2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換二課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析新人教A版必修4

PAGE簡(jiǎn)潔的三角恒等變換(二)(20分鐘35分)1.函數(shù)y=QUOTEsin2x+sin2x,x∈R的值域是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.y=QUOTEsin2x+sin2x=QUOTEsin2x-QUOTEcos2x+QUOTE=QUOTEsinQUOTE+QUOTE,因?yàn)?1≤sinQUOTE≤1,所以y=QUOTEsin2x+sin2x的值域?yàn)镼UOTE.2.QUOTE等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.1【解析】選A.原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.若tanQUOTE=3,則QUOTE= ()A.3 B.-3 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.因?yàn)閠anQUOTE=QUOTE=3,所以tanθ=-QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=3.4.(2024·金昌高一檢測(cè))若函數(shù)f(x)=5cosx+12sinx在x=θ時(shí)取得最小值,則cosθ等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.f(x)=5cosx+12sinx=13QUOTE=13sin(x+α),其中sinα=QUOTE,cosα=QUOTE,由題意知θ+α=2kπ-QUOTE(k∈Z),得θ=2kπ-QUOTE-α(k∈Z),所以cosθ=cosQUOTE=cosQUOTE=-sinα=-QUOTE.5.函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTEx-2sin2QUOTExQUOTE的最小值是.

【解析】f(x)=QUOTEsinQUOTEx-QUOTE=2sinQUOTE-1,又QUOTE≤x≤QUOTE,所以QUOTE≤QUOTEx+QUOTE≤QUOTE,所以f(x)min=2sinQUOTE-1=QUOTE-1.答案:QUOTE-16.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2ωx+sinQUOTE+a(其中ω>0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為QUOTE.(1)求ω的值.(2)設(shè)f(x)在區(qū)間QUOTE上的最小值為QUOTE,求a的值.【解析】f(x)=1+cos2ωx+QUOTEsin2ωx-QUOTEcos2ωx+a=sinQUOTE+a+1.(1)由2ωx+QUOTE=2kπ+QUOTE(k∈Z)得ωx=kπ+QUOTE(k∈Z).又ω>0,所以當(dāng)k=0時(shí),f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=QUOTE=QUOTE,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=sinQUOTE+a+1,由QUOTE≤x≤QUOTE,得QUOTE≤2x≤QUOTEπ,QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE,所以當(dāng)2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE時(shí),f(x)取得最小值為QUOTE+a+1.由QUOTE+a+1=QUOTE,得a=QUOTE-QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知cosα,sinα是函數(shù)f(x)=x2-tx+t(t∈R)的兩個(gè)零點(diǎn),則sin2α= ()A.2-2QUOTE B.2QUOTE-2C.QUOTE-1 D.1-QUOTE【解析】選A.因?yàn)閏osα,sinα是函數(shù)f(x)=x2-tx+t(t∈R)的兩個(gè)零點(diǎn),所以sinα+cosα=t,sinαcosα=t,由sin2α+cos2α=1,得(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1,即t2-2t=1,解得t=1-QUOTE,或t=1+QUOTE(舍).所以sin2α=2sinαcosα=2t=2-2QUOTE.2.若sinQUOTE+cosQUOTE=QUOTE,則sinQUOTE=()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選D.因?yàn)閟inQUOTE+cosQUOTE=sinQUOTE+cosQUOTE=2cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=cosQUOTE=QUOTE,則cosQUOTE=1-2sin2QUOTE=1-2×QUOTE=QUOTE,因?yàn)閏osQUOTE=cosQUOTE=-sinQUOTE=QUOTE,故sinQUOTE=-QUOTE.3.要使QUOTEsinα+cosα=QUOTE有意義,則應(yīng)有 ()A.m≤QUOTE B.m≥-1C.m≤-1或m≥QUOTE D.-1≤m≤QUOTE【解析】選D.QUOTEsinα+cosα=2QUOTE=2sinQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE,由于-1≤sinQUOTE≤1,所以-1≤QUOTE≤1,所以-1≤m≤QUOTE.4.(2024·大連高一檢測(cè))在斜三角形ABC中,sinA=-QUOTEcosBcosC,且tanB·tanC=1-QUOTE,則角A的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.由題意知,sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=-QUOTEcosBcosC,在等式-QUOTEcosBcosC=sinBcosC+cosBsinC兩邊同除以cosBcosC,得tanB+tanC=-QUOTE,又tan(B+C)=QUOTE=-1=-tanA,即tanA=1,因?yàn)?<A<π,所以A=QUOTE.5.(2024·江門(mén)高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=sinQUOTE-3cosx的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閒(x)=sinQUOTE-3cosx,=-cos2x-3cosx=-2cos2x-3cosx+1,令t=cosx,則t∈[-1,1],則f(t)=-2t2-3t+1,開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為t=-QUOTE,當(dāng)x∈QUOTE,y=cosx不單調(diào),不符合題意,當(dāng)x∈QUOTE時(shí),y=cosx單調(diào)遞減且cosx∈QUOTE,即t∈QUOTE,依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)t∈QUOTE,函數(shù)f(t)單調(diào)遞減,依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖所示,有一塊正方形的鋼板ABCD,其中一個(gè)角有部分損壞,現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH,其面積是原正方形鋼板面積的三分之二,則應(yīng)按角度x=來(lái)截.

【解析】設(shè)正方形鋼板的邊長(zhǎng)為a,截后的正方形邊長(zhǎng)為b,則QUOTE=QUOTE,QUOTE=QUOTE,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=QUOTE,所以sinQUOTE=QUOTE.因?yàn)?<x<QUOTE,QUOTE<x+QUOTE<QUOTE,所以x+QUOTE=QUOTE或QUOTE,x=QUOTE或QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE7.(2024·泰安高一檢測(cè))設(shè)α為第四象限角,且QUOTE=QUOTE,則tan2α=.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=2cos2α+1=QUOTE,所以cos2α=QUOTE,又α是第四象限角,所以sin2α=-QUOTE,tan2α=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知A+B=QUOTE,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是.

【解析】因?yàn)锳+B=QUOTE,所以cos2A+cos2B=QUOTE(1+cos2A+1+cos2B)=1+QUOTE(cos2A+cos2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cosQUOTEcos(A-B)=1-QUOTEcos(A-B),所以當(dāng)cos(A-B)=-1時(shí),原式取得最大值QUOTE;當(dāng)cos(A-B)=1時(shí),原式取得最小值QUOTE.答案:QUOTEQUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知cosQUOTE=QUOTE,QUOTE<α<QUOTE,求QUOTE的值.【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=sin2α·QUOTE=sin2α·tanQUOTE.由QUOTE<α<QUOTE,得QUOTE<α+QUOTE<2π,又cosQUOTE=QUOTE,所以sinQUOTE=-QUOTE,tanQUOTE=-QUOTE.cosα=cosQUOTE=-QUOTE,sinα=-QUOTE,sin2α=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE×QUOTE=-QUOTE.10.已知函數(shù)f(x)=2cos2QUOTE,g(x)=QUOTE.(1)求證:fQUOTE=g(x).(2)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,π])的單調(diào)區(qū)間,并求使h(x)取到最小值時(shí)x的值.【解析】(1)f(x)=2cos2QUOTE=1+cosx,g(x)=QUOTE=1+2sinQUOTEcosQUOTE=1+sinx.因?yàn)閒QUOTE=1+cosQUOTE=1+sinx,所以fQUOTE=g(x).(2)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=cosx-sinx=QUOTE=QUOTEcosQUOTE.因?yàn)閤∈[0,π],所以QUOTE≤x+QUOTE≤QUOTE,當(dāng)QUOTE≤x+QUOTE≤π,即0≤x≤QUOTE時(shí),h(x)遞減,當(dāng)π<x+QUOTE≤QUOTE,即QUOTE<x≤π時(shí),h(x)遞增.所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為QUOTE,單調(diào)遞增區(qū)間為QUOTE,依據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性,可知當(dāng)x=QUOTE時(shí),函數(shù)h(x)取到最小值.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=QUOTEsinQUOTE+2sin2QUOTE(x∈R).(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.【解析】(1)因?yàn)閒(x)=QUOTEsinQUOTE+2sin2QUOTE=QUOTEsinQUOTE+1-cosQUOTE=2QUOTE+1=2sinQUOTE+1=2sinQUOTE+1,所以T=QUOTE=π.(2)當(dāng)f(x)取得最大值時(shí),sinQUOTE=1,則2x-QUOTE=2kπ+QUOTE,即x=kπ+QUOTE(k∈Z),所以所求x的集合為QUOTE.1.設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,向量m=(QUOTEsinA,sinB),n=(cosB,QUOTEcosA),若m·n=1+cos(A+B),則C=.

【解析】因?yàn)閙·n=1+cos(A+B)=QUOTEsinAcosB+QUOTEcosAsinB,所以QUOTEsin(A+B)=1+cos(A+B).又A+B=π-C,所以整理得sinQUOTE=QUOTE.因?yàn)?<C<π,所以QUOTE<C+QUOTE<QUOTE.所以C+QUOTE=QUOTE.所以C=QUOTE.答案:QUOTE2.如圖,矩形ABCD的長(zhǎng)AD=2QUOTE,寬AB=1,A,D兩點(diǎn)分別在x,y軸的正半軸上移動(dòng),B,C兩點(diǎn)在第一象限,求OB2的最大值.【解析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥OA,