2024-2025學年高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.5.1平行關(guān)系的判定學案含解析北師大版必修2

PAGE5平行關(guān)系5．1平行關(guān)系的判定考綱定位重難突破1.理解直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的含義．2.會用圖形語言、文字語言、符號語言精確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3.能運用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關(guān)系的簡潔問題.重點：直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理的理解、應(yīng)用．難點：線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)化．方法：平行關(guān)系中的分類探討思想.授課提示：對應(yīng)學生用書第14頁[自主梳理]一、直線與平面的位置關(guān)系一條直線與一個平面有三種位置關(guān)系(1)直線a在平面α內(nèi)，記作aα；(2)直線a與平面α相交于點A，記作a∩α＝A；(3)直線a與平面α平行，記作a∥α.二、直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理定理表示線面平行的判定定理面面平行的判定定理文字語言若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∥b))?a∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα,bα,a∩b＝A,a∥β,b∥β))?α∥β圖形表示[雙基自測]1．下列選項中，肯定能得出直線m與平面α平行的是()A．直線m在平面α外B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行C．平面α外的直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行解析：選項A不符合題意，是因為直線m在平面α外也包括直線與平面相交；選項B與D不符合題意，是因為缺少條件mα；選項C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項C符合題意．答案：C2．直線a∥平面α，直線b∥平面α，則a與b的位置關(guān)系()A．平行 B．相交C．異面 D．不能確定解析：直線a與直線b可能平行、相交或異面．答案：D3．如圖是正方體的平面綻開圖，則在這個正方體中，下列推斷正確的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE與AN相交解析：作出此正方體．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，可得平面ACN∥平面BEM.答案：A4．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為B1O和C1O的中點，長方體的各面中與EF平行的有________個．解析：與EF平行的面有面AC，面BC1，面AD1.答案：35．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分別是C1C，B1C1，C1D1的中點，則平面MNP與平面A1解析：∵NP∥B1D1，且BD∥B1D1，∴NP∥BD.NP?面A1BD，∴NP∥面A1BD，同理MN∥面A1BD.又∵PN∩MN＝N，∴平面MNP∥平面A1DB.答案：平行授課提示：對應(yīng)學生用書第14頁探究一直線與平面平行的判定[典例1]如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AB，SC的中點．求證：EF∥平面SAD.[證明]取SD的中點G，連接GF，AG.又∵F為SC的中點．∴GF為△SDC的中位線．∴GF綊eq\f(1,2)DC.又E為AB的中點且底面ABCD為正方形．∴AE綊eq\f(1,2)CD.∴GF綊AE.∴四邊形AEFG為平行四邊形．∴EF∥AG.又AG平面SAD，EF平面SAD，∴EF∥平面SAD.]線面平行的判定方法(1)利用定義，證線面無公共點．(2)利用線面平行的判定定理，將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，奇妙地作出協(xié)助線，構(gòu)造線線平行是解決問題的關(guān)鍵．1．已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC求證：AB1∥平面DBC1.證明：∵A1B1C1-ABC是正三棱柱，∴四邊形B1BCC1是矩形．連接B1C交BC1于點E，則B1E＝EC，連接DE.如圖所示，在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1.又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1.探究二面面平行的判定[典例2]如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點，求證：平面AMN∥平面EFDB[證明]連接MF.∵M，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點，且四邊形A1B1C1D1為正方形，∴MF綊A1D1又A1D1綊AD，∴MF綊AD，∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又∵AM?平面EFDB，DF?平面EFDB.∴AM∥平面EFDB.同理可得AN∥平面EFDB.∵AM，AN?平面AMN，且AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法(1)利用定義，證面面無公共點．(2)利用平面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，即證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面．2．如圖(甲)，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F(xiàn)，H，G分別為AC，AD，DE的中點，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，如圖(乙)．求證：平面FHG∥平面ABE.證明：∵F，H，G分別為AC，AD，DE的中點，∴FH∥CD，HG∥AE.又AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥BE，∴FH∥BE.∵BE平面ABE，F(xiàn)H平面ABE，∴FH∥平面ABE.∵AE平面ABE，HG平面ABE，∴HG∥平面ABE.又FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABE.探究三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[典例3]如圖，B為△ACD所在平面外一點，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求證：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.[解析](1)證明：如圖，連接BM，BN，BG并延長，分別交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H.∵M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，則有eq\f(BM,MP)＝eq\f(BN,NF)＝eq\f(BG,GH)＝2.連接PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF，又PF平面ACD，MN平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M.∴平面MNG∥平面ACD.(2)由(1)可知eq\f(MG,PH)＝eq\f(BG,BH)＝eq\f(2,3)，∴MG＝eq\f(2,3)PH.又PH＝eq\f(1,2)AD，∴MG＝eq\f(1,3)AD.同理NG＝eq\f(1,3)AC，MN＝eq\f(1,3)CD.∴△MNG∽△ACD，其相像比為1∶3.∴S△MNG∶S△ADC＝1∶9.證明面面平行可轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行．線線、線面、面面間的這種相互轉(zhuǎn)化，可以幫助我們找到解題的突破口，同時也是證明平行問題的常用方法．3.如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA⊥AB，在側(cè)面PBC內(nèi)，有PB⊥BC，BE⊥PC于點E，且BE＝eq\f(\r(6),3)a.在線段AB上是否存在一點F，使EF∥平面PAD？若存在，求出eq\f(AF,AB)的值；若不存在，請說明理由．解析：存在滿意條件的點F.在平面PCD內(nèi)，過點E作EG∥CD交PD于點G，連接AG，在AB上取點F，使AF＝EG(圖略)．∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四邊形FEGA為平行四邊形，∴FE∥AG.又AG平面PAD，PE平面PAD，∴EF∥平面PAD，∴F即為所求的點．∵PB⊥BC，PA⊥AB，∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2，設(shè)PA＝x，則PC＝eq\r(2a2＋x2)，由PB·BC＝BE·PC，得eq\r(a2＋x2)·a＝eq\r(2a2＋x2)·eq\f(\r(6),3)a，∴x＝a，即PA＝a，∴PC＝eq\r(3)a.又CE＝eq\r(a2－\f(\r(6),3)a2)＝eq\f(\r(3),3)a，∴eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(GE,CD)＝eq\f(PE,PC)＝eq\f(2,3)，即GE＝eq\f(2,3)CD＝eq\f(2,3)a，∴AF＝eq\f(2,3)a，即eq\f(AF,AB)＝eq\f(2,3).線面平行、面面平行判定中的探究問題[典例](本題滿分12分)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，問：當點Q在什么位置時，平面D1BQ∥平面[規(guī)范解答]當Q為CC1的中點時，平面D1BQ∥平面PAO.……1分因為Q為CC1的中點，P為D1D的中點，所以PQ∥DC，①…2分又DC∥AB，所以PQ∥AB，且PQ＝AB.所以四邊形ABQP為平行四邊形，…4分所以QB∥PA.又PA平面PAO，QB平面PAO，所以BQ∥平面PAO.②…7分連接BD(圖略)，則O∈BD，又O為DB的中點，P為D1D的中點，所以PO∥D1B.…9分又PO平面PAO，D1B平面PAO，所以D1B∥平面PAO.③…11分又D1B∩BQ＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.…12分[規(guī)范與警示]①由P是DD1的中點，探究知Q是CC1中點，此為解題關(guān)鍵點．②利用平行四邊形找出兩平面中一組直線平行，留意證明過程要嚴謹．③由三角形中位線證明兩平面中另一組直線平行，切記面面平行的兩線肯定是相交直線．探究型問題是具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件或結(jié)論不完備，須要自己去探究，結(jié)合已有條件，進行視察、分析、比較和概括得出結(jié)論．常見的有以下兩類：a．條件探究型：條件探究型問題是針對一個結(jié)論，條件未知需探究，或條件增刪需確定，或條件正誤需推斷．b．結(jié)論探究型：結(jié)論探究型是先探究結(jié)論然后再去證明，在探究過程中常先從特別狀況入手，通過視察、分析、歸納，進行揣測，得出結(jié)論，再就一般狀況去驗證結(jié)論．[隨堂訓練]對應(yīng)學生用書第16頁1．下列命題中正確的是()①若一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；②若一個平面內(nèi)有多數(shù)條直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行；③若一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行．A．①③ B．②C．②③ D．③解析：①②中兩個平面還可以相交，故①②錯誤；由兩個平面平行的定義，知③正確．故選D.答案：D2．若一個平面內(nèi)的兩條直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，則這兩個平面的位置關(guān)系是()A．肯定平行 B．肯定相交C．平行或相交 D．以上都不對解析：當每個平面內(nèi)的兩條直線都是相交直線時，可推出兩個平面肯定平行，否則，兩個平面有可能相交．答案：C3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱PB，PC的中點，則EF與平面PAD的位置關(guān)系為________．解析：由于E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，所以EF∥BC.又因為AD∥BC，所以EF∥AD.而EF?平面PAD，AD平面PAD，故EF∥平面PAD.答案：EF∥平面PAD4．在六棱柱的表面中，相互平行的面最多有________對．解析：畫出圖形(圖略)視察可得．答案：45.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中