專(zhuān)題157軸對(duì)稱圖形中的最值問(wèn)題十大考點(diǎn)（滬科版）

專(zhuān)題15.7軸對(duì)稱圖形中的最值問(wèn)題十大考點(diǎn)【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1兩點(diǎn)之間線段最短】 1【題型2垂線段最短】 4【題型3平行線之間的距離最短】 9【題型4將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】 14【題型5三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】 18【題型6雙對(duì)稱周長(zhǎng)最小】 22【題型7兩定兩動(dòng)】 29【題型8兩定一定長(zhǎng)】 36【題型9兩動(dòng)一定】 41【題型10費(fèi)馬點(diǎn)】 45【題型1兩點(diǎn)之間線段最短】【例1】（2023春·福建寧德·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，平地上A，B兩點(diǎn)位分別位于一條排水溝的兩旁，其上用鋼梁覆蓋，位于A處的螞蟻從第號(hào)鋼梁上通過(guò)到達(dá)B處，才能使得全程路程最短．

【答案】4【分析】將點(diǎn)A向右移動(dòng)兩個(gè)鋼梁之間的距離長(zhǎng)度，得到點(diǎn)A'，再連接A【詳解】解：將點(diǎn)A向右移動(dòng)兩個(gè)鋼梁之間的距離長(zhǎng)度，得到點(diǎn)A'，再連接A

線段A'B與4號(hào)鋼梁相交，則從故答案為：4【點(diǎn)睛】此題考查了兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，先對(duì)A點(diǎn)進(jìn)行平移．【變式11】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第七中學(xué)?？计谀┰谕黄矫鎯?nèi)，線段AB=5cm，C為任意一點(diǎn)，則AC+【答案】5【分析】分三種情況討論∶當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，結(jié)合兩點(diǎn)之間，線段最短，即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，AC+當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，∴AC+點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴AC+綜上所述，AC+BC的最小值為5故答案為：5cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段之間的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)之間，線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式12】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個(gè)送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）．A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將折線最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【詳解】解：如圖：作點(diǎn)A關(guān)于街道的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B∴A'∴AC+在街道上任取除點(diǎn)C以外的一點(diǎn)C'，連接A'C'，∴AC在ΔA∴A'∴AC∴點(diǎn)C到兩小區(qū)送奶站距離之和最?。?/p>

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路線的問(wèn)題，將折線最短問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，線段最短問(wèn)題．會(huì)作對(duì)稱點(diǎn)是解此類(lèi)問(wèn)題的基礎(chǔ)，要求學(xué)生能熟練掌握，并熟練應(yīng)用．另外本題的解決還應(yīng)用了三角形的三邊關(guān)系：三角形的兩邊之和大于第三邊．本題還會(huì)有變式：請(qǐng)你找出點(diǎn)C的位置．【變式13】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）[應(yīng)用意識(shí)]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：如圖所示：

（1）過(guò)點(diǎn)P作PA⊥l1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)Q作QB（2）分別在PA和QB上截取PC=（3）連接CD，分別交l2和l3于點(diǎn)E和（4）過(guò)點(diǎn)E和M分別作l1和l4的垂線段，垂足分別為F和（5）連接PF和QN．則橋建在FE和MN處才能使兩村之間的路程最短．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．【題型2垂線段最短】【例2】（2023春·四川成都·八年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在線段BC上，CD=3.3，點(diǎn)E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接BF

【答案】1.3【分析】過(guò)D作BD垂線且使得B'D=BD，連接B'E，構(gòu)造△B'DE≌△BDF得BF=B'E，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短知B【詳解】解：如圖，過(guò)D作BD垂線且使得B'D=BD，連接B

∵∠EDF=∠B'∴∠BDF+∠B'DF=∠B'DF∴∠BDF=∠B'在△B'DE與△B'∴△B'DE∴BF=B'∵點(diǎn)到直線垂線段最短，∴B'E⊥AC時(shí)，B過(guò)點(diǎn)B'作B'G⊥AC交∵∠C=∠CDB'=∠CG∴AC∥BD,∴B'G=CD=3.3，CG=∴BF取最小值時(shí)AE故答案為：1.3．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到直線垂線段最短，平行線之間的距離相等，作出輔助線構(gòu)造△B'DE【變式21】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是．

【答案】1【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明△【詳解】解：取BC的中點(diǎn)G，連接MG，如圖所示：

∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH又∵∠MBH∴∠HBN∵CH是等邊△∴HB∴HB又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN∴BM在△MBG和△BG=∴△MBG∴MG根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG⊥CH時(shí)，MG最短，此時(shí)即∵∠BCH=1在Rt△CGM中，∠MCG=30°，∴HN故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，含30°的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式22】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，OB平分∠MON,A為OB的中點(diǎn)，AE⊥ON，垂足為E,AE=3,D為OM

【答案】6【分析】根據(jù)BC∥OM，OA=AB，可以證明△OAD≌△BAC，得到AD【詳解】∵BC∥∴∠DOA∵點(diǎn)A為OB的中點(diǎn)∴OA=∵∠DOA∴△OAD∴AD=∴CD=2∴線段CD的最小值轉(zhuǎn)化為線段DA得最小值，根據(jù)垂線段最短，∴DA⊥∵AE⊥ON，OB平分∴AE=∵AE=3∴AD=3∴CD=2故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短原理，熟練掌握角的平分線性質(zhì)定理，三角形全等，垂線段最短是解題的關(guān)鍵．【變式23】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD，BD為鄰邊作?ADBE，連接

【答案】9.6【分析】過(guò)B作BF⊥AC于點(diǎn)F，利用勾股定理建立方程便可求得BF，由垂線段最短可知，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，【詳解】解：過(guò)B作BF⊥AC于點(diǎn)

∵平行四邊形ADBE中，AD∥BE，即∵AB=AC=10設(shè)CF=x，則AF∵BF即122解得，x=7.2∴CF=3.6∴BF=B由垂線段最短可知，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，由于平行線間的距離處處相等，AC∥BE，故這個(gè)最小值也就是∴DE的最小值為9.6．故答案為：9.6．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)；構(gòu)造直角形求出BF是解題的關(guān)鍵．【題型3平行線之間的距離最短】【例3】如圖，直線，且a，b之間相距．點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，則在Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值是．

【答案】8【分析】根據(jù)垂線段最短進(jìn)行求解即可【詳解】解：∵直線，點(diǎn)P是直線a上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q在直線b上運(yùn)動(dòng)，∴根據(jù)垂線段最短可知，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，線段有最小值，∵a，b之間相距，∴線段的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線之間的距離的定義和垂線段最短，牢記平行線之間距離的定義和垂線段最短是本題的關(guān)鍵．【變式31】如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．【詳解】解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．【變式32】（2023春·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）直線，對(duì)平面內(nèi)不在上，且不在上的任意一點(diǎn)，若到，的距離分別為，，則記．(1)若，則線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為_(kāi)_____；(2)若取最小值且，則的取值范圍是______．【答案】(1)0或1(2)【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)；當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，作出相應(yīng)圖形即可求解；（2）根據(jù)題意得出，分兩種情況分析：當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，結(jié)合圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A和B均在直線上方且到的距離相等時(shí)，此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)點(diǎn)A和B在直線，之間時(shí)，如圖所示：此時(shí)線段與的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

故答案為：0或1；（2）當(dāng)取最小值且時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)A恰好在，的中間直線上，∴，之間的距離為2，即，

當(dāng)點(diǎn)P在上方或下方時(shí)，如圖所示：

此時(shí)即為，之間的距離為2；當(dāng)點(diǎn)P在，之間時(shí)，如圖所示：

∵，∴當(dāng)點(diǎn)P在，的中間直線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P不在，的中間直線上時(shí)，；綜上可得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查垂線的定義及點(diǎn)到直線的距離，理解題意，作出相應(yīng)圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式33】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線，點(diǎn)A，D在直線b上，射線AB交直線a于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交射線AB于點(diǎn)E，，，P為射線AB上一動(dòng)點(diǎn)，P從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB方向運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，M為直線a上一定點(diǎn)，連接PC，PD．（1）當(dāng)時(shí)，有最小值，求m的值；（2）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，探究、與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)（m為（1）中的取值）時(shí)，直接寫(xiě)出、與的關(guān)系．【答案】（1）10；（2），見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）根據(jù)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)PC+PD的值最小，解答即可；（2）當(dāng)t＜m時(shí)，過(guò)P在AE上，過(guò)點(diǎn)P作PH∥a∥b，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，然后仿照第（2）問(wèn)的證明方法，作出輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與E不重合時(shí)，在中，，當(dāng)點(diǎn)P與E重合時(shí)，此時(shí)最小，∴．∵，，∴．∴．故時(shí)，值最小；（2），理由如下：如圖，當(dāng)即時(shí)，點(diǎn)P在AE上，過(guò)點(diǎn)P作，∵，∴．∴，，∴．∵，∴；（3）當(dāng)m＜t≤15即10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，過(guò)點(diǎn)P作PHa，如圖：又∵ab，∴PHab，∴∠PCM+∠CPH＝180°，∠PDA+∠DPH＝180°，∴∠PCM+∠CPH+∠PDA+∠DPH＝360°，又∵∠CPD＝∠CPH+∠DPH，∴∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°，即當(dāng)10＜t≤15時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°；當(dāng)t＞15時(shí)，點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)P作PGa，如圖：又∵ab，∴PGab，∴∠PCM+∠CPG＝180°，∠PDA+∠DPG＝180°，∴∠CPG＝180°－∠PCM，∠DPG＝180°－∠PDA，又∵∠CPD＝∠DPG－∠CPG，∴∠CPD＝（180°－∠PDA）－（180°－∠PCM）＝180°－∠PDA－180°＋∠PCM＝∠PCM－∠PDA，∴∠PCM＝∠CPD+∠PDA．綜上所述，當(dāng)t＞10時(shí)，∠PCM+∠CPD+∠PDA＝360°或∠PCM＝∠CPD+∠PDA．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及平行公理的推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)及正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4將軍飲馬（兩定一動(dòng)）】【例4】（2023春·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，P為線段AB【答案】5【分析】作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D交AB于P點(diǎn)，連接C'B，根據(jù)勾股定理即可求出C【詳解】解：如圖，作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'，連接C'D交AB于P點(diǎn)，則PC+PD=P連接C'∵∠∴∠ABC∵C點(diǎn)與C'關(guān)于AB∴∴∠∵BC=2,D為∴∴∴PC+PD故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱以及求最短路徑問(wèn)題，熟練掌握將軍飲馬模型是解題的關(guān)鍵.【變式41】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家．他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

【答案】17【分析】如圖（見(jiàn)詳解），將小河看成直線MN，由題意先作A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B，構(gòu)建直角三角形，則A'B就是最短路線；在Rt△A'DB【詳解】如圖，做出點(diǎn)A關(guān)于小河MN的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交MN于點(diǎn)P

由題意知：A'D=4+4+7=15km，在Rt△A'則他要完成這件事情所走的最短路程是17km【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【變式42】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)B的直線l⊥AB，且△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，D為線段BC′上一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是．【答案】4【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠ABC=∠A'BC'=60°，A'B=AB=BC=2，證明△CBD≌△A'BD，得到CD=A'D，推出當(dāng)A、D、A'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD【詳解】解：如圖，連接A'D∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2，△ABC與△A′BC′關(guān)于直線l對(duì)稱，∴∠ABC=∠A'BC'=60°，A'∴∠CBC'=60°∴∠CBC'=∠A'B∵BD=BD，∴△CBD≌△A'BD∴CD=A'D∴AD+CD=A'D+CD∴當(dāng)A、D、A'三點(diǎn)共線時(shí)，AD+CD最小，此時(shí)AD+CD=A'B+AB=故答案為：4．．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，正確掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°,AB邊的垂直平分線DE(1)求BC的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)P是直線DE上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫(xiě)出PA+PC的最小值為【答案】(1)9(2)9【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可證△ABE為等腰三角形，由角度可證△ACE為30°直角三角形，再由線段之間的關(guān)系即可求出（2）根據(jù)將軍飲馬原理即可得出PA+PC的最小值為【詳解】（1）解：∵AB=AC∴∠∵AB邊的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，∴BE=∴∠∴∠在Rt△CAE∴CE∴BC（2）解：如圖，取點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)，即點(diǎn)B；連接B,C兩點(diǎn)，與直線DE交于點(diǎn)∵PA∴PA根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短則BC即為PA+PC【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的軸對(duì)稱，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：垂直平分線的性質(zhì)、將軍飲馬等，軸對(duì)稱性質(zhì)的充分利用是解題關(guān)鍵．【題型5三點(diǎn)共線（兩定一動(dòng)最大值）】【例5】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，AB=12cm，△BMC的周長(zhǎng)是20cm【答案】8【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到MA=【詳解】解：∵M(jìn)N垂直平分AC∴MA又∵C△BMC∴BC在MN上取點(diǎn)P，連接PA、PB、PC，∵M(jìn)N垂直平分AC∴PA∴PA在△PBC中PC當(dāng)P、B、C共線時(shí)，即P運(yùn)動(dòng)到與P'重合時(shí)，(此時(shí)PC-故答案為：8cm【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最大值，熟練運(yùn)用三角形邊角關(guān)系與垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，方格圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C、M、N都在格點(diǎn)上．（1）畫(huà)出△ABC關(guān)于直線MN對(duì)稱的△A1B1C1．（2）在直線MN上找點(diǎn)P，使|PB﹣PA|最大，在圖形上畫(huà)出點(diǎn)P的位置，并直接寫(xiě)出|PB﹣PA|的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析，|PB﹣PA|的最大值為3．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，先畫(huà)出A、B、C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A1、B1、C1，再順次連接即可；（2）由于PA=PA1，則|PB﹣PA|=|PB﹣PA1|，而由三角形的三邊關(guān)系可得|PB﹣PA1|≤A1B，當(dāng)P、A1、B三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）如圖，點(diǎn)P為所作，|PB﹣PA|的最大值是A1B的長(zhǎng)，為3．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—軸對(duì)稱變換、軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，P是△ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=6，則BP【答案】3【分析】連接PC，則BP=CP，BP-PE=CPPE，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CPPE=【詳解】解：連接PC，∵在等邊△ABC中，AB=6，P是△ABC∴AD是BC的中垂線，∴BP=CP，∴BP-PE=CP∵在△CPE中，CPPE＜CE∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，CPPE=CE，∵E是AC邊的中點(diǎn)，∴BP-PE的最大值故答案是：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，連接CP，得到BP-PE=CP【變式53】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC內(nèi)的一條射線，且∠BAD=25°，P【答案】5【分析】作點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'、CB'、B'P．則AB=AB'，PB'=PB，△AB'C是等邊三角形，在△PB【詳解】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于射線AD的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'、C則AB=AB'，PB∵AB=∴AB∴△A∴B'在△PB'當(dāng)P、B'、C在同一直線上時(shí)，PB'-PC∴PB'-故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段之差的最小值問(wèn)題，正確作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【題型6雙對(duì)稱周長(zhǎng)最小】【例6】（2023春·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=105°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分別找一個(gè)點(diǎn)M，N

【答案】150【分析】要使△AMN的周長(zhǎng)最小，即利用點(diǎn)的對(duì)稱，使三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，即可得出∠【詳解】解：作A關(guān)于BC和CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，A″，連接A'A″，交BC于M，交CD于N

∵∠DAB∴∠A∵∠A'=∠MAA'，∴∠故答案為：150．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，涉及到平面內(nèi)最短路線問(wèn)題求法以及三角形的外角的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出M，N的位置是解題關(guān)鍵．【變式61】（2023春·遼寧遼陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A-2,3，B(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A1B1(2)△ABC的面積是________(3)在y軸上有一點(diǎn)P，使得△ABP的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，A(2)5.5(3)P（0，115），【分析】（1）利用關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)并順次連接A1、B1（2）利用割補(bǔ)法計(jì)算△ABC（3）如圖，連接A1B交y軸于點(diǎn)P'，連接P'A，PA1，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可推出當(dāng)A1、B、【詳解】（1）解：如圖，△A∴A1

（2）解：△ABC的面積=4×5-（3）解：如圖，連接A1B交y軸于點(diǎn)P'，連接P∴PA=∴△ABP的周長(zhǎng)=∴當(dāng)A1、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，PA1+PB設(shè)直線A1B解析式為y∴-3解得k=∴直線A1B解析式為在y=25x+∴P'∵A1∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，115，△

【點(diǎn)睛】本題考查了，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題，割補(bǔ)法求面積，坐標(biāo)與圖形變化——軸對(duì)稱：作軸對(duì)稱后的圖形的依據(jù)是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵（先確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；利用軸對(duì)稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；按原圖形中的方式順次連接對(duì)稱點(diǎn)）．也考查了最短路徑問(wèn)題．【變式62】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)M在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上求作一點(diǎn)P，在OB邊上求作一點(diǎn)Q，使得△PMQ的周長(zhǎng)最?。敬鸢浮恳?jiàn)解析．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，作出點(diǎn)M關(guān)于OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)M′和M″，連接M′M″交OA于P，交OB于點(diǎn)Q，則M′M″即為△PMQ最小周長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作出點(diǎn)M關(guān)于OA和OB的對(duì)稱點(diǎn)M′和M″，連接M′M″交OA于P，交OB于點(diǎn)Q，則M′M″即為△PMQ最小周長(zhǎng)．所以點(diǎn)P，點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查對(duì)稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到對(duì)稱點(diǎn)．【變式63】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一矩形紙片OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=10，OC=8．如圖1在OC邊上取一點(diǎn)D，將△BCD沿BD折疊，使點(diǎn)C恰好落在OA

(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo)及折痕DB的長(zhǎng)；(2)如圖2，在OC、CB邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)F、G，將△FCG沿FG折疊，使點(diǎn)C落在OA上，記為H點(diǎn)，設(shè)OH=x，GC=y(3)在x軸上取兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且MN=5，取線段BA段的中點(diǎn)為F，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到哪里時(shí)，四邊形BMNF【答案】(1)E4,0；(2)y(3)圖見(jiàn)解析，周長(zhǎng)最小值為22【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，則