舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題8.1 基本立體圖形(重難點(diǎn)題型精講)(含答案及解析)_第1頁(yè)
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舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題8.1 基本立體圖形(重難點(diǎn)題型精講)(含答案及解析)_第3頁(yè)
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專題8.1基本立體圖形(重難點(diǎn)題型精講)1.空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對(duì)于空間中的物體,如果只考慮其形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如,一個(gè)牛奶包裝箱可以抽象出長(zhǎng)方體.(2)定理的實(shí)質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體:一般地,由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面:圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱:兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,如圖中棱AA',棱BB'等.

④多面體的頂點(diǎn):棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn),如圖中頂點(diǎn)A,B,A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸:平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體,棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體,棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.4.簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡(jiǎn)單組合體的定義由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.

(2)簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式

①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成,如圖(1)所示.②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成,如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體:圖(1)中幾何體由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(2)中幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(3)中幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成.5.正方體的截面形狀的探究通過(guò)嘗試、歸納,有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形:等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時(shí),這個(gè)四邊形中至少有一組對(duì)邊平行.

(3)截面可以是五邊形,且此時(shí)五邊形必有兩組分別平行的邊,同時(shí)有兩個(gè)角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形,且此時(shí)六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對(duì)應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【題型1簡(jiǎn)單幾何體的識(shí)別】【方法點(diǎn)撥】(1)掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征;(2)判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體;(3)得到幾何體的名稱.【例1】(2022春·湖南株洲·高一期中)以下各幾何體中,是棱柱的是(

)A. B. C. D.【變式1-1】(2022春·湖南株洲·高二開學(xué)考試)下列幾何體中為臺(tái)體的是(

)A. B. C. D.【變式1-2】(2022秋·青海海南·高二階段練習(xí))觀察下圖中的四個(gè)幾何體,其中判斷正確的是(

)A.(1)是棱臺(tái) B.(2)是圓臺(tái)C.(3)是棱錐 D.(4)不是棱柱【變式1-3】(2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一期末)下列幾何體中是棱錐的有(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【題型2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件,根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行分析求解.【例2】(2022秋·上海黃浦·高三階段練習(xí))下列命題是真命題的是(

)A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共項(xiàng)點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐【變式2-1】(2022·吉林·高一期中)下列命題中,正確的是(

)A.底面是正方形的四棱柱是正方體B.棱錐的高線可能在幾何體之外C.有兩個(gè)面互相平行,其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【變式2-2】(2022秋·陜西漢中·高一期末)下列說(shuō)法正確的是(

)A.兩個(gè)平面平行,其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)B.棱柱的側(cè)面可以是三角形C.直棱柱的底面是正多邊形D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【變式2-3】(2022秋·湖南懷化·高二期中)以下四個(gè)命題中,真命題為(

)A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體C.正三棱錐是正四面體D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】通過(guò)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行分析,即可得解.【例3】(2022秋·安徽合肥·高二階段練習(xí))下列說(shuō)法正確的是A.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)可以做出無(wú)數(shù)條母線B.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C.圓柱的上底面下底面互相平行D.五棱錐只有五條棱【變式3-1】(2023·高一課時(shí)練習(xí))有下列命題,其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)是(

)①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體;②過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形;③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;④平行于母線的平面截圓錐,截面是等腰三角形.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【變式3-2】(2022秋·上海奉賢·高二期中)下列說(shuō)法正確的是(

)A.圓柱上下底面各取一點(diǎn),它們的連線即為圓柱的母線B.過(guò)球上任意兩點(diǎn),有且僅有一個(gè)大圓C.圓錐的軸截面是等腰三角形D.用一個(gè)平面去截球,所得的圓即為大圓【變式3-3】(2023·高一課時(shí)練習(xí))有下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長(zhǎng);②圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng);③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【題型4簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】掌握常見的幾種簡(jiǎn)單組合體,結(jié)合具體問題,進(jìn)行求解即可.【例4】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體,對(duì)其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是(

)A.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱 B.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐C.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱 D.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺(tái)【變式4-1】(2022秋·河北滄州·高三階段練習(xí))太陽(yáng)能發(fā)電是我國(guó)大力提倡的一種新能源發(fā)電形式.如圖所示,某型號(hào)的矩形太陽(yáng)能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐,點(diǎn)A1,B1,C1,D1均在同一水平面內(nèi),且其中三根立柱AA1,BBA.100cm B.150cm C.200cm D.250cm【變式4-2】(2022春·上?!じ叨n}練習(xí))中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體:①有12個(gè)頂點(diǎn);②有14個(gè)面;③表面積為3;④體積為56A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【變式4-3】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖所示是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的獎(jiǎng)杯模型,獎(jiǎng)杯底托為空心的正四面體,且挖去的空心部分是恰好與四面體四個(gè)面都相切的球O1;頂部為球O2,其直徑與正四面體的棱長(zhǎng)a相等,若這樣設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯,則球O1與球O2的半徑之比A.1:6 B.1:6 C.1:3 D.【題型5幾何體的截面問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)幾何體的截面形狀的研究,結(jié)合具體問題,進(jìn)行求解即可.【例5】(2023·高一課時(shí)練習(xí))圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐,過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,正確的截面圖是(

)A. B.C. D.【變式5-1】(2022·高一課時(shí)練習(xí))圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得,現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體,則截面圖形可能是(

)A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤【變式5-2】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別是A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【變式5-3】(2022秋·安徽合肥·高三期末)已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為A1A.22 B.25 C.310【題型6平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的幾何體】【方法點(diǎn)撥】對(duì)于平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,首先要對(duì)原平面圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指?,一般分割成矩形、三角形、梯形或圓(半圓或四分之一圓周)等基本圖形,然后結(jié)合圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的形成過(guò)程進(jìn)行分析.【例6】(2022春·廣東珠?!じ咭浑A段練習(xí))銅錢又稱方孔錢,是古代錢幣最常見的一種.如圖所示為清朝時(shí)的一枚“嘉慶通寶”,由一個(gè)圓和一個(gè)正方形組成,若繞旋轉(zhuǎn)軸(虛線)旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體是(

)A.一個(gè)球B.一個(gè)球挖去一個(gè)圓柱C.一個(gè)圓柱D.一個(gè)球挖去一個(gè)正方體【變式6-1】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知長(zhǎng)方形ABCD中,AD=2,AB=4,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),現(xiàn)以AE所在直線為旋轉(zhuǎn)軸將該長(zhǎng)方形旋轉(zhuǎn)一周,則所得幾何體的體積為(A.102π B.2823π 【變式6-2】(2022·高一課時(shí)練習(xí))能旋轉(zhuǎn)形成如圖所示的幾何體的平面圖形是()A. B. C. D.【變式6-3】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖所示,是由等腰梯形、矩形、半圓、圓、倒三角形對(duì)接形成的平面軸對(duì)稱圖形,若將它繞軸l旋轉(zhuǎn)180°后形成一個(gè)組合體,下面說(shuō)法不正確的是()A.該組合體可以分割成圓臺(tái)、圓柱、圓錐和兩個(gè)球體B.該組合體仍然關(guān)于軸l對(duì)稱C.該組合體中的圓錐和球只有一個(gè)公共點(diǎn)D.該組合體中的球和半球只有一個(gè)公共點(diǎn)專題8.1基本立體圖形(重難點(diǎn)題型精講)1.空間幾何體的有關(guān)概念(1)空間幾何體的定義

對(duì)于空間中的物體,如果只考慮其形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫做空間幾何體.

例如,一個(gè)牛奶包裝箱可以抽象出長(zhǎng)方體.(2)定理的實(shí)質(zhì)多面體及其相關(guān)概念

①多面體:一般地,由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.

②多面體的面:圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面,如圖中面BCC'B'等.

③多面體的棱:兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱,如圖中棱AA',棱BB'等.

④多面體的頂點(diǎn):棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn),如圖中頂點(diǎn)A,B,A'等.(3)旋轉(zhuǎn)體及其相關(guān)概念

①旋轉(zhuǎn)體:一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.

圖為一個(gè)旋轉(zhuǎn)體,它可以看成由平面曲線OAA'O'繞OO'所在的直線旋轉(zhuǎn)而形成的.

②旋轉(zhuǎn)體的軸:平面曲線旋轉(zhuǎn)時(shí)所圍繞的定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.如圖中直線OO'是該旋轉(zhuǎn)體的軸.2.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征3.圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體,棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體,棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.4.簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征(1)簡(jiǎn)單組合體的定義由柱體、錐體、臺(tái)體、球等簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體叫做簡(jiǎn)單組合體.

(2)簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式

①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成,如圖(1)所示.②由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成,如圖(2)所示.

(3)常見的幾種組合體

①多面體與多面體的組合體:圖(1)中幾何體由一個(gè)四棱柱挖去一個(gè)三棱柱得到.②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(2)中幾何體由一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱得到.

③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體:圖(3)中幾何體由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成.5.正方體的截面形狀的探究通過(guò)嘗試、歸納,有如下結(jié)論.

(1)截面可以是三角形:等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形.截面不可能是直角三角形、鈍角三角形.

(2)截面可以是四邊形:平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面為四邊形時(shí),這個(gè)四邊形中至少有一組對(duì)邊平行.

(3)截面可以是五邊形,且此時(shí)五邊形必有兩組分別平行的邊,同時(shí)有兩個(gè)角相等.截面五邊形不可能是正五邊形.

(4)截面可以是六邊形,且此時(shí)六邊形必有三組分別平行的邊.截面六邊形可以是正六邊形.

對(duì)應(yīng)截面圖形如圖中各圖形所示【題型1簡(jiǎn)單幾何體的識(shí)別】【方法點(diǎn)撥】(1)掌握簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征;(2)判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體;(3)得到幾何體的名稱.【例1】(2022春·湖南株洲·高一期中)以下各幾何體中,是棱柱的是(

)A. B. C. D.【解題思路】根據(jù)給定的條件,利用棱柱的定義直接判斷作答.【解答過(guò)程】對(duì)于A,幾何體是三棱錐,不是棱柱,A不是;對(duì)于B,幾何體有兩個(gè)平面平行,其余各面都是梯形,不是棱柱,B不是;對(duì)于C,幾何體有兩個(gè)平面平行,其余各面都是梯形,不是棱柱,C不是;對(duì)于D,幾何體有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,是棱柱,D是.故選:D.【變式1-1】(2022春·湖南株洲·高二開學(xué)考試)下列幾何體中為臺(tái)體的是(

)A. B. C. D.【解題思路】直接判斷出各選項(xiàng)中幾何體的形狀,由此確定出臺(tái)體.【解答過(guò)程】A:圓錐,B:圓柱,C:棱臺(tái),D:球,所以屬于臺(tái)體的只有棱臺(tái),故選:C.【變式1-2】(2022秋·青海海南·高二階段練習(xí))觀察下圖中的四個(gè)幾何體,其中判斷正確的是(

)A.(1)是棱臺(tái) B.(2)是圓臺(tái)C.(3)是棱錐 D.(4)不是棱柱【解題思路】利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析判斷,能夠求出結(jié)果.【解答過(guò)程】圖(1)不是由棱錐截來(lái)的,所以(1)不是棱臺(tái);圖(2)上、下兩個(gè)面不平行,所以(2)不是圓臺(tái);圖(3)是棱錐.圖(4)前、后兩個(gè)面平行,其他面是平行四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行,所以(4)是棱柱.故選:C.【變式1-3】(2022春·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一期末)下列幾何體中是棱錐的有(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【解題思路】由棱錐的定義逐個(gè)判斷即可得解.【解答過(guò)程】由棱錐的定義可得,只有幾何體⑤、⑥為棱錐.故選:C.【題型2棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】結(jié)合具體條件,根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行分析求解.【例2】(2022秋·上海黃浦·高三階段練習(xí))下列命題是真命題的是(

)A.有兩個(gè)面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐D.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共項(xiàng)點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐【解題思路】根據(jù)棱柱的幾何特征,可判斷A、B的真假;根據(jù)棱錐的幾何特征可判斷CD的真假.【解答過(guò)程】解:因?yàn)橛袃蓚€(gè)面平行,其余各面是相鄰的公共邊都相互平行的平行四邊形的幾何體叫棱柱,所以A、B錯(cuò)誤;因?yàn)橛幸粋€(gè)面是多邊形,其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤,D選項(xiàng)正確.故選:D.【變式2-1】(2022·吉林·高一期中)下列命題中,正確的是(

)A.底面是正方形的四棱柱是正方體B.棱錐的高線可能在幾何體之外C.有兩個(gè)面互相平行,其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱D.有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【解題思路】舉反例否定選項(xiàng)A;舉例驗(yàn)證判斷選項(xiàng)B;依據(jù)棱柱定義判斷選項(xiàng)C;依據(jù)棱錐定義判斷選項(xiàng)D【解答過(guò)程】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱,不一定是正方體,故A錯(cuò)誤;斜棱錐的高線有可能在幾何體之外,故B正確;根據(jù)棱柱的定義可得,有兩個(gè)面互相平行,有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱.而滿足選項(xiàng)C條件的幾何體可能是組合體.故C錯(cuò)誤;有一個(gè)面是多邊形,其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐,故D錯(cuò)誤.故選:B.【變式2-2】(2022秋·陜西漢中·高一期末)下列說(shuō)法正確的是(

)A.兩個(gè)平面平行,其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)B.棱柱的側(cè)面可以是三角形C.直棱柱的底面是正多邊形D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【解題思路】根據(jù)各類簡(jiǎn)單幾何體結(jié)構(gòu)特征作出判斷即可.【解答過(guò)程】A.兩個(gè)平面平行,其余各面是梯形的多面體,當(dāng)側(cè)棱延長(zhǎng)后不交于同一點(diǎn)時(shí),就不是棱臺(tái),A錯(cuò)誤;B.棱柱的側(cè)面是平行四邊形,B錯(cuò)誤;C.側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱,所以底面不一定是正多邊形,比如直四棱柱底面可以是長(zhǎng)方形,C錯(cuò)誤;D.正棱錐定義:正棱錐是指底面是正多邊形,且從頂點(diǎn)到底面的垂線足是這個(gè)正多邊形的中心的棱錐,因此正棱錐側(cè)棱都相等,D正確.故選:D.【變式2-3】(2022秋·湖南懷化·高二期中)以下四個(gè)命題中,真命題為(

)A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體C.正三棱錐是正四面體D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【解題思路】根據(jù)柱體、錐體、臺(tái)體的定義和結(jié)構(gòu)特征即可判斷正誤.【解答過(guò)程】對(duì)于A,等腰三角形的腰不一定是側(cè)棱,A是假命題;對(duì)于B,側(cè)棱與底面矩形不一定垂直,B是假命題;對(duì)于C,正三棱錐的棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)不一定相等,故不一定是正四面體;對(duì)于D,由棱臺(tái)的定義知D是真命題.故選:D.【題型3旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】通過(guò)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)行分析,即可得解.【例3】(2022秋·安徽合肥·高二階段練習(xí))下列說(shuō)法正確的是A.通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)可以做出無(wú)數(shù)條母線B.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C.圓柱的上底面下底面互相平行D.五棱錐只有五條棱【解題思路】根據(jù)圓柱、圓錐和圓臺(tái)的幾何結(jié)構(gòu)特征,逐項(xiàng)判定,即可求解.【解答過(guò)程】A中,根據(jù)圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,通過(guò)圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)有且只有一條母線,所以不正確;B中,根據(jù)圓錐的定義,直角三角形繞其一直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐,所以不正確;C中,根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征,可知圓柱的上底面下底面互相平行,所以是正確的;D中,根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征,可得五棱錐只有五條側(cè)棱,所以不正確.故選:C.【變式3-1】(2023·高一課時(shí)練習(xí))有下列命題,其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)是(

)①圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體;②過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形;③以直角三角形一邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;④平行于母線的平面截圓錐,截面是等腰三角形.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【解題思路】由圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征逐一分析四個(gè)命題得結(jié)論.【解答過(guò)程】解:①圓柱是將矩形以一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體,故①錯(cuò)誤;②過(guò)圓錐頂點(diǎn)的截面是等腰三角形,故②正確;③以直角三角形一直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐,故③錯(cuò)誤;④平行于母線的平面截圓錐,截面不是等腰三角形,是拋物線,故④錯(cuò)誤.∴其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為3.故選:C.【變式3-2】(2022秋·上海奉賢·高二期中)下列說(shuō)法正確的是(

)A.圓柱上下底面各取一點(diǎn),它們的連線即為圓柱的母線B.過(guò)球上任意兩點(diǎn),有且僅有一個(gè)大圓C.圓錐的軸截面是等腰三角形D.用一個(gè)平面去截球,所得的圓即為大圓【解題思路】根據(jù)圓柱的定義、球的性質(zhì)以及圓錐的性質(zhì),逐一判定,即可求解,得到答案【解答過(guò)程】解:對(duì)于A,若上下頂面兩點(diǎn)連線不垂直于底面,則兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度不是母線的長(zhǎng)度,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)這兩點(diǎn)是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)時(shí),可作無(wú)數(shù)個(gè)大圓,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,根據(jù)圓錐的定義可知圓錐所有的軸截面是全等的等腰三角形,故C正確;對(duì)于D,用一個(gè)平面去截球,該平面需過(guò)球心的時(shí)候,所得的圓才是大圓,故D錯(cuò)誤;故選:C.【變式3-3】(2023·高一課時(shí)練習(xí))有下列命題:①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的直線距離是圓柱的母線長(zhǎng);②圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng);③圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行的.其中正確的命題是(

)A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【解題思路】根據(jù)圓柱,圓錐幾何體的特征依次判斷即可得答案.【解答過(guò)程】解:對(duì)于①,在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)所得直線與旋轉(zhuǎn)軸不一定平行,故錯(cuò)誤;對(duì)于②,圓錐頂點(diǎn)與底面所圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線長(zhǎng),故正確;對(duì)于③,圓柱的母線均與旋轉(zhuǎn)軸平行,故圓柱的任意兩條母線所在直線是互相平行,正確.所以,正確的命題是②③故選:B.【題型4簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征】【方法點(diǎn)撥】掌握常見的幾種簡(jiǎn)單組合體,結(jié)合具體問題,進(jìn)行求解即可.【例4】(2022·高一課時(shí)練習(xí))如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體,對(duì)其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是(

)A.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱柱 B.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)棱錐C.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓柱 D.一個(gè)六棱柱中挖去一個(gè)圓臺(tái)【解題思路】根據(jù)組合體外部輪廓圖的結(jié)構(gòu)特征和挖掉的幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可得解.【解答過(guò)程】螺母這個(gè)組合體的外部輪廓圖是六棱柱,由于螺母是旋擰在螺桿上的,則挖去的部分是圓柱,選項(xiàng)C表述準(zhǔn)確.故選:C.【變式4-1】(2022秋·河北滄州·高三階段練習(xí))太陽(yáng)能發(fā)電是我國(guó)大力提倡的一種新能源發(fā)電形式.如圖所示,某型號(hào)的矩形太陽(yáng)能電池板用四根垂直于地面的立柱支撐,點(diǎn)A1,B1,C1,D1均在同一水平面內(nèi),且其中三根立柱AA1,BBA.100cm B.150cm C.200cm D.250cm【解題思路】根據(jù)題意知四邊形ABCD是平行四邊形,故A、B、C、D在同一平面內(nèi),則CC1和BB1的差額與【解答過(guò)程】由題意知四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB//CD,則CC1和BB1的差額與設(shè)立柱DD1的長(zhǎng)度是故選:C.【變式4-2】(2022春·上?!じ叨n}練習(xí))中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的棱上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體:①有12個(gè)頂點(diǎn);②有14個(gè)面;③表面積為3;④體積為56A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【解題思路】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn),即為正方體截去8個(gè)三棱錐所剩部分,結(jié)合正方體的性質(zhì)即可求得.【解答過(guò)程】該半正多面體的所有頂點(diǎn)恰為正方體各棱的中點(diǎn),其棱長(zhǎng)為22S=6?222∴①②④正確,故選C.【變式4-3】(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))如圖所示是一位學(xué)生設(shè)計(jì)的獎(jiǎng)杯模型,獎(jiǎng)杯底托為空心的正四面體,且挖去的空心部分是恰好與四面體四個(gè)面都相切的球O1;頂部為球O2,其直徑與正四面體的棱長(zhǎng)a相等,若這樣設(shè)計(jì)獎(jiǎng)杯,則球O1與球O2的半徑之比A.1:6 B.1:6 C.1:3 D.【解題思路】設(shè)內(nèi)切球O1的半徑r1,正四面體的高為?,利用等體積得,可得4r1=?【解答過(guò)程】設(shè)內(nèi)切球O1的半徑r1,正四面體的高為?,利用等體積得,所以4r1=?則r1=612a,球O故選:B.【題型5幾何體的截面問題】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)幾何體的截面形狀的研究,結(jié)合具體問題,進(jìn)行求解即可.【例5】(2023·高一課時(shí)練習(xí))圓柱內(nèi)有一內(nèi)接正三棱錐,過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,正確的截面圖是(

)A. B.C. D.【解題思路】根據(jù)截面在圓柱底面所形成的截痕直接判斷即可.【解答過(guò)程】圓柱底面為正三棱錐底面三角形的外接圓,如下圖所示,則過(guò)棱錐的一條側(cè)棱和高作截面,棱錐頂點(diǎn)為圓柱上底面的中心,可得截面圖如下圖,故選:D.【變式5-1】(2022·高一課時(shí)練習(xí))圖中的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面,下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得,現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體,則截面圖形可能是(

)A.①② B.①③ C.①④ D.①⑤【解題思路】分截面經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心和截面不經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心兩種情況,分別討論,進(jìn)而可得出答案.【解答過(guò)程】當(dāng)截面經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心時(shí),圓錐的截面為三角形除去一條邊,所以①正確;當(dāng)截面不經(jīng)過(guò)圓柱上下底面的圓心時(shí),圓錐的截面為一條曲線,所以⑤正確;故選:D.【變式5-2】(2023·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn),G分別是A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【解題思路】利用平行畫出截面,進(jìn)而判斷出正確答案.【解答過(guò)程】分別取D1C1、D1D、AD的中點(diǎn)H、M、N,連接GH∵在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F(xiàn),∴HG//EN,HM//∴六邊形EFGHMN是過(guò)E,F(xiàn),G這三點(diǎn)的截面圖,∴過(guò)這三點(diǎn)的截面圖的形狀是六邊形.故選:D.【變式5-3】(2022秋·安徽合肥·高三期末)

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