2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章空間向量與立體幾何7.2空間點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案新人教A版

PAGE7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.平面的基本性質(zhì)圖形文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言基本事實(shí)1過(guò)不在,有且只有一個(gè)平面

A,B,C三點(diǎn)不共線?有且只有一個(gè)平面α,使A∈α,B∈α,C∈α基本事實(shí)2假如一條直線上的在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α基本事實(shí)3假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們過(guò)該點(diǎn)的公共直線

P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l基本事實(shí)4平行于同一條直線的兩條直線平行若直線a∥b,c∥b,則a∥c2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l獨(dú)有關(guān)系圖形語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言a,b是異面直線a?α3.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0°<α≤90°.4.等角定理:假如空間中兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).1.利用基本領(lǐng)實(shí)1和基本領(lǐng)實(shí)2,再結(jié)合“兩點(diǎn)確定一條直線”,得到三個(gè)推論推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.2.異面直線判定的一個(gè)定理過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.3.唯一性定理(1)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行.(2)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)兩個(gè)不重合的平面只能把空間分成四個(gè)部分.()(2)兩個(gè)平面α,β有一個(gè)公共點(diǎn)A,就說(shuō)α,β相交于A點(diǎn),記作α∩β=A.()(3)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,則c與b不行能是平行直線.()(4)兩個(gè)不重合的平面α,β有一條公共直線a,就說(shuō)平面α,β相交,并記作α∩β=a.()(5)若a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線.()2.下列命題正確的個(gè)數(shù)為()①梯形肯定是平面圖形;②若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行;③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面;④假如兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合.A.0 B.1 C.2 D.33.(2024浙江,6)已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線l,m,n.“l(fā),m,n共面”是“l(fā),m,n兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.(2024黑龍江大慶試驗(yàn)中學(xué)高三線上測(cè)試)已知如圖,點(diǎn)E,F,G,H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1,AB,BC,C1D1的中點(diǎn),則()A.GH=2EF,且直線EF,GH是相交直線B.GH=2EF,且直線EF,GH是異面直線C.GH≠2EF,且直線EF,GH是相交直線D.GH≠2EF,且直線EF,GH是異面直線5.(2024全國(guó)2,16改編)設(shè)有下列四個(gè)命題:p1:兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).p2:過(guò)空間中隨意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面.p3:若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行.p4:若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l.則上述命題中的真命題是.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】(1)如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC=12AD,BE=12FA,G,H分別為FA,FD①四邊形BCHG的形態(tài)是;

②點(diǎn)C,D,E,F,G中,能共面的四點(diǎn)是.

(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,對(duì)角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O,AC與BD交于點(diǎn)M,則點(diǎn)O與直線C1M的關(guān)系是.

解題心得共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明(1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);②將全部條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合.(2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法:①先由兩點(diǎn)確定一條直線,再證其他各點(diǎn)都在這條直線上;②干脆證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上.(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點(diǎn),再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證:①E,C,D1,F四點(diǎn)共面;②CE,D1F,DA三線共點(diǎn).考點(diǎn)空間兩直線位置關(guān)系的判定【例2】(2024全國(guó)3,理8)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線解題心得異面直線的判定方法對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交(2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點(diǎn),有以下四個(gè)結(jié)論:①直線AM與CC1是相交直線;②直線AM與BN是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中全部正確的結(jié)論為(填序號(hào)).

考點(diǎn)求異面直線所成的角【例3】如圖,在底面為正方形,側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.15B.C.35 D.思維變式1(變條件)將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)椤癆B=1,若平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到頂點(diǎn)A1的距離為1”,其他條件不變,則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.

思維變式2(變?cè)O(shè)問(wèn))將本例條件“AA1=2AB=2”變?yōu)椤癆B=1,若異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為910”,其他條件不變,則AA1的值為.

解題心得求解異面直線所成角的方法方法解讀平移法通過(guò)作圖(如結(jié)合中位線、平行四邊形補(bǔ)形等)來(lái)構(gòu)造平行線,作出異面直線所成的角,通過(guò)解三角形來(lái)求解補(bǔ)形法補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體轉(zhuǎn)化法當(dāng)異面直線所成角為π2時(shí),對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2024安徽馬鞍山其次中學(xué)高三其次次階段性素養(yǎng)測(cè)試)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點(diǎn),則異面直線AE與CD所成角的余弦值為()A.22 B.C.32 D.7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.一條直線上的三個(gè)點(diǎn)兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×2.C①因梯形有一組對(duì)邊平行,所以梯形可以確定一個(gè)平面,故①正確;②如等腰三角形中,AB,AC與底邊直線BC所成的角相等,而直線AB,AC不平行,故②錯(cuò)誤;③兩兩相交的三條直線,比如墻角處的三條交線最多可以確定三個(gè)平面,故③正確;④假如兩個(gè)平面有三個(gè)共線的公共點(diǎn),這兩個(gè)平面不重合,故④錯(cuò)誤.故選C.3.B由條件可知,當(dāng)m,n,l在同一平面內(nèi)時(shí),三條直線不肯定兩兩相交,有可能兩條直線平行;或三條直線平行;反過(guò)來(lái),當(dāng)空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線m,n,l兩兩相交時(shí),如圖,三個(gè)不同的交點(diǎn)確定一個(gè)平面,則m,n,l在同一平面內(nèi),所以“m,n,l”共面是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.4.C設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則EF=12A1B=2,GH=GC2+CH2=6,所以GH≠2EF.設(shè)M,N分別為CC1和A1D1的中點(diǎn),則六邊形EFGMHN是過(guò)E,F,G,H四點(diǎn)的平面截正方體的截面,所以EF與GH是共面直線,且EF與GH不平行,5.p1,p4對(duì)于命題p1,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交,則交點(diǎn)A在平面α內(nèi),同理,l3與l2的交點(diǎn)B也在平面α內(nèi),所以,AB?α,即l3?α,命題p1為真命題;對(duì)于命題p2,若三點(diǎn)共線,則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有多數(shù)個(gè),命題p2為假命題;對(duì)于命題p3,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,命題p3為假命題;對(duì)于命題p4,若直線m⊥平面α,則直線m垂直于平面α內(nèi)全部直線,∵直線l?平面α,∴直線m⊥直線l,命題p4為真命題.綜上可知,p1,p4為真命題,p2,p3為假命題.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)①平行四邊形②C,D,E,F(2)點(diǎn)O在直線C1M上(1)①因?yàn)镚,H分別為FA,FD的中點(diǎn),所以GH12AD又BC12AD,所以GHBC所以四邊形BCHG為平行四邊形.②由BE=12FA,G為FA的中點(diǎn),知BE=FG,又BE∥AF,所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG由①知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF與CH共面.又D∈FH,所以C,D,E,F四點(diǎn)共面.(2)如圖所示,連接A1C,因?yàn)锳1C?平面A1ACC1,O∈A1C,所以O(shè)∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1與直線A1C的交點(diǎn),所以O(shè)∈平面BDC1,所以點(diǎn)O在平面BDC1與平面A1ACC1的交線上.因?yàn)锳C∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O(shè)∈C1M.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)DA,B,C圖中四點(diǎn)肯定共面,D中四點(diǎn)不共面.(2)證明①如圖,連接EF,CD1,A1B.∵E,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),∴EF∥A1B.又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,∴E,C,D1,F四點(diǎn)共面.②∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE與D1F必相交,設(shè)交點(diǎn)為P,如圖所示.則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直線DA,∴CE,D1F,DA三線共點(diǎn).例2B如圖,連接BD,BE.在△BDE中,N為BD的中點(diǎn),M為DE的中點(diǎn),∴BM,EN是相交直線,解除選項(xiàng)C,D.作EO⊥CD于點(diǎn)O,連接ON.作MF⊥OD于點(diǎn)F,連接BF.∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,∴EO⊥平面ABCD.同理,MF⊥平面ABCD.∴△MFB與△EON均為直角三角形.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,易知EO=3,ON=1,MF=32,BF=22+94=52,∴BM≠EN.故選B.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)D(2)③④(1)由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行,故l1,l2中至少有一條與l相交.(2)直線AM與CC1是異面直線,直線AM與BN也是異面直線,故①②錯(cuò)誤.結(jié)論③④正確.例3D連接BC1,易證BC1∥AD1,則∠A1BC1或其補(bǔ)角為異面直線A1B與AD1所成的角.連接A1C1,由AB=1,AA1=2,易得A1C1=2,A1B=BC1=5,故cos∠A1BC1=5+5-22×5×5=45,思維變式112由平面ABCD內(nèi)有且僅有一點(diǎn)到A1的距離為1,得AA1=1此時(shí)正四棱柱變?yōu)檎襟wABCD-A1B1C1D1.由圖知A1B與AD1所成角為∠A1BC1,連接A1C1,則△A1BC1為等邊三角形,∴∠A1BC1=60°