2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)四十六第六章概率4.2超幾何分布含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE四十六超幾何分布1．(2024·黃岡高二檢測(cè))如圖，我國古代珠算算具算盤每個(gè)檔(掛珠的桿)上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面兩顆叫上珠，下面5顆叫下珠，若從某一檔的7顆算珠中任取3顆，至少含有一顆上珠的概率為()A．eq\f(5,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(2,7)D．eq\f(1,7)【解析】選A.由題意得P＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝1－eq\f(2,7)＝eq\f(5,7).2．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的個(gè)數(shù)，則P(X<2)等于()A．eq\f(7,15)B．eq\f(8,15)C．eq\f(13,15)D．eq\f(14,15)【解析】選D.P(X<2)＝P(X＝1)＋P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(14,15).3．某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)間是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].從樣本成果不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，記這2人成果在90分以上(含90分)的人數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為()A.eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)【解析】選B.由頻率分布直方圖知，3×0.006×10＋0.01×10＋0.054×10＋10x＝1，解得x＝0.018，所以成果不低于80分的學(xué)生有(0.018＋0.006)×10×50＝12人，成果在90分以上(含90分)的學(xué)生有0.006×10×50＝3人．ξ的可能取值為0，1，2，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(6,11)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(9)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(9,22)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)))＝eq\f(1,22)，所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(6,11)eq\f(9,22)eq\f(1,22)所以Eξ＝0×eq\f(6,11)＋1×eq\f(9,22)＋2×eq\f(1,22)＝eq\f(1,2).4．已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ，已知P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)，且該產(chǎn)品的次品率不超過40%，則這10件產(chǎn)品的次品率為()A．10%B．20%C．30%D．40%【解析】選B.設(shè)10件產(chǎn)品中存在n件次品，從中抽取2件，其次品數(shù)為ξ，由P(ξ＝1)＝eq\f(16,45)得eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(n))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(10－n)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))＝eq\f(16,45)，化簡(jiǎn)得n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8；又該產(chǎn)品的次品率不超過40%，所以n≤4；應(yīng)取n＝2，所以這10件產(chǎn)品的次品率為eq\f(2,10)＝20%.5．為了抗擊新冠肺炎疫情，某市醫(yī)護(hù)人員主動(dòng)響應(yīng)號(hào)召，現(xiàn)擬從A醫(yī)院呼吸科中的5名年輕醫(yī)生中選派2人參與支援隊(duì)伍，已知男醫(yī)生2名，女醫(yī)生3人，則選出的2名醫(yī)生中至少有1名男醫(yī)生的概率是________．【解析】由題意，選出的2名醫(yī)生中至少有1名男醫(yī)生分為恰有1名男醫(yī)生和全部都是男醫(yī)生兩種狀況，則所求概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))·Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)))＝eq\f(6＋1,10)＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2024·宿遷高二檢測(cè))在10個(gè)排球中有6個(gè)正品，4個(gè)次品．從中抽取4個(gè)，則正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為()A．eq\f(5,42)B．eq\f(4,35)C．eq\f(19,42)D．eq\f(8,21)【解析】選A.正品數(shù)比次品數(shù)少，有兩種狀況：0個(gè)正品4個(gè)次品，1個(gè)正品3個(gè)次品，由超幾何分布的概率可知，當(dāng)0個(gè)正品4個(gè)次品時(shí)，P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(1,210)，當(dāng)1個(gè)正品3個(gè)次品時(shí)，P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(24,210)＝eq\f(4,35)，所以正品數(shù)比次品數(shù)少的概率為eq\f(1,210)＋eq\f(4,35)＝eq\f(5,42).2．紋樣是中國傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，也是世界文化藝術(shù)寶庫中的巨大財(cái)寶．小楠從小就對(duì)紋樣藝術(shù)有深厚的愛好．他收集了4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(37,42)C．eq\f(21,37)D．eq\f(5,42)【解析】選B.從9枚紋樣徽章中選擇3枚，全部可能事務(wù)的數(shù)目為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9))，滿意“一枚鳳紋徽章也沒有”的全部可能事務(wù)的數(shù)目為Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))，因?yàn)椤爸辽儆幸幻而P紋徽章”的對(duì)立事務(wù)為“一枚鳳紋徽章也沒有”，所以P＝1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝1－eq\f(5×4×3,9×8×7)＝eq\f(37,42).3．(2024·大連高二檢測(cè))有8名學(xué)生，其中有5名男生．從中選出4名代表，選出的代表中男生人數(shù)為X，則其數(shù)學(xué)期望為EX＝()A．2B．2.5C．3D．3.5【解析】選B.隨機(jī)變量X的全部可能取值為1，2，3，4.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(5))Ceq\o\al(\s\up1(4－k),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)))(k＝1，2，3，4).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX＝1×eq\f(1,14)＋2×eq\f(3,7)＋3×eq\f(3,7)＋4×eq\f(1,14)＝eq\f(5,2).4．(2024·南京高二檢測(cè))某地7個(gè)貧困村中有3個(gè)村是深度貧困，現(xiàn)從中隨意選3個(gè)村，下列事務(wù)中概率等于eq\f(6,7)的是()A．至少有1個(gè)深度貧困村B．有1個(gè)或2個(gè)深度貧困村C．有2個(gè)或3個(gè)深度貧困村D．恰有2個(gè)深度貧困村【解析】選B.用X表示這3個(gè)村莊中深度貧困村數(shù)，X聽從超幾何分布，故P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))(k＝0，1，2，3)，所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(7)))＝eq\f(1,35)，P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(6,7).二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分)5．有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是()A．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) B．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))C．eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))) D．1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))【解析】選CD.(干脆法)至少有1個(gè)是一等品的概率是eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(16))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(16)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))).(間接法)全部都是二等品的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20)))，故至少有1個(gè)是一等品的概率為1－eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(20))).6．一袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是()A．取出的最大號(hào)碼X聽從超幾何分布B．取出的黑球個(gè)數(shù)Y聽從超幾何分布C．取出2個(gè)白球的概率為eq\f(1,14)D．若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為eq\f(1,14)【解析】選BD.一袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，對(duì)于A，超幾何分布取出某個(gè)對(duì)象的結(jié)果數(shù)不定，也就是說超幾何分布的隨機(jī)變量為試驗(yàn)次數(shù)，即指某事務(wù)發(fā)生n次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知取出的最大號(hào)碼X不聽從超幾何分布，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，超幾何分布的隨機(jī)變量為試驗(yàn)次數(shù)，即指某事務(wù)發(fā)生n次的試驗(yàn)次數(shù)，由此可知取出的黑球個(gè)數(shù)Y聽從超幾何分布，故B正確；對(duì)于C，取出2個(gè)白球的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(3,7)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則取出四個(gè)黑球的總得分最大，所以總得分最大的概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(1,14)，故D正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________．【解析】X滿意超幾何分布，所以P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)8．(2024·濰坊高二檢測(cè))從一批含有13只正品，2只次品的產(chǎn)品中，不放回地抽取3次，每次抽一只，設(shè)抽取次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝________．【解析】抽取次品數(shù)ξ滿意超幾何分布：p(ξ＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))，故p(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(22,35)，p(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(12,35)，p(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(13)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(15)))＝eq\f(1,35)，其期望Eξ＝0×eq\f(22,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(1,35)＝eq\f(2,5)，故E(5ξ＋1)＝5×Eξ＋1＝3.答案：3四、解答題(每小題10分，共20分)9．自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式．某大型超市為調(diào)查顧客運(yùn)用自由購的狀況，隨機(jī)抽取了100人，統(tǒng)計(jì)結(jié)果整理如下：20以下[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70]70以上運(yùn)用人數(shù)312176420未運(yùn)用人數(shù)003143630(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取1名顧客，試估計(jì)該顧客年齡在[30，50)且未運(yùn)用自由購的概率；(2)從被抽取的年齡在[50，70]運(yùn)用自由購的顧客中，隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解狀況，用X表示這3人中年齡在[50，60)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)為激勵(lì)顧客運(yùn)用自由購，該超市擬對(duì)運(yùn)用自由購的顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購物袋．若某日該超市預(yù)料有5000人購物，試估計(jì)該超市當(dāng)天至少應(yīng)打算多少個(gè)環(huán)保購物袋．【解析】(1)在隨機(jī)抽取的100名顧客中，年齡在[30，50)且未運(yùn)用自由購的共有3＋14＝17人，所以，隨機(jī)抽取1名顧客，估計(jì)該顧客年齡在[30，50)且未運(yùn)用自由購的概率為P＝eq\f(17,100).(2)X全部可能的取值為1，2，3，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(2)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)))＝eq\f(1,5).所以X的分布列為X123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)所以X的數(shù)學(xué)期望為EX＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.(3)在隨機(jī)抽取的100名顧客中，運(yùn)用自由購的共有3＋12＋17＋6＋4＋2＝44人，所以該超市當(dāng)天至少應(yīng)打算環(huán)保購物袋的個(gè)數(shù)估計(jì)為eq\f(44,100)×5000＝2200.10．每年暑期都會(huì)有大量中學(xué)生參與名校游學(xué)、夏令營等活動(dòng)，某中學(xué)學(xué)生社團(tuán)將其今年的社會(huì)實(shí)踐主題定為“中學(xué)生暑期游學(xué)支出分析”，并在該市各個(gè)中學(xué)隨機(jī)抽取了共3000名中學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，依據(jù)問卷調(diào)查發(fā)覺共1000名中學(xué)生參與了各類游學(xué)、夏令營等活動(dòng)，從中統(tǒng)計(jì)得到中學(xué)生暑期游學(xué)支出(單位：百元)頻率分布直方圖如圖．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)在[45，50)，[50，55)，[55，60]三組中利用分層隨機(jī)抽樣抽取10人，并從抽取的10人中隨機(jī)選出3人，對(duì)其消費(fèi)狀況進(jìn)行進(jìn)一步分析．①求每組恰好各被選出1人的概率；②設(shè)ξ為選出的3人中[45，50)這一組的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列．【解析】(1)由題意，得(0.024＋a＋0.04×2＋0.03×2)×5＝1，解得a＝0.036.(2)依據(jù)分層隨機(jī)抽樣，[45，50)，[50，55)，[55，60]三組抽取人數(shù)分別為4，3，3.①每組恰好各被選出1人的概率為eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10).②ξ的全部可能取值為0，1，2，3.P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(1,30)，則ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)1．李明參與中心電視臺(tái)《同一首歌》大賽的青年志愿者選拔，在已知備選的10道題中，李明能答對(duì)其中的6道，規(guī)定考試從備選題中隨機(jī)地抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)2題才能入選．則李明入選的概率為________．【解析】設(shè)所選的3題中李明能答對(duì)的題數(shù)為X，則X聽從超幾何分布，且P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(3－k),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))(k＝0，1，2，3)故所求概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＋eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(60,120)＋eq\f(20,120)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)2．教化部最近頒發(fā)的《關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教化的看法》中指出，勞動(dòng)教化是國民教化體系的重要內(nèi)容，是學(xué)生成長的必要途徑，具有樹德、增智、強(qiáng)體、育美的綜合育人價(jià)值．某中學(xué)激勵(lì)學(xué)生多做家務(wù)勞動(dòng)，提升自理實(shí)力和勞動(dòng)技能，爭(zhēng)做家長的好幫手，增進(jìn)家庭和諧度．學(xué)校為了解該校學(xué)生參與家務(wù)勞動(dòng)的狀況，從中隨機(jī)抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他們雙休日兩天家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求這100名學(xué)生雙休日