湖南省長沙市麓山國際實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第一次學(xué)情檢測數(shù)學(xué)試卷_第1頁
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2024—2025—1學(xué)期麓山國際高一第一次學(xué)情檢測試卷數(shù)學(xué)出題人:蔡大勇審題人:喻淼時量:120分鐘滿分:150分第I卷一、選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.已知集合,,則()A. B. C. D.且【答案】D【解析】【分析】由分式與二次根式有意義的條件可得、集合,結(jié)合交集定義即可得解.【詳解】由,可得,,則,故且.故選:D.2.下列各組的兩個函數(shù)中,表示同一個函數(shù)的是()A., B.,C., D.,【答案】A【解析】【分析】先檢驗兩函數(shù)定義域,再檢驗解析式,根據(jù)同一函數(shù)的概念,分析即可得答案.【詳解】對于A,的定義域為,,定義域為,定義域和解析式都同,是同一個函數(shù),故A正確;對于B,,定義域為,的定義域為,定義域和解析式都不同,不是同一個函數(shù),故B錯誤;對于C,,,解析式不同,不是同一個函數(shù),故C錯誤;對于D,由解得,故的定義域為,由解得或,故的定義域為,定義域不同,不是同一個函數(shù),故D錯誤.故選:A3.已知,則使成立的充分條件為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件的概念,結(jié)合不等式的性質(zhì)或舉出反例,逐項判斷即可.【詳解】選項A:當(dāng)時,由得,此時,當(dāng)時,由得,不一定有,所以不是成立充分條件;選項B:當(dāng),時,滿足,此時不一定有,所以不是成立的充分條件;選項C:由可得,當(dāng),,且時滿足,此時不一定有,所以不是成立的充分條件;選項D:由可得,即,此時,所以是成立的充分條件;故選:D4.設(shè)集合,或x>5,若,則實數(shù)的取值范圍為()A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件按集合A是否為空集兩類列式計算得解.【詳解】因集合,若,有,解得,此時,于是得,若,因或x>5,則由得:,解得:,綜上得:,所以實數(shù)的取值范圍為.故選:A5.關(guān)于的不等式的解集為,則下列選項正確的是()A.B.不等式的解集為C.D.不等式的解集為【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集和韋達(dá)定理,可得,且,,然后代入選項,即可判斷選項正誤.【詳解】由題知,,且,,即得,故A錯;由可得,所以,解得或,故B錯;對于C,,故C錯;由可得,即,所以,故D正確.故選:D6.已知命題:,,則為真命題的一個必要不充分條件是()A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】通過分離參數(shù),把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求解的最值問題,從而求出充要條件,對A,B,C,D再根據(jù)必要不充分條件的定義求解即可.【詳解】解:,,在上恒成立,即a>x+令,根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì):在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,當(dāng),時,的值均為4,在上的最大值為4,是命題為真命題的充要條件,對A,得不到,得不到,故是為真命題的既不充分也不必要條件,故A錯;對B,得不到,而可以得到,故是為真命題的必要不充分條件;故B對;對C,得不到,得不到,故是為真命題的既不充分也不必要條件,故C錯;對D,是為真命題的充要條件;故D錯.故選:B.7.已知正數(shù)滿足.若不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C.(4,2) D.【答案】C【解析】【分析】因為恒成立,所以轉(zhuǎn)化為,將已知等式改寫形式為:,再利用“1”的代換后使用基本不等式得到的最小值為8,從而轉(zhuǎn)化為解不等式.【詳解】由題意知:即:∴∴又∵,∴,∴當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.∴當(dāng)時,取得最小值為8.∴解得:故選:C.8.若關(guān)于的不等式恰有兩個整數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對二次不等式作差,利用平方差因式分解,分析集合的端點范圍,結(jié)合不等式恰有兩個整數(shù)解求另一端點的范圍,從而得到實數(shù)的取值范圍.【詳解】由恰有兩個整數(shù)解,即恰有兩個整數(shù)解,所以,解得或,①當(dāng)時,不等式的解集為,因為,所以兩個整數(shù)解,則,即,解得;②當(dāng)時,不等式的解集為,因為,所以兩個整數(shù)解,則,即,解得,綜上所述,實數(shù)的取值范圍為或.故選:B.二、選擇題(本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分)9.已知集合,,,,則下面說法正確的是()A.B.C.D.若,則【答案】ACD【解析】【分析】求得集合的關(guān)系判斷選項A;求得集合判斷選項B;求得集合判斷選項C;利用為偶數(shù)判斷選項D.【詳解】根據(jù)題意,可得集合A表示除以2余數(shù)為1的自然數(shù)集,集合表示除以3余數(shù)為1的自然數(shù)集,集合表示除以4余數(shù)為1的自然數(shù)集,集合表示除以3余數(shù)為2的自然數(shù)集,或,則,所以選項A正確;或N,選項B不正確;,選項C正確;若,則為偶數(shù),故,選項D正確.故選:ACD.10.給出以下四個判斷,其中正確的是()A.已知函數(shù)值域為B.關(guān)于“的不等式有解”的一個必要不充分條件是C.函數(shù),定義域,值域,則滿足條件的有3個D.若函數(shù),且,則實數(shù)m的值為【答案】AC【解析】【分析】利用常數(shù)分離法求值域,小充分大必要,函數(shù)定義,配湊法求解析式等逐一判斷各選項即可.【詳解】對于A,在上單調(diào)遞增,故其值域為,故A正確;對于B,關(guān)于“的不等式有解”等價于,即,根據(jù)小充分大必要,是充分條件不是必要條件,故B錯誤;對于C,定義域可以是,故C正確;對于D,,故,若,即,則,故D錯誤.故選:AC11.下列說法正確的有A.若,則的最大值是B.若,則的最小值為2C.若,,均為正實數(shù),且,則的最小值是4D.已知,,且,則最小值是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)選項中各式的特點,進行適當(dāng)變形,使用基本不等式進行判斷.注意“1”的妙用及等號能否取到.【詳解】對于,由可得,由基本不等式可得,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,所以的最大值為,故正確;對于,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,但此時無解,等號無法取得,則最小值不為2,故錯誤;對于,由可得,當(dāng)且僅當(dāng)且,即,,時,等號成立,由于,,均為正實數(shù),則等號取不到,故錯誤;對于,由可得,代入到,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立,故正確.故選:.第Ⅱ卷三、填空題(本題共3小題,每小題5分,共15分)12.命題,的否定是___________.【答案】【解析】【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.【詳解】命題“,”的否定形式是“”.故答案為:.13.函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】【分析】利用換元法直接求解函數(shù)值域即可.【詳解】令,則,所以,所以,即函數(shù)值域為.故答案為:14.已知函數(shù),若函數(shù)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】先求出時,的值域為;再分類討論,分別求出在上的值域,根據(jù)題意列不等式,分別求解即可.【詳解】當(dāng)時,由于為上的增函數(shù),其值域為;當(dāng)時,為頂點在開口向上的拋物線,對稱軸.i.若,則二次函數(shù)的最小值為.要使的值域為R,只需:,解得:.所以;ii.若,則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以最小值為.要使的值域為R,只需:,解得:.所以;綜上所述:實數(shù)t的取值范圍是.故答案為:四、解答題(本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.設(shè)全集,集合,.(1)若,求,;(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1),(2)【解析】【分析】(1)求出集合,利用并集、交集的定義可求得結(jié)果;(2)分析可知,分、兩種情況討論,即可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時,,則,.【小問2詳解】因為,則,當(dāng)時,,解得,成立;當(dāng)時,,解得,綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為:.16.如圖,居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由四個全等的矩形(圖中陰影部分)和一個小正方形構(gòu)成的面積為的十字形地域,現(xiàn)計劃在正方形上建一座花壇,造價為420元;在四個相同的矩形上鋪花崗巖地坪,造價為21元;再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,造價為8元.設(shè)總造價為(單位:元),長為(單位:).(1)將表示為的函數(shù);(2)當(dāng)為何值時,總造價最???并求出這個最小值.【答案】(1)(2)米,元【解析】【分析】(1)設(shè),求得,結(jié)合題意,即可求得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)由(1)中關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合基本不等式,即可求解.【小問1詳解】解:由題意,正方形構(gòu)成的面積為且,矩形的面積為,則陰影部分的面積為,設(shè),則,可得,且,解得,所以,所以關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為.【小問2詳解】解:由(1)知,,由,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,即的長為米時,總造價為最小,且最小值為元.17.已知且.(1)求的最小值(2)求的最小值(3)求的最小值【答案】(1)25(2)10(3)【解析】【分析】(1)利用基本不等式得到,求出;(2)利用基本不等式得到,求出;(3)求出,,從而得到,換元后,利用基本不等式得到最小值.【小問1詳解】且,由于,故,解得或(舍去),故,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,故的最小值為25【小問2詳解】且,由于,故,兩邊平方后,解得或(舍去),故的最小值為10,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立;【小問3詳解】,若,此時,不成立,舍去,故,故,因為,故,故,令,,由基本不等式得,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,此時,,故的最小值為.18.已知函數(shù),.(1)若在區(qū)間上最大值為2,求實數(shù)的值;(2)當(dāng)時,求不等式的解集.【答案】(1);(2)答案見解析.【解析】【分析】(1)求出二次函數(shù)圖象的對稱軸,再利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即得.(2)分類討論求解含參數(shù)的一元二次不等式即得.【小問1詳解】函數(shù)圖象的對稱軸為,當(dāng),即時,,解得,則;當(dāng),即時,,解得,矛盾,所以.【小問2詳解】顯然,而,因此不等式為,當(dāng),即時,不等式解集為;當(dāng),即時,不等式解集為;當(dāng),即時,不等式解集,所以當(dāng)時,不等式解集為;當(dāng)時,不等式解集為;當(dāng)時,不等式解集為.19.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體:在定義域0,+∞內(nèi)存在,使函數(shù)成立;(1)請給出一個的值,使函數(shù)(2)函數(shù)是否是集合M中的元素?若是,請求出所有組成的集合;若不是,請說明理由;(3)設(shè)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)=2;(2)是,(3)或【解析】【分析】(1)利用列不等式,由此求得的一個取值.(2)假設(shè)存在符合題意,驗證,由此判斷出的所有可能取值.(3)利用列不等式,對分成三種情況進行分類討論,由此求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,依題意在定義域0,+∞內(nèi)存在,使函數(shù)成立,而,即,即,故可取,此時.(2)假設(shè)存在符合題意,而,即,即,化簡得,解得.所以函數(shù)是

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