此22+9+3（%+1）>0=%>—］，且左=因此實數(shù)上的取

值范圍是左>一上且攵

5

考點：向量數(shù)量積

【易錯點睛】La,b的夾角為銳角并不等價于a?b>0,a?b>0等價于a與b夾角為

銳角或0。.

2.依據(jù)兩向量的夾角0求向量坐標中的參數(shù)時，要注意。=0°或180。的情形.其

中cos0°=1>0,cos180°=—K0.

16.已知平面向量4=（2加一1,2）1=（-2,3加一2）,且|。+4=,一耳，則5a-3。在

向量a上的投影等于.

【答案】5布

【解析】

由|。+耳=,一.得=02(2加一1)+2(3加-2)=。,解得十=1,二a=(1,2),

a?(5a-3力)25,/r

5a-3b=(11,7),由投影公式可得，所求投影為一向一=忑=5點.

三、解答題

17.若點A(O,1),B(l,0),C(l,2),0(2,1),則A8與CO有什么位置關(guān)系？證明你

的猜想.

【答案】平行，證明見解析

【解析】

【分析】

求出屈，麗的坐標，即可判斷而，麗的關(guān)系，得到AB與CO的位置關(guān)系?

【詳解】

解：AB//CD.

證明如下：因為而=(1,一1),CD=(1,-1),所以麗=麗.

又因為與CO不共線，

所以AB//C0.

【點睛】

本題考查向量的坐標運算，向量共線的判定，屬于基礎(chǔ)題.

18.在AABC中，D為BC的一個三等分點，求證：而=+

【答案】見解析

【解析】

試題分析：由通=通+麗和麗AC+CDAC-2BD，消去而即可

證得.

試題解析：

證明：ADAB+BD=>2而=2而+2而，

AD=AC+CDAC-2BD'

03AD=2AB+AC

2—■1—.

，AD=—A8+—AC.

33

點睛：應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題

（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，平面的基底可以有無窮多

組.在解決具體問題時.，合理地選擇基底會給解題帶來方便.

（2）利用已知向量表示未知向量，實質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向

量的加減運算或數(shù)乘運算.

19.設(shè)為平面內(nèi)的四點，且4（1,3）,3（2-2）,C（4,l）

lUUCti

（I）若通=①，求O點的坐標及卜。卜

（II）設(shè)向量〉=器，｛=潴，若妨一石與G+3b平行，求實數(shù)k的值.

IU明.—1

【答案】（I）°（5T）；|Ar）|=V65（II）k=-；

【解析】

【分析】

（I）設(shè)O（x,y）,由通=C力可構(gòu)造方程解出。點坐標，從而得到明，根據(jù)模長

的定義可求得結(jié)果；(II)利用坐標表示出%-石，江+35,根據(jù)向量共線構(gòu)造方程求

得結(jié)果.

【詳解】

(I)設(shè)0(x,y),則第=(1,一5),明=(x—4,y_l)

1=x—4x=5

由題=6得:，解得:??.0（5,-4）

<-5=y-\y=-4

uuurIUUCTi-------------

AD=（4,-7）=>|AD|=716+49=765

vULTf、VULiy

（ID由題意得:a=AB=（l,-5）,b=BC=（2,3）

:.ka-b=（k-2-5k-3）,a+3^=（7,4）

（總-；）//1+3力=4（左—2）=7（—5左一3）nk

【點睛】

本題考查向量的坐標運算，涉及到向量相等、向量模長的求解、向量共線定理的應(yīng)用,

屬于基礎(chǔ)題.

20.已知平面向量。=(—1,2),1=(2,加)

(1)若乙石，求收+2年

(2)若m=0,求￡+石與夾角的余弦值.

【答案】(1)k+涕|=5(2)叵

65

【解析】

【分析】

⑴由題可得￡.B=0,解出加=1,Z+2石=(-1,2)+(4,2)=(3,4),進而得出答案.

iiiinb

(2)由題可得a+6=(l,2)，a-b=(-3,2)，再由cos，=r[r]計算得出答案,

【詳解】

因為￡,歸，3=(—1,2)3=(2,利)

所以Q?〃=0，即-2+2m=0

解得m=1

所以Z+2區(qū)=(-1,2)+(4,2)=(3,4)

,+2&|=^32+42=5

(2)若m=0,則B=(2,0)

所以〃+b=(1,2),a-h=(—3,2)

rrrr-

a+b=5,ci-b=V13,H=-3+4=l

1_V65

所以cose=-r-rrr

a+ba-bV5-V13-65

【點睛】

本題主要考查的向量的模以及數(shù)量積，屬于簡單題.

-(石)-「20

21.已知向量。=cos0,——，b=sin。,-----

(2)若￡,求tan。.

【答案】(1)3；(2)—2或

2

【解析】

【分析】

/八上--/日八八m上sin8+cos8tanO+1