(完整版)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

§4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則一、教學(xué)目標(biāo)：1．知識與技能掌握有限個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式；熟練運(yùn)用公式求基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)，能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點(diǎn)的切線。過程與方法通過用定義法求函數(shù)f(x)=X+X2的導(dǎo)數(shù)，觀察結(jié)果，發(fā)掘兩個函數(shù)的和、差求導(dǎo)方法，給結(jié)合定義給出證明；由定義法求f(x)=x2g(x)的導(dǎo)數(shù)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)，歸納出兩個函數(shù)積、商的求導(dǎo)發(fā)則。情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生由特別到一般的思維方法去探索結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)——觀察——?dú)w納——抽象的數(shù)學(xué)思維方法。二、 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)和、差、積、商導(dǎo)數(shù)公式的發(fā)掘與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的證明三、 教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、 教學(xué)過程(一)、復(fù)習(xí)：導(dǎo)函數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)公式表。1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在x二x0處附近有定義，如果AxT0時，Ay與Ax的比Ay Ay(也叫函數(shù)的平均變化率)有極限即子無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做TOC\o"1-5"\h\zAx Axf(x+Ax)—f(x)函數(shù)y=f(x)在xTx處的導(dǎo)數(shù)，記作y/ ，即f/(x)=lim—0 —0 x=x0 0 axto Ax2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線y=f(x)上點(diǎn)(x,f(x))處的切線的斜率*因此，如果00y=f(x)在點(diǎn)x可導(dǎo)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的切線方程為000y—f(x0)=f/(x0)(x—x0)'3.導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù)):如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時對于每一個xe(a,b)，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f/(x)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f/(x),稱這個函數(shù)f/(x)為函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù),

求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：(1)求函數(shù)的改變量Ay=f(X+Ax)-f(x).(2)求平均變化率算=f(x+嚴(yán))_Ax Ax(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)y/=f'(x)=lim學(xué)-AxtOAx常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C'=0；(xn)'二nxn-1、探析新課兩個函數(shù)和(差)的導(dǎo)數(shù)等于這兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的和(差)，即[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x) [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)證明：令y=f(x)=u(x)土v(x)，Ay=[u(x+Ax)土v(x+Ax)]-[u(x)土v(x)]=[u(x+Ax)-u(x)]土[v(x+Ax)-v(x)]=Au土Av，AyAxAuAv=AyAxAuAv=+ Ax AxlimG=Axt0AxlimAxt0+Av、Ax丿Au Av=lim土limAxt0AxAxt0Ax即 [u(x)土v(x)]'=u'(x)土v'(x).例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=x2+2x； (2)y=px-Inx； (3)y=(x2+1)(x一1)； (4)1-xy= +x2。x2解：(1)y=(x2+2x)=(x2)+(2x)=2x+2xln2。2)y'=(、：2)y'=(、：x-lnx)'=(\x)'-(lnx)'=112^xx( 3 )y'=[x2+1)(x-1)]=(x3-x2+x-1)'=(x3)'-(x2)'+(x)'-(1)'=3x2-2x+1。r1-x)r11)y'=+x2=—一一+x2Ix2 丿(x2x丿(4)C-2-x-1+x2+2x=(x-2)'-(x-1)'+(x2)'=-2x-3+x-2+2+2x例2：求曲線y=x3-上點(diǎn)(1,o)處的切線方程。x解：y解：y=1)x3一一x丿=3x2+丄。x2將X=1代入導(dǎo)函數(shù)得即曲線y即曲線y=x3-上點(diǎn)(1,x0)處的切線斜率為4，從而其切線方程為y-0=4(x-1),設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)為廣(x0)，g(x)=x2。我們來求y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)。Ay (xAy (x+Ax)2f(x+Ax)-x2f(x)= 0 0 00—Ax Ax(x + Ax)2[f(x +Ax)-f(x)]+kx + Ax)2- x2 f(x )= 0 0 0 0 0 0—Axf(x+Ax)-f(x)+(x+Ax)2-x20 0+ 0 0f(x)八0=(x+Ax)20AxAx令A(yù)令A(yù)xT0，由于lim(x+Ax)2=x2AxT0 0 0Axlimf(x0也一f(%)=f'(xAxAxT0 Ax 0十(x+Ax)2-x2lim0 4=2xAxT0 Ax 0知y=f(x)g(x)=x2f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)值為x0f'(x0)+2x0f(x0)。因此y二f(x)g(x)二x2f(x)的導(dǎo)數(shù)為x2f'(x)+(x2)'f(x)。一般地，若兩個函數(shù)f(x)和g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是f'(x)和g'(x)，我們有[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g(x)'f(x)g(x)=f'(x)g(x)-f(f(x)g(x)g2(x)特別地，當(dāng)g(x)=k時，有[[kf(x)]'=kf'(x)例3：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(1)y=x2ex；I ?(2)y=xsinx；(3)y=xlnx。解：(1)y'=(x2ex)=(x2)'ex+x2(ex)=2xex+x2ex=(2x+x2)ex；(2)y'=(ixsinx)'=(弋x)'sinx+、x(sinx)'= +、：xcosx；2jx(3)y'=(xlnx)'=(x)'lnx-x(lnx)'=1-lnx-x-—=lnx+1。x例4：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：sinxsinx(1)y=xx2⑵y=忑解：(1)y'=(2)y'二/x解：(1)y'=(2)y'二/x2、Jnx丿_(sinx)'-x-sinx-(x)'_cosx-x-sinx-1_xcosx-sinxx2x2x2_1_(x2)-lnx-x2-(lnx)'_2x'lnx-x2匚_x(2lnx-1)ln2x(lnx)2ln2x、練習(xí)：課本P/練習(xí)：1、2.課本P練習(xí)1.4446課堂小結(jié)：本課要求：1、了解兩個函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)公式；2、會運(yùn)用上述公式，求含有和、差、積、商綜合運(yùn)算的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3、能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求過曲線上一點(diǎn)的切線。[f(x)+g(x)]'_f'(x)+g'(x) [f(x)-g(x)]'_f'(x)-g'(x)[f(巧推)]'_f'(x)g(x)+f(x)g(x)'[供]'_f'(x)g(x：〈(x)g(x)Lg(x)」 g2(x)、作業(yè)：課本P習(xí)題2-4：A組2、3B組247五、教后反思：本節(jié)課成功之點(diǎn)：從特殊函數(shù)出發(fā)，利用已學(xué)過的導(dǎo)數(shù)定義來求f(x)=x+x2的導(dǎo)數(shù)，觀察結(jié)果，發(fā)掘兩個函數(shù)的和、差求導(dǎo)方法，給結(jié)合定義給出證明由定義法求f(x