廣東省東莞市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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廣東省東莞市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教,則抽取的3人中,女教師最多為1人的選法種數(shù)為()A.10 B.30C.40 D.462.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B.C. D.3.在正方體中中,,若點(diǎn)P在側(cè)面(不含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),,且點(diǎn)P到底面的距離為3,則異面直線與所成角的余弦值是()A. B.C. D.4.已知函數(shù)f(x)=x(lnx-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,0) B.C.(0,1) D.(0,+∞)5.已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,12),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()A.10 B.11C.12 D.136.當(dāng)實(shí)數(shù),m變化時(shí),的最大值是()A.3 B.4C.5 D.67.已知,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B.3C.4 D.68.已知命題:若直線的方向向量與平面的法向量垂直,則;命題:等軸雙曲線的離心率為,則下列命題是真命題的是()A. B.C. D.9.若曲線的一條切線與直線垂直,則的方程為()A. B.C. D.10.已知雙曲線的離心率為2,則()A.2 B.C. D.111.等比數(shù)列的公比為q,前n項(xiàng)和為,設(shè)甲:,乙:是遞增數(shù)列,則()A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件12.設(shè),是雙曲線()的左、右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,拋物線上的點(diǎn)與軸上的點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,,,其中點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______14.若直線與直線平行,則直線與之間的距離為_(kāi)____15.在一平面直角坐標(biāo)系中,已知,現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角,則折疊后A,B兩點(diǎn)間的距離為_(kāi)__________.16.過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線,使它被該圓截得的線段最短,則直線的方程是______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在長(zhǎng)方體中,底面是正方形,O是的中點(diǎn),(1)證明:(2)求直線與平面所成角的正弦值18.(12分)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),解不等式;(2)若不等式對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.19.(12分)已知,對(duì)于有限集,令表示集合中元素的個(gè)數(shù).例如:當(dāng)時(shí),,(1)當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫出集合的子集的個(gè)數(shù);(2)當(dāng)時(shí),,都是集合的子集(,可以相同),并且.求滿足條件的有序集合對(duì)的個(gè)數(shù);(3)假設(shè)存在集合、具有以下性質(zhì):將1,1,2,2,··,,.這個(gè)整數(shù)按某種次序排成一列,使得在這個(gè)序列中,對(duì)于任意,與之間恰好排列個(gè)整數(shù).證明:是4的倍數(shù)20.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}的前4項(xiàng)和為15,且.(1)求{}的通項(xiàng)公式;(2)若,記數(shù)列{}前n項(xiàng)和為,求.21.(12分)已知是公差不為零等差數(shù)列,,且、、成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式:(2)設(shè).?dāng)?shù)列{}的前項(xiàng)和為,求證:22.(10分)如圖,在四棱錐中,底面為正方形,,直線垂直于平面分別為的中點(diǎn),直線與相交于點(diǎn).(1)證明:與不垂直;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】可分為女教師0人,男教師3人和女教師1人,男教師2人兩種情況,用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人,則男教師有3人,有種選擇;若女教師為1人,則男教師2人,有種選擇;故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選:C2、B【解析】求出函數(shù)的定義域,解不等式可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,由,可?因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:B.3、A【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,先由,且點(diǎn)P到底面的距離為3,確定點(diǎn)P的位置,然后利用空間向量求解即可【詳解】如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在的直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,所以,所以,所以,因?yàn)?所以平面,因?yàn)槠矫嫫矫?,點(diǎn)P在側(cè)面(不含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng),,所以,因?yàn)辄c(diǎn)P到底面的距離為3,所以,所以,因?yàn)?,所以異面直線與所成角的余弦值為,故選:A4、B【解析】函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax),則f′(x)=lnx﹣ax+x(﹣a)=lnx﹣2ax+1,令f′(x)=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1,函數(shù)f(x)=x(lnx﹣ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),等價(jià)于f′(x)=lnx﹣2ax+1有兩個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出它們的圖象(如圖)當(dāng)a=時(shí),直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切,由圖可知,當(dāng)0<a<時(shí),y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,)故選B5、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓,然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,12),所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心,半徑為2的圓,所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為,故選:B6、D【解析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離,利用圓的性質(zhì)結(jié)合圖形即得.【詳解】由題可知,可以表示單位圓上點(diǎn)到直線的距離,設(shè),因直線,即表示恒過(guò)定點(diǎn),根據(jù)圓的性質(zhì)可得.故選:D.7、B【解析】根據(jù)給定條件利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算作答.詳解】因,且,則有,解得,所以實(shí)數(shù)的值為3.故選:B8、D【解析】先判斷出p、q的真假,再分別判斷四個(gè)選項(xiàng)的真假.【詳解】因?yàn)椤叭糁本€的方向向量與平面的法向量垂直,則或”,所以p為假命題;對(duì)于等軸雙曲線,,所以離心率為,所以q為真命題.所以假命題,故A錯(cuò)誤;為假命題,故B錯(cuò)誤;為假命題,故C錯(cuò)誤;為真命題,故D正確.故選:D9、A【解析】?jī)芍本€垂直,斜率之積為,曲線與直線相切,聯(lián)立方程令.【詳解】法一:直線,所以,所以切線的,設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程,所以,令,解得,所以切線方程為.法二:直線,所以,所以切線的,,所以令,所以,帶入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線方程為,化簡(jiǎn)得.故選:A.10、D【解析】由雙曲線的性質(zhì),直接表示離心率,求.【詳解】由雙曲線方程可知,因?yàn)椋?,解得:,又,所?故選:D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線基本性質(zhì),意在考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力,屬于中檔題型,一般求雙曲線離心率的方法:

直接法:直接求出,然后利用公式求解;2.公式法:,3.構(gòu)造法:根據(jù)條件,可構(gòu)造出的齊次方程,通過(guò)等式兩邊同時(shí)除以,進(jìn)而得到關(guān)于的方程.11、B【解析】當(dāng)時(shí),通過(guò)舉反例說(shuō)明甲不是乙的充分條件;當(dāng)是遞增數(shù)列時(shí),必有成立即可說(shuō)明成立,則甲是乙的必要條件,即可選出答案【詳解】由題,當(dāng)數(shù)列為時(shí),滿足,但是不是遞增數(shù)列,所以甲不是乙的充分條件若是遞增數(shù)列,則必有成立,若不成立,則會(huì)出現(xiàn)一正一負(fù)的情況,是矛盾的,則成立,所以甲是乙的必要條件故選:B【點(diǎn)睛】在不成立的情況下,我們可以通過(guò)舉反例說(shuō)明,但是在成立的情況下,我們必須要給予其證明過(guò)程12、B【解析】分析:由雙曲線性質(zhì)得到,然后在和在中利用余弦定理可得詳解:由題可知在中,在中,故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識(shí),考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】求出,,,,,,可猜測(cè),利用累加法,即可求解【詳解】的方程為,代入拋物線可得,同理可得,,,,可猜測(cè),證明:記三角形的邊長(zhǎng)為,由題意可知,當(dāng)時(shí),在拋物線上,可得,當(dāng)時(shí),,兩式相減得:化簡(jiǎn)得:,則數(shù)列是等差數(shù)列,,,,,故答案為:14、【解析】由直線平行求參數(shù)m,再利用平行直線的距離公式求與之間的距離.【詳解】由題設(shè),,即,所以,,所以直線與之間的距離為.故答案為:15、【解析】平面直角坐標(biāo)系中,沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角后,在平面上的射影為,作軸,交軸于點(diǎn),通過(guò)用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可.【詳解】在直角坐標(biāo)系中,已知,現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成的二面角后,在平面上的射影為,作軸,交軸于點(diǎn),所以,所以,所以,故答案為:16、【解析】由已知得圓的圓心為,所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,可求得直線的方程.【詳解】解:由得,所以圓的圓心為,所以當(dāng)直線時(shí),被該圓截得的線段最短,所以,解得,所以直線l的方程為,即,故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,令,可得的坐標(biāo),再求數(shù)量積可得答案;(2)求出平面的法向量、的坐標(biāo),由線面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨令,則,,因?yàn)?,所以【小?wèn)2詳解】由(1)可知,,,設(shè)平面的法向量,則令,得,設(shè)直線與平面所成的角,則.18、(1);(2).【解析】(1)由題設(shè),原不等式等價(jià)于,分類討論即可得出結(jié)論;(2)不等式對(duì)任意恒成立,即,即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),原不等式等價(jià)于,當(dāng)時(shí),,解得,即;當(dāng)時(shí),恒成立,即;當(dāng)時(shí),,解得,即;綜上,不等式的解集為;(2),,即或,解得,∴a取值范圍是.19、(1)8(2)454(3)證明見(jiàn)詳解【解析】(1)n元集合的直接個(gè)數(shù)為可得;(2)由已知結(jié)合可得,或,然后可得集合的包含關(guān)系可解;(3)根據(jù)每?jī)蓚€(gè)相同整數(shù)之間的整數(shù)個(gè)數(shù)之和與總的數(shù)字個(gè)數(shù)之間的關(guān)系可證.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí),集合的子集個(gè)數(shù)為【小問(wèn)2詳解】易知,又,所以,即,得,或,所以或1)若,則滿足條件的集合對(duì)共有,2)若,同理,滿足條件集合對(duì)共有2433)當(dāng)A=B時(shí),滿足條件的集合對(duì)共有所以,滿足條件集合對(duì)共243+243-32=454個(gè).【小問(wèn)3詳解】記,則1,1,2,2,··,,共2n個(gè)正整數(shù),將這2n個(gè)正整數(shù)按照要求排列時(shí),需在1和1中間放入1個(gè)數(shù),在2和2中間放入2個(gè)數(shù),…,在n和n中間放入n個(gè)數(shù),共放入了個(gè)數(shù),由于排列完成后共有2n個(gè)數(shù),且1,1,2,2,··,,剛好放完,所以放入數(shù)字個(gè)數(shù)必為偶數(shù),即Z,所以,Z,所以是4的倍數(shù)20、(1)(2)【解析】(1)設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出方程組,求得的值,即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)由,結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減求和,即可求解.小問(wèn)1詳解】解:設(shè)正項(xiàng)的等比數(shù)列的公比為,顯然不為1,因?yàn)榈缺葦?shù)列前4項(xiàng)和為且,可得,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】解:由,所以,可得,兩式相減得,所以.21、(1);(2)證明見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,根據(jù)題意可得出關(guān)于的方程,求出的值,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法求出,即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,由題意可得,即,整理可得,,解得,因此,.【小問(wèn)2詳解】證明:,因此,,故原不等式得證.22、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出點(diǎn)的坐標(biāo),計(jì)算得出,即

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