高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）課時(shí)作業(yè)提升25解三角形應(yīng)用舉例

課時(shí)作業(yè)提升(二十五)解三角形應(yīng)用舉例A組夯實(shí)基礎(chǔ)1．已知A，B兩地間的距離為10km，B，C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則AA．10km B．10eq\r(3)C．10eq\r(5)km D．10eq\r(7)km解析：選D如圖所示，由余弦定理可得：AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，∴AC＝10eq\r(7)(km)．2．(2018·武漢模擬)海面上有A，B，C三個(gè)燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝()A．10eq\r(3)nmile B．eq\f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile解析：選D由題意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，所以BC＝5eq\r(6).3．(2018·廣州模擬)某工程中要將一坡長(zhǎng)為100m，傾斜角為75°的斜坡改造成傾斜角為30°的斜坡，并保持坡高度不變，A．100eq\r(2)m B．100eq\r(3)mC．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D．200m解析：選A設(shè)坡底需加長(zhǎng)xm，由正弦定理得eq\f(100,sin30°)＝eq\f(x,sin45°)，解得x＝100eq\r(2).4．如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BCA．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C∵tan15°＝tan(60°－45°)＝eq\f(tan60°－tan45°,1＋tan60°tan45°)＝2－eq\r(3)，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(eq\r(3)－1)(m)，故選C．5．(2018·宜昌模擬)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：選A如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．6．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°，距燈塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向N處，則該船航行的速度為()A．eq\f(17\r(2),2)海里/小時(shí) B．34eq\r(6)海里/小時(shí)C．eq\f(17\r(6),2)海里/小時(shí) D．34eq\r(2)海里/小時(shí)解析：選C如圖所示，在△PMN中，PM＝68，∠PNM＝45°，∠PMN＝15°，∠MPN＝120°，由正弦定理，得eq\f(68,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，所以MN＝34eq\r(6)，所以該船的航行速度為eq\f(17\r(6),2)海里/小時(shí)．7．如圖，為了測(cè)量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測(cè)出四邊形ABCD各邊的長(zhǎng)度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B與∠D互補(bǔ)，則AC的長(zhǎng)為________km.解析：∵82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cosD，∴cosD＝－eq\f(1,2).∴AC＝eq\r(49)＝7(km)．答案：78．某路邊一樹干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20m，則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是________解析：如圖，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點(diǎn)為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，所以∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，解得AO＝eq\f(20\r(6),3)m.答案：eq\f(20\r(6),3)9．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔頂與塔底俯角分別為30°，60°，則塔高為解析：如圖，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°，又AB＝200，∴AC＝eq\f(400,3)eq\r(3).在△ACD中，由正弦定理，得eq\f(AC,sin120°)＝eq\f(DC,sin30°)，即DC＝eq\f(AC·sin30°,sin120°)＝eq\f(400,3)(m)．答案：eq\f(400,3)10．(2018·莆田模擬)甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的eq\r(3)倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東________(填角度)的方向前進(jìn)．解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且eq\f(AC,BC)＝eq\r(3)，由正弦定理得eq\f(AC,BC)＝eq\f(sin120°,sin∠BAC)＝eq\r(3)?sin∠BAC＝eq\f(1,2).又0°<∠BAC<60°，所以∠BAC＝30°.60°－30°＝30°，即應(yīng)取北偏東30°的方向前進(jìn)．答案：30°11．某高速公路旁邊B處有一棟樓房，某人在距地面100米的32樓陽(yáng)臺(tái)A處，用望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)路上的車輛，上午11時(shí)測(cè)得一客車位于樓房北偏東15°方向上，且俯角為30°的C處，10秒后測(cè)得該客車位于樓房北偏西75°方向上，且俯角為45°的D處．(假設(shè)客車勻速行駛)(1)如果此高速路段限速80千米/小時(shí)，試問(wèn)該客車是否超速？(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，客車到達(dá)樓房的正西方向E處，問(wèn)此時(shí)客車距離樓房多遠(yuǎn)？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，則BC＝100eq\在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，則BD＝100米，在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，則DC＝eq\r(BD2＋BC2)＝200米，所以客車的速度v＝eq\f(CD,\f(10,60))＝1200米/分＝72千米/小時(shí)，所以該客車沒有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因?yàn)椤螪BE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知eq\f(EB,sin30°)＝eq\f(BC,sin45°)，所以EB＝eq\f(BCsin30°,sin45°)＝50eq\r(6)即此時(shí)客車距樓房50eq\B組能力提升1．已知在東西方向上有M，N兩座小山，山頂各有一個(gè)發(fā)射塔A，B，塔頂A，B的海拔高度分別為AM＝100米和BN＝200米，一測(cè)量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測(cè)得發(fā)射塔頂A的仰角為30°，該測(cè)量車向北偏西60°方向行駛了100eq\r(3)米后到達(dá)點(diǎn)Q，在點(diǎn)Q處測(cè)得發(fā)射塔頂B處的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經(jīng)測(cè)量tanθ＝2，求兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離．解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100，∴PM＝100eq\r(3).連接QM(圖略)，在△PQM中，∠QPM＝60°，又PQ＝100eq\r(3)，∴△PQM為等邊三角形，∴QM＝100eq\r(3).在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200，∴BQ＝100eq\r(5)，cosθ＝eq\f(\r(5),5).在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcosθ＝50000，∴BA＝100eq\r(5).即兩發(fā)射塔頂A，B之間的距離是100eq\2．為了應(yīng)對(duì)日益嚴(yán)重的氣候問(wèn)題，某氣象儀器科研單位研究出一種新的“彈射型”氣象儀器，這種儀器可以彈射到空中進(jìn)行氣象觀測(cè)．如圖所示，A，B，C三地位于同一水平面上，這種儀器在C地進(jìn)行彈射實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)點(diǎn)A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，在A地聽到彈射聲音的時(shí)間比B地晚eq\f(2,17)秒．在A地測(cè)得該儀器至最高點(diǎn)H處的仰角為30°.(已知聲音的傳播速度為340米/秒)(1)求A，C兩地的距離；(2)求這種儀器的垂直彈射高度HC．解：(1)設(shè)BC＝x，由條件可知AC＝x＋eq\f(2,17)×340＝x＋40，在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB×ACcos∠BAC，即x2＝1002＋(40＋x)2－2×100×(40＋x)×eq\f(1,2)，解得x＝380，所以AC＝380＋40＝420米，故A，C兩地的距離為420米．(2)在△ACH中，AC＝420，∠HAC＝30°，∠AHC＝90°－30°＝60°，由正弦定理，可得eq\f(AC,sin∠AHC)＝eq\f(HC,sin∠HAC)，即eq\f(420,sin60°)＝eq\f(HC,sin30°)，所以HC＝eq\f(420×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝140eq\r(3)，故這種儀器的垂直彈射高度為140eq\3．某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個(gè)集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10(1)求集鎮(zhèn)A，B間的距離；(2)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l1，l2上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線．勘測(cè)時(shí)發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域?yàn)闇\水區(qū)，不適宜船只航行．請(qǐng)確定碼頭M，N的位置，使得M，N解：(1)在△ABO中，OA＝6，OB＝10，∠AOB＝120°，根據(jù)余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2·OA·OB·cos120°＝62＋102－2×6×10×(－eq\f(1,2))＝196，所以AB＝14.故集鎮(zhèn)A，B間的距離為14(2)依題意得，直線MN必與圓O相切．設(shè)切點(diǎn)為C，連接OC(圖略)，則OC⊥MN.設(shè)OM＝x，ON＝y(tǒng)，MN＝c，