江蘇省宜興市實驗中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末經典模擬試題含解析

江蘇省宜興市實驗中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末經典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．設函數(shù)的圖象在點處的切線為，則與坐標軸圍成的三角形面積的最小值為（）A. B.C. D.3．已知是公差為3的等差數(shù)列.若，，成等比數(shù)列，則的前10項和（）A.165 B.138C.60 D.304．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.5．和的等差中項與等比中項分別為（）A.， B.2，C.， D.1，6．過點的直線與圓相切，則直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或7．已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．對于兩個平面、，“內有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知橢圓與橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.焦距相等 D.離心率相等11．設數(shù)列的前項和為，若，，，則、、、中，最大的是（）A. B.C. D.12．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.144二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設上存在極大值M，證明：.14．如圖，在棱長為2的正方體中，E為BC的中點，點P在線段上，分別記四棱錐，的體積為，，則的最小值為______15．年月我國成功發(fā)射了第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號”，這顆衛(wèi)星的運行軌道是以地心（地球的中心）為一個焦點的橢圓.已知衛(wèi)星的近地點（離地面最近的點）距地面的高度約為，遠地點（離地面最遠的點）距地面的高度約為，且地心、近地點、遠地點三點在同一直線上，地球半徑約為，則衛(wèi)星運行軌道是上任意兩點間的距離的最大值為___________16．如圖，在五面體中，//，，，四邊形為平行四邊形，平面，，則直線到平面距離為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知項數(shù)為的數(shù)列是各項均為非負實數(shù)的遞增數(shù)列.若對任意的，（），與至少有一個是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列具有性質.（1）判斷數(shù)列，，，是否具有性質，并說明理由；（2）設數(shù)列具有性質，求證：；（3）若數(shù)列具有性質，且不是等差數(shù)列，求項數(shù)的所有可能取值.18．（12分）如圖所示等腰梯形ABCD中，，，，點E為CD的中點，沿AE將折起，使得點D到達F位置.（1）當時，求證：平面AFC；（2）當時，求二面角的余弦值.19．（12分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，點D是BC的中點；（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值20．（12分）已知圓C：（1）若過點的直線l與圓C相交所得的弦長為，求直線l的方程；（2）若P是直線：上的動點，PA，PB是圓C的兩條切線，A，B是切點，求四邊形PACB面積的最小值21．（12分）已知數(shù)列為正項等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，數(shù)列滿足，證明：數(shù)列的前n項和22．（10分）已知圓M過C(1，﹣1)，D(﹣1，1)兩點，且圓心M在x+y﹣2=0上.（1）求圓M的方程；（2）設P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據特稱命題的否定變換形式即可得出結果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B2、C【解析】利用導數(shù)的幾何意義求得切線為，求x、y軸上截距，進而可得與坐標軸圍成的三角形面積，利用導數(shù)研究在上的最值即可得結果.【詳解】由題設，，則，又，所以切線為，當時，當時，又，所以與坐標軸圍成的三角形面積為，則，當時，當時，所以在上遞減，在上遞增，即.故選：C3、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質求得首項，然后由等差數(shù)列的前項和公式計算【詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，所以，解得，所以故選：A4、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.5、C【解析】根據等差中項和等比中項的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項為，和的等比中項為.故選：C.6、D【解析】根據斜率存在和不存在分類討論，斜率存在時設直線方程，由圓心到直線距離等于半徑求解【詳解】圓心為，半徑為2，斜率不存在時，直線滿足題意，斜率存在時，設直線方程為，即，由，得，直線方程為，即故選：D7、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.8、B【解析】根據平面的性質分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內有無數(shù)多個點到的距離相等，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內有無數(shù)多個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.9、B【解析】求出，進而求出，之間的關系，即可求解結論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B10、C【解析】利用，可得且，即可得出結論【詳解】∵，且，橢圓與橢圓的關系是有相等的焦距故選：C11、C【解析】求出的表達式，解不等式可得結果.【詳解】由已知可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，令可得.因此，當時，最大.故選：C.12、A【解析】分析數(shù)列的特點，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項公式，進而求得結果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構成首項為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）在單調遞增，單調遞減；（2）詳見解析.【解析】（1）求得，利用和即可求得函數(shù)的單調性區(qū)間；（2）求得函數(shù)的解析式，求，對的情況進行分類討論得到函數(shù)有極大值的情形，再結合極大值點的定義進行替換、即可求解.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，當時，令，所以函數(shù)單調遞增；當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間中單調遞減，當時，令，即，解得或，令，即，解得，所以函數(shù)在單調遞增，在單調遞減.（2）由函數(shù)，則，令，可得令，解得，當時.，函數(shù)在單調遞增，此時，所以，函數(shù)在上單調遞增，此時不存在極大值，當時，令解得，令，解得，所以上單調遞減，在上單調遞增，因為在上存在極大值，所以，解得，因為，易證明，存在時，，存在使得，當在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，即，，由，所以【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于此類問題，通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題14、【解析】設，用參數(shù)表示目標函數(shù)，利用均值不等式求最值即可.【詳解】取線段AD中點為F，連接EF、D1F，過P點引于M，于N，則平面，平面，則，∴，設，則，，即，，∴，當且僅當時，等號成立，故答案為：15、【解析】根據題意由a-c=439+6371，a+c=2384+6371，求得2a即可.【詳解】設橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，由題意得：a-c=439+6371，a+c=2384+6371,兩式相加得：2a=15565，因為橢圓上任意兩點間的距離的最大值為長軸長2a,所以衛(wèi)星運行軌道是上任意兩點間的距離的最大值為，故答案為：1556516、【解析】利用等價轉化的思想轉化為點到面的距離，作，利用線面垂直的判定定理證明平面，然后計算使用等面積法，可得結果.【詳解】作如圖由//，平面，平面所以//平面所以直線到平面距離等價于點到平面距離又平面，平面所以，又，則平面，，所以平面平面，所以又平面，所以平面所以點到平面距離為由，所以又，所以在中，又故答案為：【點睛】本題考查線面垂直的綜合應用以及等面積法求高，重點在于使用等價轉換的思想，考驗理解能力，分析問題的能力，屬中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）數(shù)列，，，不具有性質；（2）證明見解析；（3）可能取值只有.【解析】（1）由數(shù)列具有性質的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項即可.（2）由性質知：、，結合非負遞增性有，再由時，必有，進而可得，，，，，應用累加法即可證結論.（3）討論、、，結合性質、等差數(shù)列的性質判斷是否存在符合題設性質，進而確定的可能取值.【小問1詳解】數(shù)列，，，不具有性質.因為，，和均不是數(shù)列，，，中的項，所以數(shù)列，，，不具有性質.【小問2詳解】記數(shù)列的各項組成的集合為，又，由數(shù)列具有性質，，所以，即，所以.設，因為，所以.又，則，，，，.將上面的式子相加得：.所以.【小問3詳解】（i）當時，由（2）知，，，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.（ii）當時，存在數(shù)列，，，，符合題意，故可取.（iii）當時，由（2）知，.①當時，，所以，.又，，∴，，，，即.由，，得：，，∴.②由①②兩式相減得：，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.綜上，滿足題設的的可能取值只有.【點睛】關鍵點點睛：第二問，由可知，并應用累加法求證結論；第三問，討論k的取值，結合的性質，由性質、等差數(shù)列的性質判斷不同k的取值情況下數(shù)列的存在性即可.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）結合線面垂直的判定定理來證得結論成立.（2）建立空間直角坐標系，利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設，由于四邊形是等腰梯形，是的中點，，所以，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，是的中點，所以，由于，所以平面.【小問2詳解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形，設是的中點，設，則，所以，所以，由于兩兩垂直.以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，,平面的法向量為，設平面法向量為，則，故可設，由圖可知，二面角為鈍角，設二面角為，，則.19、（I）（II）【解析】（I）以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，可得和的坐標，可得cos＜，＞，可得答案；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=，進而可得答案解：（I）以，，x，y，z軸建立空間直角坐標系A﹣xyz，則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），∴cos＜，＞==∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：；（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），設平面C1AD的法向量為=（x，y，z），則可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），設直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜，＞|=∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：考點：異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角20、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當斜率不存在時,不滿足條件；再判斷當斜率存在時,設利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線方程；（2）過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，得到.判斷出當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點到直線的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問1詳解】圓C：化為標準方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當斜率不存在時,x=1代入圓方程得,弦長為,不滿足條件；（2）當斜率存在時,設即.圓心C到直線l的距離，解得:或k=0,所以直線方程為或.【小問2詳解】過P作圓C的兩條切線，切點分別為A、B，連結CA、CB，則.因為,所以所以.所以當時,最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.21、（1），（2）證明見解析【解析】（1）將已知條件用首項和公比表示，聯(lián)立方程組即可求解數(shù)列的通項公式，然后由對數(shù)的運算性質即可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）