第十章第一節(jié)隨機抽樣

第一節(jié)隨機抽樣【課程標準】1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑.2.了解總體、樣本、樣本量的概念,了解數(shù)據(jù)的隨機性.3.通過實例,了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程,掌握兩種簡單隨機抽樣方法:抽簽法和隨機數(shù)法,會計算樣本均值和樣本方差,了解樣本與總體的關(guān)系.4.通過實例,了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍,了解分層隨機抽樣的必要性,掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實例,掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差.5.在簡單的實際情境中,能根據(jù)實際問題的特點,設(shè)計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.【考情分析】考點考法:高考命題常以抽樣為載體,考查抽樣方法.簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣以及分層隨機抽樣中的抽樣數(shù)值、均值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.總體、個體、樣本調(diào)查對象的全體(或調(diào)查對象的某些指標的全體)稱為總體,組成總體的每一個調(diào)查對象(或每一個調(diào)查對象的相應(yīng)指標)稱為個體,在抽樣調(diào)查中,從總體中抽取的那部分個體稱為樣本,樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本容量,簡稱樣本量.2.簡單隨機抽樣抽簽法和隨機數(shù)法是比較常用的兩種簡單隨機抽樣的方法.3.總體平均數(shù)與樣本平均數(shù)(1)總體平均數(shù)①總體中有N個個體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱Y=Y1+Y2②如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式Y(jié)=.(2)樣本平均數(shù)如果從總體中抽取一個容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱y=y1+y24.分層隨機抽樣(1)定義:一般地,按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本,這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.(2)比例分配:在分層隨機抽樣中,如果每層樣本量都與層的大小成比例,那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯題號12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.在簡單隨機抽樣中,每個個體被抽到的機會與先后順序有關(guān)B.抽簽法和隨機數(shù)法都是簡單隨機抽樣C.在比例分配的分層隨機抽樣中,每個個體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)D.不論哪種抽樣方法,總體中的每一個個體入樣的概率是相同的【解析】選BD.由簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣的概念可知:選項A錯誤,選項C錯誤,選項D正確;由抽簽法和隨機數(shù)法的概念可知:選項B正確.2.(必修第二冊P189習題6改編)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,xn的平均數(shù)為5,則數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均數(shù)為 ()A.3 B.5 C.10 D.11【解析】選D.每個數(shù)據(jù)都變成原數(shù)據(jù)的2倍再加1的形式,所以平均數(shù)也變成原來平均數(shù)的2倍再加1,即11.3.(必修第二冊P189習題5改編)某單位有200名職工,其中女職工有60名,男職工有140名,現(xiàn)要從中抽取30名進行調(diào)研座談,如果用比例分配的分層隨機抽樣的方法進行抽樣,則應(yīng)抽女職工________名.

【解析】設(shè)應(yīng)抽女職工x名,則60200=x30,解得x答案:94.(不會讀數(shù)導(dǎo)致錯誤)假設(shè)要考察某公司生產(chǎn)的狂犬疫苗的劑量是否達標,現(xiàn)用隨機數(shù)法從500支疫苗中抽取50支進行檢驗,利用隨機數(shù)表抽取樣本時,先將500支疫苗按000,001,…,499進行編號,若從隨機數(shù)表第7行第7列的數(shù)開始向右讀,則抽取的第3支疫苗的編號為__________.(下面摘取了利用R統(tǒng)計軟件生成的隨機數(shù)表的第7行至第11行)

844217533157245506887704157767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【解析】由題意,從隨機數(shù)表第7行第7列的數(shù)開始向右讀,對應(yīng)的編號依次為533,157,245,506,887,704,157,767,217,…,超出499的和重復(fù)的都不符合條件,故符合條件的前三個編號依次是157,245,217,故抽取的第3支疫苗的編號是217.答案:217【核心考點·分類突破】考點一簡單隨機抽樣[例1](1)(多選題)下列抽取樣本的方式,是簡單隨機抽樣的是 ()A.從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本B.盒子里共有80個零件,從中逐個不放回地選出5個零件進行質(zhì)量檢驗C.從20件玩具中一次性抽取3件進行質(zhì)量檢查D.某班有56名同學(xué),指定個子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽【解析】選BC.A不是簡單隨機抽樣,因為被抽取樣本的總體的個體數(shù)是無限的,而不是有限的;B是簡單隨機抽樣;C是簡單隨機抽樣,因為“一次性”抽取與“逐個”抽取是等價的;D不是簡單隨機抽樣,因為指定個子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特指的,不具有隨機性,不是等可能的抽樣.(2)(2023·聊城模擬)國家高度重視青少年視力健康問題,指出要“共同呵護好孩子的眼睛,讓他們擁有一個光明的未來”.某校為了調(diào)查學(xué)生的視力健康狀況,決定從每班隨機抽取5名學(xué)生進行調(diào)查.若某班有50名學(xué)生,將每名學(xué)生從01到50編號,從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始,每次從左向右選取兩個數(shù)字,則選取的第三個號碼為 ()015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241A.13 B.24 C.33 D.36【解析】選D.根據(jù)隨機數(shù)表的讀取方法,第2行第4列的數(shù)為3,每次從左向右選取兩個數(shù)字,所以第一組數(shù)字為32,即為第一個號碼;第二組數(shù)字58,舍去;第三組數(shù)字65,舍去;第四組數(shù)字74,舍去;第五組數(shù)字13,即為第二個號碼;第六組數(shù)字36,即為第三個號碼,所以選取的第三個號碼為36.(3)某中學(xué)開學(xué)后從高一年級的學(xué)生中隨機抽取90名學(xué)生進行家庭情況調(diào)查,經(jīng)過一段時間后再次從這個年級隨機抽取100名學(xué)生進行學(xué)情調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有20名同學(xué)上次被抽到過,估計這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為 ()A.180 B.400 C.450 D.2000【解析】選C.設(shè)這個學(xué)校高一年級的學(xué)生人數(shù)為x,則90x=20100,所以x【解題技法】抽簽法與隨機數(shù)法的適用情況(1)抽簽法適用于總體中個數(shù)較少的情況,隨機數(shù)法適用于總體中個數(shù)較多的情況.(2)一個抽樣試驗?zāi)芊裼贸楹灧?關(guān)鍵看兩點:一是抽簽是否方便;二是號簽是否易攪勻.【對點訓(xùn)練】1.有一批計算機,其編號分別為001,002,003,…,112,為了調(diào)查這批計算機的質(zhì)量問題,打算抽取4臺入樣.現(xiàn)在利用隨機數(shù)法抽樣,在下面隨機數(shù)表中選第1行第6個數(shù)“0”作為開始,向右讀,那么抽取的第4臺計算機的編號為 ()537970762694292743995519810685019264460720213920776638173256164058587766317005002593054553707814A.072 B.021 C.077 D.058【解析】選B.依次可得到需要的編號是076,068,072,021,故抽取的第4臺計算機的編號為021.2.某市在創(chuàng)建文明城市期間,對某小區(qū)的居民按分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本進行問卷調(diào)查.在這n個個體的樣本中,任取1人,抽取到未成年人的概率為0.2,成年人共80人,則n=________(用數(shù)字作答).

【解析】由題可得,n·(10.2)=80,n=100.答案:100考點二樣本的均值[例2](1)某工廠抽取50個機械零件檢驗其直徑大小,得到如表數(shù)據(jù):直徑(單位:cm)121314頻數(shù)12344估計這50個零件的直徑為__________cm.

【解析】12×12+13×34+14×450=12.84(cm)答案:12.84(2)已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,…,x200的平均數(shù)是6,數(shù)據(jù)y1,y2,y3,…,y300的平均數(shù)是20,則∑xi+∑A.13 B.14.4 C.15 D.15.4【解析】選B.由已知得∑xi+∑yi500=【解題技法】數(shù)據(jù)平均數(shù)的求法(1)觀察所給數(shù)據(jù),選擇計算公式.(2)代入公式進行計算,注意數(shù)據(jù)的個數(shù).【對點訓(xùn)練】1.(2020·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)4,2a,3a,5,6的平均數(shù)為4,則a的值是______.

【解析】由4+2a+(3-答案:22.一組5個數(shù)據(jù)中,前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20,全部5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19,則第5個數(shù)據(jù)是__________.

【解析】設(shè)5個數(shù)據(jù)分別為a,b,c,d,e,因為前4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是20,所以a+b+c+d4=20,則a+b全部5個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是19,所以a+所以a+b+c+d+e=95②,②①得,e=15.答案:15【加練備選】現(xiàn)有某地一年的GDP(億元)數(shù)據(jù),第一季度GDP為232億元,第四季度GDP為241億元,四個季度的GDP逐季度增長,且中位數(shù)與平均數(shù)相同,則該地一年的GDP為________億元.

【解析】設(shè)第二季度GDP為x億元,第三季度GDP為y億元,則232<x<y<241,因為中位數(shù)與平均數(shù)相同,所以x+y2=232+x+y所以該地一年的GDP為232+x+y+241=946(億元).答案:946考點三抽樣比的應(yīng)用[例3](1)某學(xué)校高一年級1800人,高二年級1600人,高三年級1500人,現(xiàn)采用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取98名學(xué)生參加全國中學(xué)生禁毒知識競賽,則在高一、高二、高三三個年級中抽取的人數(shù)分別為 ()A.35,33,30 B.36,32,30C.36,33,29 D.35,32,31【解析】選B.因為高一年級1800人,高二年級1600人,高三年級1500人,所以三個年級的人數(shù)所占比例分別為1849,1649,1549,因此,各年級抽取人數(shù)分別為98×1849=36,98×16(2)(多選題)杭州亞運會共設(shè)40個競賽大項,其中31個奧運項目,9個非奧運項目.為了調(diào)查高中生對各個項目的了解情況,在某高中3000名學(xué)生中,按照高一、高二、高三學(xué)生人數(shù)的比例用分層隨機抽樣的方法,抽取一個容量為150的樣本,所得數(shù)據(jù)如表:項目高一高二高三只對31個奧運項目全部了解50444540個項目全部了解0110則下列判斷正確的是 ()A.該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為10∶9∶11B.該校高三學(xué)生的人數(shù)比高一人數(shù)多50C.估計該校高三學(xué)生對40個項目全部了解的人數(shù)為200D.估計該校學(xué)生中對40個項目全部了解的人數(shù)不足8%【解析】選ACD.由題表可知,50+44+1+45+10=150,所以該校高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為50∶45∶55,即10∶9∶11,A正確;高三學(xué)生人數(shù)為3000×55150=1100(人),高一學(xué)生人數(shù)為3000×50150=1000(人),故高三學(xué)生的人數(shù)比高一人數(shù)多11001000=100(人),B高三學(xué)生對40個項目全部了解的人數(shù)約為3000×10150=200(人),C正確該校學(xué)生中對40個項目全部了解的人數(shù)約為11150≈7.33%,D正確【解題技法】1.按比例分配的分層隨機抽樣的步驟(1)將總體按一定標準分層.(2)計算各層的個體數(shù)與總體數(shù)的比,按各層個體數(shù)占總體數(shù)的比確定各層應(yīng)抽取的樣本量.(3)在每一層進行抽樣(可用簡單隨機抽樣).2.在比例分配的分層隨機抽樣中的抽樣比抽樣比=樣本容量總體容量=各層樣本容量【對點訓(xùn)練】(多選題)某學(xué)校有體育特長生25人,美術(shù)特長生35人,音樂特長生40人,用比例分配的分層隨機抽樣的方法從中抽取40人,則 ()A.抽取的體育特長生為10人B.抽取的美術(shù)特長生為15人C.抽取的音樂特長生為16人D.抽取的體育特長生和美術(shù)特長生共25人【解析】選AC.抽取的體育特長生、美術(shù)特長生、音樂特長生分別為2525+35+40×40=10(人),3525+35+40×40=14(人),4025+35+40×40=16(【加練備選】某市6月1日起正式實施的《生活垃圾分類管理條例》將城市生活垃圾分為“可回收物”“有害垃圾”“廚余垃圾”和“其他垃圾”四大類.某社區(qū)為了分析不同年齡段的人群對垃圾分類知識的了解情況,對轄區(qū)內(nèi)的居民進行比例分配的分層隨機抽樣調(diào)查.已知該社區(qū)的青年人、中年人和老年人分別有800人、900人、700人,若在老年人中的抽樣人數(shù)是35,則在青年人中的抽樣人數(shù)是 ()A.20 B.40 C.60 D.80【解析】選B.由題可知抽取的比例為k=35700=120,故青年人應(yīng)該抽取的