2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間幾何體章末綜合提升學(xué)案新人教A版必修2

PAGE第一章空間幾何體[鞏固層·學(xué)問整合][提升層·題型探究]空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】(1)設(shè)有四個命題：①底面是矩形的平行六面體是長方體；②棱長都相等的直四棱柱是正方體；③側(cè)棱垂直于底面兩條邊的平行六面體是直平行六面體；④對角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中真命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4(2)在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有()A．1個B．2個C．3個D．4個(1)A(2)D[(1)①若側(cè)棱不垂直于底面，則底面是矩形的平行六面體不是長方體，錯誤；②若底面是菱形，則棱長都相等的直四棱柱不是正方體，錯誤；③若側(cè)棱垂直于底面兩條平行邊，則側(cè)棱不肯定垂直于底面，故側(cè)棱垂直于底面兩條邊的平行六面體不肯定是直平行六面體，錯誤；④若平行六面體對角線相等，則對角面皆是矩形，于是可得側(cè)棱垂直于底面，因此對角線相等的平行六面體是直平行六面體，正確．(2)如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，取四棱錐A1-ABCD，與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問題的解答技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是推斷的關(guān)鍵，熟識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的狀況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．棱臺上、下底面面積分別為16，81，有一平行于底面的截面，其面積為36，則截面截得兩棱臺高的比為()A．1∶1B．1∶2C．2∶3D．3∶4C[將棱臺還原為棱錐，如圖所示，設(shè)頂端小棱錐的高為h，兩棱臺的高分別為x1，x2，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,h＋x1)))eq\s\up10(2)＝eq\f(16,36)，解得x1＝eq\f(h,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,h＋x1＋x2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(16,81)，解得x2＝eq\f(3,4)h.故eq\f(x1,x2)＝eq\f(2,3).]空間幾何體的表面積與體積【例2】(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．4π B．(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π(2)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1-BB1D1D(1)D(2)eq\f(1,3)[(1)∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱減去一個底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐的組合體，∴幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.(2)∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1∴矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1.∵四棱錐A1-BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1對角線長的一半，即為eq\f(\r(2),2)，∴V四棱錐A1-BB1D1D＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).]空間幾何體的表面積與體積的求法(1)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理．(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題留意其側(cè)面綻開圖的應(yīng)用．(3)求困難幾何體的體積常用割補法、等積法求解．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])2．如圖所示，已知三棱柱ABC-A′B′C′，側(cè)面B′BCC′的面積是S，點A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a，求三棱柱ABC-A′B′C′的體積．[解]連接A′B，A′C，如圖所示，這樣就把三棱柱分割成了兩個棱錐．設(shè)所求體積為V，明顯三棱錐A′-ABC的體積是eq\f(1,3)V.而四棱錐A′-BCC′B′的體積為eq\f(1,3)Sa，故有eq\f(1,3)V＋eq\f(1,3)Sa＝V，即V＝eq\f(1,2)Sa.與球有關(guān)的切、接問題【例3】(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為6，底面邊長為4，則該球的表面積為()A．eq\f(44,3)πB．eq\f(484,9)πC．eq\f(81,4)πD．16π(2)一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，假如這個球的體積是eq\f(32,3)π，那么這個三棱柱的體積是()A．96eq\r(3)B．16eq\r(3)C．24eq\r(3)D．48eq\r(3)(1)B(2)D[(1)如圖，設(shè)PE為正四棱錐P-ABCD的高，則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上，延長PE交球面于一點F，連接AE，AF.由球的性質(zhì)可知△PAF為直角三角形且AE⊥PF，又底面邊長為4,所以AE＝2eq\r(2)，PE＝6,所以側(cè)棱長PA＝eq\r(PE2＋AE2)＝eq\r(62＋（2\r(2)）2)＝eq\r(44)＝2eq\r(11).設(shè)球的半徑為R,則PF＝2R.由三角形相像得PA2＝PF·PE，即44＝2R×6，解得R＝eq\f(11,3)，所以S＝4πR2＝4π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,3)))eq\s\up10(2)＝eq\f(484π,9)，故選B.(2)由球的體積公式可求得球的半徑R＝2.設(shè)球的外切正三棱柱的底面邊長為a，高即側(cè)棱長，為h，則h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的內(nèi)切球特征，有eq\f(a,2)×eq\f(\r(3),3)＝R＝2，解得a＝4eq\r(3).故此三棱柱的體積V＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).]與球相關(guān)問題的解題策略(1)作適當(dāng)?shù)慕孛?如軸截面等)時，對于球內(nèi)接長方體、正方體，則截面一要過球心，二要過長方體或正方體的兩條體對角線，才有利于解題．(2)對于“內(nèi)切”和“外接”等問題，首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系，主要是指特別的點、線、面之間的關(guān)系，然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中來解決．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])3．已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為()A．64π B．48πC．36π D．32πA[如圖所示，設(shè)球O的半徑為R，⊙O1的半徑為r，因為