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PAGE2.1等式2.1.1等式的性質(zhì)與方程的解集內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.駕馭等式的性質(zhì),并能進(jìn)行應(yīng)用.邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2.理解常見恒等式及其變形的形式,能對(duì)一些式子進(jìn)行化簡(jiǎn).3.能通過(guò)因式分解求方程的解集.授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第19頁(yè)[教材提煉]學(xué)問(wèn)點(diǎn)一等式的性質(zhì)1.等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),結(jié)果仍相等,用公式表示:假如a=b,那么a±c=b±c;這里的a,b,c可以是詳細(xì)的一個(gè)數(shù),也可以是一個(gè)代數(shù)式.2.等式兩邊乘以同一個(gè)數(shù),或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等,用公式表示:假如a=b,那么ac=bc,eq\f(a,c)=eq\f(b,c)(c≠0).學(xué)問(wèn)點(diǎn)二恒等式1.a(chǎn)2-b2=(a+b)(a-b);(平方差公式)2.(a-b)2=a2-2ab+b2;(兩數(shù)差的平方公式)3.(a+b)2=a2+2ab+b2;(兩數(shù)和的平方公式)4.a(chǎn)3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);(立方差公式)5.a(chǎn)3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).(立方和公式)學(xué)問(wèn)點(diǎn)三方程的解集一般地,把一個(gè)方程全部解組成的集合稱為方程的解集.[自主檢測(cè)]1.一元二次方程x2-2x=0的兩根分別為x1和x2,則x1x2為()A.-2 B.1C.2 D.0答案:D2.分解因式:x2-1=________.答案:(x+1)(x-1)3.方程x2+2x+1=0的解集為________.答案:{-1}4.多項(xiàng)式4a-a3答案:a(2-a)(2+a)授課提示:對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第19頁(yè)探究一利用恒等式化簡(jiǎn)[例1](1)分解因式:9-b2=________;(2)分解因式:4a2-4[解析](1)利用平方差公式分解因式.(2)利用完全平方公式分解.[答案](1)(3+b)(3-b)(2)(2a-1)利用恒等式化簡(jiǎn)的步驟(1)先看各項(xiàng)有無(wú)公因式,有公因式的先提取公因式.(2)提公因式后看多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).①若多項(xiàng)式為兩項(xiàng),則考慮用平方差公式因式分解.②若多項(xiàng)式為三項(xiàng),則考慮用完全平方公式因式分解.③若多項(xiàng)式有四項(xiàng)或四項(xiàng)以上,就考慮綜合運(yùn)用上面的方法.(3)若上述方法都不能分解,則考慮把多項(xiàng)式重新整理、變形,再按上面步驟進(jìn)行.1.將多項(xiàng)式x-x3因式分解正確的是()A.x(x2-1) B.x(1-x2)C.x(x+1)(x-1) D.x(1+x)(1-x)解析:x-x3=x(1-x2)=x(1+x)(1-x).故選D.答案:D2.分解因式:a3b-ab3=________.解析:a3b-ab3=ab(a2-b2)=ab(a+b)(a-b).答案:ab(a+b)(a-b)探究二十字相乘法[例2]分解因式:(1)x2+6x-7;(2)2x2-7x+6;(3)x2+29xy+100y2.[解析](1)法一:x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1).法二:x2+6x-7=(x+7)(x-1).(2)首先把二次項(xiàng)系數(shù)2分成1×2,常數(shù)項(xiàng)6分成(-2)×(-3),寫成十字相乘,左邊兩個(gè)數(shù)的積為二次項(xiàng)系數(shù).右邊兩個(gè)數(shù)相乘為常數(shù)項(xiàng),交叉相乘的和為1×(-3)+2×(-2)=-7,正好是一次項(xiàng)系數(shù),從而得2x2-7x+6=(x-2)(2x-3).(3)x2+29xy+100y2=x2+29y·x+4y·25y=(x+4y)(x+25y).1.對(duì)于首項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式的十字相乘法,重點(diǎn)是運(yùn)用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)進(jìn)行因式分解.2.對(duì)于二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a、b、c都是整數(shù),且a≠0)來(lái)說(shuō),假如存在四個(gè)整數(shù)a1,c1,a2,c2滿意a1a2=a,c1c2=c,并且a1c2+a2c1=b,那么二次三項(xiàng)式ax2+bx+c即a1a2x2+(a1c2+a2c1)x+c1c2可以分解為(a1x+c1分解因式:-eq\f(1,3)x2+eq\f(4,3)x+7.解析:-eq\f(1,3)x2+eq\f(4,3)x+7=-eq\f(1,3)(x2-4x-21)=-eq\f(1,3)(x-7)(x+3).探究三方程的解集[例3]求方程6x2-7x-5=0的解集.[解析]因?yàn)?x2-7x-5=(2x+1)(3x-5),所以(2x+1)(3x-5)=0,從而可知2x+1=0或3x-5=0,即x=-eq\f(1,2)或x=eq\f(5,3),因此方程的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),\f(5,3))).一元二次方程解法的選擇(1)干脆開平方法適用狀況①當(dāng)方程缺少一次項(xiàng)時(shí),即方程ax2+c=0(a≠0,ac<0);②形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.(2)因式分解法適用狀況①缺少常數(shù)項(xiàng),即方程ax2+bx=0(a≠0);②一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積.(3)配方法適用狀況①二次項(xiàng)系數(shù)化為1后,一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù)的一元二次方程;②各項(xiàng)的系數(shù)比較小且便于配方的狀況.求方程2x2-x-1=0的解集.解析:因?yàn)?x2-x-1=(2
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