浙江省金華市義烏市高三下學(xué)期適應(yīng)性考試（三模）數(shù)學(xué)試題

義烏市普通高中2024屆適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷選擇題部分（共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)12，46，38，11，51，24，33，35，55的第80百分位數(shù)是（）A.33 B.35 C.46 D.51【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算即可求解.【詳解】將12，46，38，11，51，24，33，35，55從小到大排列為11，12，24，33，35，38，46，51，55，，故第80百分位數(shù)為第八個數(shù)51，故選：D2.已知是等比數(shù)列，若，，則的值為（）A.9 B. C. D.81【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題得，而，則，故選：A.3.在中，角的對邊分別為，，.若，，，則為（）A.1 B.2 C.3 D.1或3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】由余弦定理得,即，即，解得或（舍）.故選：C.4.某市高中數(shù)學(xué)統(tǒng)考（總分150分），假設(shè)考試成績服從正態(tài)分布.如果按照，，，的比例將考試成績從高到低分為，，，四個等級.若某同學(xué)考試成績?yōu)?9分，則該同學(xué)的等級為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)即可求解.【詳解】數(shù)學(xué)測試成績服從正態(tài)分布，則，，由于等級的概率之和為，所以，而即故為A等級，為B等級，為C等級，為D等級，故99分為B等級．故選：B．5.在義烏，婺劇深受民眾喜愛.某次婺劇表演結(jié)束后，老生、小生、花旦、正旦、老旦各一人排成一排合影留念，其中小生和老生不相鄰且老旦不排在最右邊的不同排法總數(shù)是（）A.36 B.48 C.60 D.72【答案】C【解析】【分析】間接法，先求出小生和老生不相鄰的情況，再減去老旦排在最右邊的情況，即可得解.【詳解】首先按照小生和老生不相鄰的要求共有種排法，其中老旦排在最右邊情況，左側(cè)4個位置，先排花旦、正旦有，由此所成的3個空中將小生、老生插入有，所以排法有種，所以滿足題意的不同排法總數(shù)是.故選：C6.若函數(shù)，則方程的實數(shù)根個數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，從而得到答案.【詳解】，當(dāng)時，，則，此時在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，故，令，則，且，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，只有1個解，當(dāng)時，結(jié)合圖象可知，由3個解，綜上，方程的實數(shù)根的個數(shù)為5.故選：D7.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D．考點(diǎn)：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論．8.已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與的交點(diǎn)恰好在軸上，則線段的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意畫出圖象，由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)到直線與的距離相等，進(jìn)而利用直線的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得.【詳解】由題意可知，點(diǎn)只能在第一、四象限，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示：設(shè)，又，由題意可知，直線的斜率一定存在，所以，直線，即，則點(diǎn)，直線，化為一般形式得，因為點(diǎn)在的角平分線上，所以點(diǎn)到直線與的距離相等，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，于是，化簡得，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，得，因此，，即，解得或，點(diǎn)在第一象限，所以，，則點(diǎn)，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線，直線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再根據(jù)點(diǎn)到角兩邊的距離相等以及點(diǎn)在橢圓上，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再求線段的長度.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由，結(jié)合每個選項計算可判斷其正確性.【詳解】因為，所以，所以，故A正確；所以，所以，故B不正確；，故C不正確；，故D正確.故選：AD.10.已知在上是單調(diào)函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（）A.若，則B.的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)在上無零點(diǎn)D.將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為偶函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】利用在上單調(diào)，可得，再根據(jù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得，進(jìn)而可得，結(jié)合每個選項計算可判斷其正確性.【詳解】，當(dāng)，可得，又在上單調(diào)，所以，解得，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，解得，當(dāng)時，，符合題意，所以，對于A：若，則可得分別為函數(shù)的極大值與極小值，可得，故A正確；，所以的圖象的一條對稱軸方程為，故B正確；因為，所以，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為，所以的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)不為偶函數(shù)，故D不正確.故選：ABC.11.已知正實數(shù)，滿足，則下列不等式可能成立的有（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將變形為，構(gòu)造，，利用導(dǎo)數(shù)求解的單調(diào)性，即可判斷的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖像即可求解.【詳解】由可得，記，由于函數(shù)均為上的單調(diào)遞增函數(shù)，故為上的單調(diào)遞增函數(shù)，記，則，令，得，故在單調(diào)遞增，令，得，故在單調(diào)遞減，而，，故存在使得，故當(dāng)，，即當(dāng)時，當(dāng)時，，故作出的大致圖象如下：（黑色為圖象，紅色為圖象）由圖可知：當(dāng)時，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，由此判斷的大小關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求解.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若二項式的展開式中各項系數(shù)和為256，則展開式中的常數(shù)項為_____．【答案】54【解析】【分析】先利用賦值法求出n的值，然后利用展開式通項求常數(shù)項．【詳解】解：令x＝1，有4n＝256，解得n＝4，所以展開式通項為：，令4﹣2k＝0得，k＝2．故常數(shù)項為：．故答案為：54．【點(diǎn)睛】本題考查了賦值法求二項式展開式的系數(shù)和、二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.13.若圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，將弦長轉(zhuǎn)化為圓心到漸近線的距離，進(jìn)而可得出與的關(guān)系，求解即可.【詳解】對于雙曲線，其漸近線方程為，對于圓，有，圓心為，半徑，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：，所以，所以，解得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：.14.某希望小學(xué)的操場空地的形狀是一個扇形，計劃在空地上挖一個內(nèi)接于扇形的矩形沙坑（如圖所示），有如下兩個方案可供選擇.經(jīng)測量，，.在方案1中，若設(shè)，，則，滿足的關(guān)系式為______，比較兩種方案，沙坑面積最大值為______.【答案】①.（其中，），或，②.##【解析】【分析】（1）連接，在中應(yīng)用勾股定理找到關(guān)系式，注意取值范圍；（2）由（1）及基本不等式求得，結(jié)合三角形面積公式求方案一的最大值；再連接，，設(shè)，，在中應(yīng)用勾股定理得，結(jié)合基本不等式、三角形面積公式求方案二最大值，比較大小即可.【詳解】連接，由，，，，得，在中，，由，得，顯然在上單調(diào)遞減，所以滿足的關(guān)系式為（，）或，；方案1：設(shè)游泳池的面積為，由（1）得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以；方案2：設(shè)游泳池的面積為，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)，，在中，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，而，所以選擇第一種方案，此時游泳池面積的最大值為.故答案為：（，），或，；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出與圖形面積相關(guān)的兩個變形，借助勾股定理建立關(guān)系，利用基本不等式求解最值是解決問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)在處的切線的方向向量為.（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】（1）1（2）在上遞增，在上遞減，極大值為，無極小值【解析】【分析】（1）由切線的方向向量可得切線斜率，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求極值即可.【小問1詳解】在處的切線的方向向量為，所以在處的切線斜率，又，則，解得.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得或（舍去）.當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，即，無極小值.于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，無極小值.16.已知甲盒中有1個紅球，2個藍(lán)球，乙盒中有5個紅球，4個藍(lán)球，這些球除了顏色外完全相同.（1）從甲盒中有放回地取球，每次取1個，共取3次，求這3次中取出2次紅球的概率；（2）從甲、乙兩盒中各任取2個球，記取出4個球中紅球的個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）先求每次從甲盒中取出紅球概率，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗的概率即可求解；（2）確定隨機(jī)變量的所有可能取值，求出每個值對應(yīng)的概率，可得分布列，即可求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】設(shè)“每次從甲盒中取出紅球”，“這3次中取出2次紅球”.則，.【小問2詳解】所有可能的取值為0，1，2，3，，，0123.17.如圖，四棱錐中，四邊形是菱形，，是正三角形，是的重心，點(diǎn)滿足.（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)重心的性質(zhì)可得，即可根據(jù)線線平行求證，（2）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，進(jìn)而可得平面平面，根據(jù)余弦定理以及勾股定理求解長度，即可利用等體積法求解長度，利用線面角的幾何法求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量與直線方向向量的夾角求解即可.【小問1詳解】如圖，連接，交點(diǎn)為，則是的中點(diǎn).因為是的重心，所以.又是的中點(diǎn)，所以.由知在線段上，且，所以，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】方法1：設(shè)，則.取中點(diǎn)，連接，則，，平面,故平面，又平面，所以平面平面，交線.由，，則,得.所以到平面的距離等于到直線的距離.設(shè)到平面的距離為，由平面知到平面的距離也是.由得，，，從而.在中，，，，由余弦定理得，所以直線與平面所成角的正弦值是.方法2：如圖，以中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，，，所以,,,設(shè)平面的法向量是，由.令，則，.所以，，從而直線與平面所成角的正弦值是.18.已知四點(diǎn)在拋物線上，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線與直線相交，交點(diǎn)在軸上.（1）求證：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)；（2）記的面積為，的面積為，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，，進(jìn)而可得，可得結(jié)論；（2）設(shè)，可得，進(jìn)而可得，求得，可得，進(jìn)而可得，法一：利用導(dǎo)數(shù)可求的最小值.法二：利用基本不等式可求的最小值.【小問1詳解】設(shè)，，，直線的方程為，直線的方程為.由得，所以；由得，所以.所以，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是點(diǎn)、點(diǎn)的縱坐標(biāo)的等差中項，故是的中點(diǎn).【小問2詳解】設(shè)，因為直線與直線相交，交點(diǎn)在軸上，所以，從而，.直線的方程是，所以，即.因為是的中點(diǎn)，所以，.法一：記，考察函數(shù)，.因，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故的最小值是，即的最小值是.法二：，時取到等號，即的最小值是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線與拋物線綜合應(yīng)用中的與三角形面積有關(guān)的最值（取值范圍）問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于x或y一元二次方程的形式；②利用或其他限制條件求得變量的取值范圍；③利用變量表示出所求三角形的面積；④通過換元法將所求內(nèi)容轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一變量的函數(shù)的形式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解出最值（范圍）.19.若函數(shù)滿足以下三個條件，則稱為函數(shù).①定義域為；②對任意，；③對任意正整數(shù)，，當(dāng)時，有.若給定函數(shù)某幾個函數(shù)值，在滿足條件①②③的情況下，可能的如果有種，分別為，，，.那么我們記等于，，，的最大值.這樣得到的稱為的最大生成函數(shù).（1）若為函數(shù)，且是在給定條件，下的的最大生成函數(shù)，求和的值；（2）若為函數(shù)，且滿足，求數(shù)列的前10項和；（3）若為函數(shù)，且是在給定條件，下的的最大生成函數(shù)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）1024（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義得到，結(jié)合所給條件求出，即可猜想，即可求出（2）首先求出，，猜想，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，再由等比數(shù)列求和公式計算可得；

（3）首先求出的前幾個數(shù)，猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，再分為偶數(shù)和為奇數(shù)，利用分組求和法計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以.但是若，則，又，這出現(xiàn)矛盾，所以不成立，即，此時，，所以或者.若令，顯然它是滿足函數(shù)的3個條件的，不會出現(xiàn)矛盾.所以.【小問2詳解】由，則，若，則，，出現(xiàn)矛盾.所以.同理求得，我們猜想下面證明它