2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4.1等比數(shù)列學(xué)案新人教A版必修5

PAGE2.4等比數(shù)列第1課時等比數(shù)列學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等比數(shù)列的定義.(數(shù)學(xué)抽象)2.駕馭等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系、能在詳細(xì)情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,能利用等比數(shù)列解決相應(yīng)的問題.(邏輯推理、數(shù)據(jù)分析)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.類比等差數(shù)列,等比數(shù)列是如何定義的?如何定義等比中項(xiàng)?2.類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式怎樣?如何推導(dǎo)?1.等比數(shù)列的概念一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,用q表示(q≠0).(1)定義中為什么“從第2項(xiàng)起”,從第1項(xiàng)起可以嗎?提示:因?yàn)閿?shù)列的第1項(xiàng)沒有前一項(xiàng),因此必需“從第2項(xiàng)起”.(2)怎樣利用遞推公式表示等比數(shù)列?提示:QUOTE=q(n≥2)或QUOTE=q(q≠0).2.等比中項(xiàng)在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).(1)G是a與b的等比中項(xiàng),a與b的符號有什么特點(diǎn)?a,G,b滿意的關(guān)系式是什么?提示:a與b同號,滿意的關(guān)系式是G2=ab.(2)假如2,a,4成等比數(shù)列,如何求a?答案唯一嗎?提示:由QUOTE=QUOTE得a2=8,即a=±2QUOTE,答案不唯一.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1,公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1.(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2n-1,其圖象是由什么樣的點(diǎn)組成的?與函數(shù)y=2x-1的圖象有什么關(guān)系?提示:通項(xiàng)公式為an=2n-1的圖象是由離散的點(diǎn)構(gòu)成的,這些離散的點(diǎn)都在函數(shù)y=2x-1的圖象上.(2)除了課本上采納的不完全歸納法,你還能用什么方法推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.提示:還可以用累乘法.當(dāng)n>2時,QUOTE=q,QUOTE=q,…,QUOTE=q,所以an=a1·QUOTE·QUOTE·…·QUOTE·QUOTE=a1·qn-1.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)一個數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于常數(shù),這個數(shù)列肯定是等比數(shù)列. ()(2)若G是a與b的等比中項(xiàng),則G=QUOTE. ()(3)若a,G,b滿意G2=ab,則a,G,b肯定是等比數(shù)列. ()提示:(1)×.應(yīng)等于同一個常數(shù).(2)×.G=±QUOTE.(3)×.如0,0,0滿意02=0×0,但不是等比數(shù)列.2.已知2,b,8是等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)b= ()A.6 B.4 C.-4 D.4或-4【解析】選D.因?yàn)?,b,8成等比數(shù)列,所以b=±QUOTE=±4.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)等比數(shù)列{an}中,a2=2,a5=QUOTE,則公比q=.

【解析】由定義知a2=a1q=2,①a5=a1q4=QUOTE,②所以②÷①得q3=QUOTE,所以q=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一等比數(shù)列基本量的運(yùn)算(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.在等比數(shù)列{an}中,若a2=3,a5=-24,則a1= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE2.已知各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2=1,a4a6A.4 B.3 C.2 D.QUOTE3.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2-a3=-2,a1+a3=QUOTE,則{an}的通項(xiàng)公式an=.

【解析】1.選C.設(shè)公比為q,則QUOTE=QUOTE=q3=-8,則q=-2,則a1=QUOTE=-QUOTE.2.選C.因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a2=1,a4a6=64,所以QUOTE,且q>0,解得a1=QUOTE,q=2,所以公比q=2.3.設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公比為q,因?yàn)閍2-a3=-2,a1+a3=QUOTE,所以QUOTE兩式相除整理可得,2q2-5q-3=0,由公比q為整數(shù)可得,q=3,a1=QUOTE.所以an=3n-2.答案:3n-2利用基本量結(jié)合方程思想運(yùn)算(1)a1和q是等比數(shù)列的兩個基本量,解決本題時,只要求出這兩個基本量,其余的量便可以通過通項(xiàng)公式列方程(組)得出.(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個量a1,an,n,q,只要知道其中隨意三個就能求出另外一個,解題時常列方程(組)來解決.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知等比數(shù)列{an}中,a4=27,q=-3,則a1= ()A.1 B.-1 C.3 D.-3【解析】選B.等比數(shù)列{an}中,a4=27,q=-3,則a1=QUOTE=QUOTE=-1.2.已知等比數(shù)列{an}中,a6=4,a8=8,則a10的值是 ()A.5 B.6 C.14 D.16【解析】選D.依題意,設(shè)公比為q,等比數(shù)列{an}中,a6=4,a8=8,所以QUOTE=QUOTE=q2=QUOTE=2,又QUOTE=QUOTE=q2=2,所以a10=a8×q2=8×2=16.3.已知a1=QUOTE,an=QUOTE,q=QUOTE,則n=.

【解析】因?yàn)閍1=QUOTE,q=QUOTE,an=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE×QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以n-1=3,所以n=4.答案:4類型二等比中項(xiàng)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知b是a,c的等比中項(xiàng),求證:ab+bc是a2+b2與b2+c2的等比中項(xiàng).四步內(nèi)容理解題意條件:b是a,c的等比中項(xiàng).結(jié)論:ab+bc是a2+b2與b2+c2的等比中項(xiàng).思路探求證明(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2)即可書寫表達(dá)【證明】b是a,c的等比中項(xiàng),則b2=ac,且a,b,c均不為零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2即ab+bc是a2+b2與b2+c2的等比中項(xiàng).題后反思本題的關(guān)鍵是用遞推法分析出ab+bc與a2+b2和b2+c2的關(guān)系.等比中項(xiàng)法證明等比數(shù)列“a,G,b成等比數(shù)列”等價于“G2=ab(a,b均不為0)”,可以用它來推斷或證明三個數(shù)成等比數(shù)列.1.一個直角三角形的三邊成等比數(shù)列,則較小銳角的正弦值是.

【解析】設(shè)三邊為a,aq,aq2(q>1),由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以q2=QUOTE.較小銳角記為θ,則sinθ=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE2.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d不為0,a1=9d,若ak是a1與QUOTE的等比中項(xiàng),則k等于 ()A.2 B.4 C.6 D.8【解析】選B.因?yàn)閍n=(n+8)d,又QUOTE=a1·a2k,所以[(k+8)d]2=9d·(2k+8)d,解得k=-2(舍去),k=4.【拓展延長】等比中項(xiàng)的留意點(diǎn)1.留意非零.若b2=ac且ac≠0,則a,b,c成等比數(shù)列.這里要留意條件ac≠0;若只有條件b2=ac,我們得不到a,b,c成等比數(shù)列的結(jié)論.2.留意個數(shù).當(dāng)a,b同號時,a,b的等比中項(xiàng)有兩個,異號時,沒有等比中項(xiàng).3.留意從第2項(xiàng)起.在一個等比數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng).【拓展訓(xùn)練】(1)三個不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,且a,c,b成等比數(shù)列,則a∶b∶c=.

【解析】由題意得2b=a+c①,c2=ab②,由①得c=2b-a③,將③代入②得a=b(舍去)或a=4b,所以c=2b-a=2b-4b=-2b.則a∶b∶c=4∶1∶(-2).答案:4∶1∶(-2)(2)在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減安排的意思.今共有糧98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,則衰分比例為.

【解析】設(shè)衰分比例為q,則甲、乙、丙各分得QUOTE,28,28q石,所以QUOTE+28+28q=98,所以q=2或QUOTE.又0<q<1,所以q=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】-1,a,b,c,-25是等比數(shù)列,則abc=.

【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,因?yàn)閎是a,c的等比中項(xiàng),也是-1,-25的等比中項(xiàng),所以b2=-1×(-25)=25,所以b=±5,又因?yàn)閎=-1×q2<0,所以b=-5,所以abc=b3=-125.答案:-125類型三等比數(shù)列的推斷與證明(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1利用定義證明等比數(shù)列

【典例】已知數(shù)列{an}滿意a1=1,2an+1=3an+1.證明:{an+1}是等比數(shù)列.【思路導(dǎo)引】證明QUOTE為常數(shù),或整體構(gòu)造證明.【證明】方法一:因?yàn)?an+1=3an+1,所以an+1=QUOTEan+QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.方法二:因?yàn)?an+1=3an+1,所以2an+1+2=3an+1+2,即2an+1+2=3an+3,所以2(an+1+1)=3(an+1),所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTE是以QUOTE為公比的等比數(shù)列.若將本例中的條件改為“an+1=2an+1”,其他條件不變,證明:{an+1}是等比數(shù)列.【證明】因?yàn)閍n+1=2an+1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=2,所以{an+1}是以2為公比的等比數(shù)列.角度2已知Sn與an的關(guān)系證明等比數(shù)列

【典例】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿意Sn=QUOTEan+b(n∈N*,b∈R,b≠0).(1)求證:{an}是等比數(shù)列;(2)求證:{an+1}不是等比數(shù)列.【思路導(dǎo)引】(1)消去Sn,利用an,an-1的關(guān)系證明;(2)考查出數(shù)列的前三項(xiàng)進(jìn)行證明.【證明】(1)因?yàn)镾n=QUOTEan+b,所以當(dāng)n≥2時,Sn-1=QUOTEan-1+b,兩式相減得Sn-Sn-1=QUOTEan+b-QUOTEan-1-b,所以an=QUOTEan-QUOTEan-1,所以an=3an-1,又a1=-2b≠0,故{an}是公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)知a1=-2b,所以a2=-6b,a3=-18b,所以數(shù)列{an+1}的前三項(xiàng)為a1+1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,(a2+1)2=1+36b2-12b.(a1+1)(a3+1)=1+36b2-20b,因?yàn)閎≠0,所以(a2+1)2≠(a1+1)(a3+1),故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.數(shù)列{an}是等比數(shù)列的推斷方法(1)定義法:若數(shù)列{an}滿意QUOTE=q(q為常數(shù)且不為零)或QUOTE=q(n≥2,q為常數(shù)且不為零),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(2)等比中項(xiàng)法:對于數(shù)列{an},若QUOTE=an·an+2且an≠0,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.1.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2n+a,試推斷{an}是否是等比數(shù)列.【解析】an=Sn-Sn-1=2n+a-2n-1-a=2n-1(n≥2).當(dāng)n≥2時,QUOTE=QUOTE=2;當(dāng)n=1時,QUOTE=QUOTE=QUOTE.故當(dāng)a=-1時,數(shù)列{an}成等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為2;當(dāng)a≠-1時,數(shù)列{an}不是等比數(shù)列.2.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn=2-an.求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【證明】因?yàn)镾n=2-an,所以Sn+1=2-an+1,所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,所以an+1=QUOTEan.又因?yàn)镾1=2-a1,所以a1=1≠0.又由an+1=QUOTEan知an≠0,所以QUOTE=QUOTE,所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【拓展延長】推斷數(shù)列為等比數(shù)列時,依據(jù)定義,是從第2項(xiàng)起,后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比是同一非零常數(shù),需驗(yàn)證n=1時是否成立.【拓展訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿意關(guān)系式lg(Sn+1)=n(n=1,2,…),試證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【證明】由已知可得Sn=10n-1.當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(10n-1)-(10n-1-1)=9×10n-1,又當(dāng)n=1時,a1=S1=9也滿意上述通項(xiàng)公式,所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=9×10n-1.而當(dāng)n≥2時,QUOTE=QUOTE=10為一常數(shù),所以數(shù)列{an}是等比數(shù)列.【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,an+1=QUOTESn,n∈N*.求證:數(shù)列QUOTE為等比數(shù)列.【證明】因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2×QUOTE,所以QUOTE=2,又QUOTE=QUOTE=1,所以數(shù)列QUOTE是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且a1=1,a4=8,則a6= ()A.15 B.24 C.32 D.64【解析】選C.設(shè)公比為q,由a1=1,a4=8可得公比q=2,故a6=a1q5=32.2.下面四個數(shù)列中,是等比數(shù)列的是 ()A.q,2q,4q,6q B.q,q2,q3,q4C.q,2q,4q,8q D.QUOTE,QUOTE,QUOTE,QUOTE【解析】選D.A項(xiàng)不符合等比數(shù)列定義;B,C兩項(xiàng)中q不等于0時是等比數(shù)列,q=0時不是等比數(shù)列;D項(xiàng)符合等比數(shù)列的定義,公比是QUOTE.3.已知數(shù)列{an}中,an+1=2an,且a3=12,則a1=.

【解析】因?yàn)?2=a3=2a2,所以a2=6.因?yàn)?=a2=2a1,所以a1=3.答案:34.已知等比數(shù)列{an}的公比為2,若a1+a3=4,則a2=.

【解析】由等比數(shù)列{an}的公比為2,a1+a3=4,所以a1(1+22)=4,解得a1=QUOTE,則a2=QUOTE