31不等式的基本性質(zhì)（六大題型）

3．1不等式的基本性質(zhì)課程標準學習目標1、通過具體情景，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量不等關(guān)系．掌握不等式的性質(zhì)；2、會用不等式的性質(zhì)證明簡單的不等式．3、培養(yǎng)學生觀察、類比、辨析、運用的綜合思維能力，體會化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想，提高學生數(shù)學運算和邏輯推理能力.1、邏輯推理：運用不等式的性質(zhì)證明不等式；2、數(shù)學運算：運用不等式的性質(zhì)求解證明不等式；3、直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；4、數(shù)學建模：能夠在實際問題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問題．知識點01符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：；③兩個異號實數(shù)相乘，積是負數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負數(shù)，0的平方為0符號語言：，．比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù)、①；②；③．對于任意實數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．【即學即練1】若，，則、、從小到大的排列為．【答案】【解析】因為，所以，又因為，所以，所以.故答案為：.知識點02不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．【即學即練2】已知，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】選項A，因為，則，所以，故A正確；選項B，當時，由，則，故B錯誤；選項C，若，則，所以，故C錯誤；選項D，若，則，故，故D錯誤.故選：A.知識點03比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進一步比較與的大?。伲虎?；③．作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進一步比較與的大小．①；②；③．中間量法：若且，則（實質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．【即學即練3】設(shè)a、b為實數(shù)，比較與的值的大小.【解析】由，又a、b為實數(shù)，，，則，所以.題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系【典例11】（2024·高一·全國·隨堂練習）某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為（

）A．且 B．或C．且 D．或【答案】A【解析】由速度v的最大值為120km/h，故，由車間距d不得小于10m，故，即有且.故選：A.【典例12】（2024·高一·廣東深圳·階段練習）公司運輸一批木材，總重600噸，車隊有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運輸方案應滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由已知可得，，所以有.故選：B.【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路（1）讀懂題意，找準不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當?shù)牟坏忍栠B接．（3）多個不等關(guān)系用不等式組表示．【變式11】（2024·高一·新疆·期中）某校新生加入乒乓球協(xié)會的學生人數(shù)多于加入籃球協(xié)會的學生人數(shù)，加入籃球協(xié)會的學生人數(shù)多于加入足球協(xié)會的學生人數(shù)，加入足球協(xié)會學生人數(shù)的3倍多于加入乒乓球協(xié)會和加入籃球協(xié)會的學生人數(shù)之和，若該校新生每人只能加入其中一個協(xié)會，則該校新生中加入這三個協(xié)會的總?cè)藬?shù)至少為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解析】依題意，設(shè)加入乒乓球協(xié)會、籃球協(xié)會、足球協(xié)會的學生人數(shù)分別為a，b，c，則，又，若，則，不滿足；若，則，不滿足；若，則，不滿足；若，則，滿足；則，，，則.故選：C.【變式12】（2024·高一·貴州遵義·階段練習）持續(xù)的高溫干燥天氣導致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運往滅火前線．從物資集散地到滅火前線共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運送，其他路段可用汽車運送．已知在可用汽車運送的路段，運送的平均速度為，設(shè)需摩托車運送的路段平均速度為，為使物資能在1小時內(nèi)到達滅火前線，則x應該滿足的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意汽車所用時間加上摩托車所用時間小于1小時，即，故選：D．【變式13】（2024·高三·全國·專題練習）王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個學習小組的釘釘群，群的成員由學生、家長、老師共同組成．已知該釘釘群中男學生人數(shù)多于女學生人數(shù)，女學生人數(shù)多于家長人數(shù)，家長人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A．18 B．20 C．22 D．28【答案】C【解析】依題意，設(shè)教師、家長、女生、男生人數(shù)分別為，且，于是，則，又，解得，因此，此時，所以當時，，即該釘釘群人數(shù)的最小值為22.故選：C題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小【典例21】（2024·高一·上海·課堂例題）已知，求證：.【解析】，因為，所以，又，所以，所以.【典例22】（2024·高一·上海·課堂例題）原有酒精溶液a（單位：g），其中含有酒精b（單位：g），其酒精濃度為.為增加酒精濃度，在原溶液中加入酒精x（單位：g），新溶液的濃度變?yōu)?根據(jù)這一事實，可提煉出如下關(guān)于不等式的命題：若，，則.試加以證明.【解析】因為，，所以，所以；又，因為，，所以，，所以，即綜上，.【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟【變式21】設(shè)x是實數(shù)，比較與的值的大小.【解析】，，因為，所以，即.【變式22】已知是實數(shù)，(1)求證：，并指出等號成立的條件；(2)求證：如果，那么.【解析】（1）因為，當且僅當，即時，等號成立；（2）因為，則，又（等號不成立），所以，故.題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假【典例31】（2024·高一·安徽淮北·期中）已知a，b為非零實數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對A，當時，不等式不成立，所以A不正確；對B，當時，滿足，但，所以B不正確；對C，因為，因為，且，可得，所以，所以C正確；對D，舉例，則，則，所以D不正確.故選：C.【典例32】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）下列說法正確的是（

）.A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【解析】對于A，若，不一定有，如當時，故A錯誤；對于B，因為，所以，又因為，所以，故B錯誤；對于C，若，，則不一定成立，如當，時，，此時，故C錯誤；對于D，，因為，，所以，所以，故，故D正確.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】運用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．【變式31】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則下面有六個結(jié)論：①，②，③，④，⑤，⑥中，正確結(jié)論的序號是．【答案】①④⑥【解析】因為，則，所以，即，故①正確；由，不等式兩邊同時乘時，，對于，兩邊同乘，可得，故，即，則②錯誤；因為，所以，則，所以，即，則③錯誤；由，不等式邊同時乘，得，故④正確；由，因為，所以，又因為，所以，即，故⑤錯誤；由可得，，故⑥正確；因此，正確結(jié)論的序號是①④⑥.故答案為：①④⑥.【變式32】（2024·高一·廣東梅州·開學考試）若、、，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，B，取，，則，，故A，B錯誤；對于C，因為，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯誤；故選：C【變式33】（2024·高一·山東臨沂·階段練習）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】選項A，若，則結(jié)論錯誤，故選項A錯誤；選項B，根據(jù)糖水不等式可知，，故選項B錯誤；選項C，當時，，故選項C錯誤；選項D，可知，，故選項D正確.故選：D【變式34】（2024·高三·廣西·學業(yè)考試）若實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，故A正確，B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，所以，故D錯誤.故選：A.題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式【典例41】已知a、b為任意給定的正數(shù)，求證：，并指出等號成立的條件．【解析】由題意可知：，因為，則，且，當且僅當時，等號成立，所以，即，等號成立的條件為.【典例42】（1）已知，，求證：；（2）已知，，求證：．【解析】證明：（1）因為，所以．又．所以，所以．又因為，所以．（2）因為，要證，只需證明，展開得，即，因為成立，所以成立．【方法技巧與總結(jié)】對利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說明（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對任意兩個實數(shù)a，b有；；．這是比較兩個實數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對性質(zhì)正確理解和運用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實數(shù)大小比較和實數(shù)運算性質(zhì)的直接應用．【變式41】已知，．求證：．【解析】因為，所以，因為，所以，即，即【變式42】（2024·高一·全國·專題練習），，，，設(shè)，證明：.【解析】因為，故，，，.故有；由于，故，同理還有，所以.這就證明了.【變式43】（2024·高一·福建泉州·階段練習）（1）已知，設(shè)，，比較與的大小；（2）證明：已知，且，求證：.【解析】（1），則；（2）因為，且，則，則，則，則，則，則，又則.命題得證.【變式44】（2024·高一·安徽·階段練習）（1），其中x，y均為正實數(shù)，比較a，b的大??；（2）證明：已知，且，求證：【解析】（1）因為，作差得，因為，，所以，，所以，即；（2）因為，且，，，所以，所以所以，所以，所以，故.【變式45】（2024·高一·上?！ｎ}練習）（1）已知，求證：；（2）已知，求證：（3）已知，求證：【解析】（1）因為，可得，所以，又因為，可得.（2）因為，所以，又因為，所以，可得，因為，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，即以.（3）因為，要證，只需證明，展開得，即，即，又因為，所以.題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小【典例51】（2024·高一·青海玉樹·期末）已知，則．（填“＞”“＜”或“＝”）【答案】【解析】，因為，所以，，所以，，又因為，，所以.故答案為：.【典例52】（2024·高二·陜西榆林·期中）設(shè)，，則，的大小關(guān)系為.【答案】【解析】由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出答案.，則，即故答案為：【方法技巧與總結(jié)】注意點：①記準、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準確地加以應用；②應用不等式的性質(zhì)進行推導時，應注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則【變式51】（2024·高一·遼寧沈陽·期中）若，，，則，的大小關(guān)系是.【答案】【解析】由,有，，則，故,故答案為：.【變式52】（2024·高一·上?！ふn前預習）已知，有以下說法：①若，則；②若，則；③若，則，其中正確的是．【答案】①【解析】對于①，若，則；①正確，對于②,若，當時，則，故②錯誤，對于③,若，當時，則，故③錯誤，故答案為：①【變式53】（2024·高一·上海黃浦·階段練習）已知，有四個推理：①；②；③；④，其中正確的序號是．【答案】③【解析】對于①，當時，顯然不等式不成立，故①錯誤；對于②，當時，滿足，不滿足，故②錯誤；對于③，由，則，即，故③正確；對于④，由得同號，故當時，等價于，故，故④錯誤.故答案為：③【變式54】已知a，，則下列選項中能使成立的是，能使成立的是（填上正確的序號）．①

②

③

④【答案】①④②④【解析】①得，④得，故能使成立的是①④；，則，由②故，由④，故，故能使成立的是②④．故答案為：①④，②④.在下列空格上填適當?shù)牟坏忍枺海?）若，則；（2）若，，則1；．【答案】>><【解析】（1）由于，故，即，（2）由于，則，又，，故答案為：>，>，<題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例61】（多選題）（2024·河南洛陽·模擬預測）設(shè)實數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】，兩式相乘得，所以，A正確；由題得，又，兩式相乘得，所以，B錯誤；因為，所以兩式相乘得，C正確；因為，所以兩式相乘得，D錯誤．故選：AC【典例62】（多選題）（2024·高一·四川綿陽·階段練習）已知，則的取值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】ABC【解析】設(shè)，則，解得，，，，即，故選：ABC.【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進行運算，求得待求的范圍．如已知，要求的范圍，不能分別求出的范圍，再求的范圍，應把已知的“”“”視為整體，即，所以需分別求出的范圍，兩范圍相加可得的范圍．“范圍”必須對應某個字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴大其取值范圍．【變式61】（2024·高三·江蘇南通·階段練習）若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】設(shè)，故且，所以，故，由于，，所以，，故最小值為，此時，故選：B.【變式62】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，所以．故選：B.【變式63】（多選題）（2024·高一·河南省直轄縣級單位·階段練習）設(shè)為實數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因為，所以，故錯誤，正確.，所以，故C正確.，所以，故D錯誤.故選：BC.【變式64】（多選題）（2024·高一·河北·階段練習）已知，則以下命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】對于A：,故A錯誤.對于B：,故B正確.對于C：,故C錯誤.對于D;,故D正確.故選：BD.【變式65】（多選題）（2024·高一·吉林延邊·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因為，，則，，故A、C正確；由題，故，B錯誤；，則，故，D正確；故選：ACD.【變式66】（2024·高三·福建寧德·開學考試）已知，則的取值范圍是.【答案】【解析】設(shè)，所以，解得，所以，又，所以，又所以上述兩不等式相加可得，即，所以的取值范圍是，故答案為：.1．（2024·高一·廣東佛山·階段練習）設(shè)，為實數(shù)，命題甲：，命題乙：，則命題甲是命題乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因為，推不出，而，所以命題甲是命題乙的必要不充分條件，故選：B2．（2024·高一·貴州·階段練習）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】選項A：當時，，故A錯誤；選項B：因，，所以，得，故B正確；選項C：當時，滿足，，但，故C錯誤；選項D：當時，滿足，，但，故D錯誤，故選：B3．（2024·高一·湖北隨州·階段練習）若，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，，因為，故，即，故A錯；對于B，不確定符號，取則，故B錯誤；對于C，，因為，故，即，故C正確；對于D，，因為，故，即，故D錯誤．故選：C4．（2024·高三·山東濰坊·期末）若則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A，取，則，選項A錯誤；對于B，由于函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，又，則，選項B正確；對于C，取，則，選項C錯誤；對于D，取，則，選項D錯誤．故選：B．5．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．不等式和均不能成立B．不等式和均不能成立C．不等式和均不能成立D．不等式和均不能成立【答案】B【解析】對于A，因為，所以，所以，即成立，因為，所以，，所以，所以，所以不成立，所以A錯誤，對于B，由選項A可知不成立，因為，所以，，所以，，所以，所以，所以不成立，所以B正確，對于CD，因為，所以，所以，所以，所以成立，所以CD錯誤，故選：B6．（2024·湖南衡陽·模擬預測）新高考改革后，生物，化學，政治，地理采取賦分制度：原始分排名前的同學賦分分．若原始分的最大值為，最小值為，令為滿足，的一次函數(shù)．對于原始分為的學生，將的值四舍五入得到該學生的賦分.已知小趙原始分，賦分；小葉原始分，賦分；小林原始分，他的賦分是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】設(shè)，，，，∴，.∴賦分是或.故選：D.7．（2024·高三·全國·專題練習）記表示這3個數(shù)中最大的數(shù)．已知，，都是正實數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，，所以，所以，即，當且僅當時取等號，所以的最小值為．故選：A8．（2024·高一·湖北恩施·期末）某商場計劃做一次活動刺激消費，計劃對某商品降價兩次，方案甲：第一次降價，第二次降價.方案乙：第一次降價.第二次降價.方案丙：兩次均降價m+n2%，其中.那么兩次降價后價格最高的方案為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．無法判斷【答案】C【解析】不妨設(shè)商品原價格為，則方案甲兩次降價后的價格為：；方案乙兩次降價后的價格為：；方案丙兩次降價后的價格為：.所以，方案甲和方案乙兩次降價后的價格相同；又（因為，故不能取“”）所以，方案丙兩次降價后的價格最高.故選：C9．（多選題）（2024·高一·全國·單元測試）下列命題敘述正確的是（

）A．，當時，B．，當時，C．，當時，D．，當時，【答案】CD【解析】對于A，取，滿足，且，此時，，故A錯誤；對于B，取，滿足，此時，則，故B錯誤；對于C，因為，當時，，所以，則，故C正確；對于D，存在，，滿足，故D正確.故選：CD.10．（多選題）（2024·高一·江蘇南京·階段練習）十六世紀中葉，英國數(shù)學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號使用，后來英國數(shù)學家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號，并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠．則下列選項正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則【答案】BCD【解析】對A：若，則，故A錯誤；對B：由，則，，即，故B正確；對C：由，則，又，則，故C正確；對D：由，則，因為，則，故，故D正確.故選：BCD.11．（多選題）（2024·高一·江蘇南通·期末）若，，則（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】對A：取，，，，則，，故A錯誤；對B：由，，則，則有，故B正確；對C：由，，則，且等價于，等價于，等價于，即C正確；對D：由，，則，，即等價于，由，即等價于，等價于，即，故D正確.故選：BCD.12．（多選題）（2024·高一·四川成都·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】CD【解析】對于A項：因為：，，所以得：，又因為：，所以得：，故A項錯誤；對于B項：令，，所以得：，但，故B項錯誤；對于C項：由，得：，所以得：，故C項正確；對于D項：由，m>0，得：，所以得：，故D項正確；故選：CD.13．（2024·高一·上?！るS堂練習）下面四個條件中，使成立的充分而非必要的條件是（填寫序號）．①

②

③

④【答案】②【解析】對于①，取，則，但，不是充分條件，故①錯誤；對于②，當時，因為，所以成立；反之，由“”不能推出“”，所以“”是“”成立的充分而不必要的條件，故②正確；對于③，取，滿足“”，但“”不成立，故“”不是“”的充分條件，故③錯誤；對于④，根據(jù)立方的意義，當“”成立時，必定有“”成立，反之，當“”成立時，也有“”成立，故“”是“”的充分必要條件，④不正確.故答案為：②.14．（2024·高三·全國·專題練習）已知，，求的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，則，解得，所以，因為，，所以，，所以．則的取值范圍為．故答案為：.15．（2024·高一·上海·期中）已知，則的取值范圍是．【答案】【解析】可令，即，解得，所以，又，所以，即，可得；所以的取值范圍是.故答案為：16．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知x，y為實數(shù)，滿足，，則的最大值是，此時.【答案】323【解析】∵，∴.∵，∴.由不等式的性質(zhì)，得，即，故的最大值為32，此時，即，∴.故答案為：32；3.17．（2024·高一·河南駐馬店·開學考試）一般認為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地