專題訓(xùn)練：等腰三角形中作輔助線的八種常用方法（原卷版）

等腰三角形作輔助線的常用方法題型01等腰三角形中有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊上的中線【典例分析】【例1-1】（23-24八年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)．，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．始終為等腰直角三角形【例1-2】（20-21八年級(jí)·遼寧沈陽·階段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，則的度數(shù)為___________．【例1-3】（23-24八年級(jí)上·全國·課堂例題）如圖所示，在中，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且，試判斷的形狀，并說明理由．【變式演練】【變式1-1】（23-24八年級(jí)上·黑龍江牡丹江·期末）如圖，在等腰三角形中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，，若點(diǎn)P是等腰三角形的邊上的一點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是（

）A． B． C．減 D．或【變式1-2】（23-24八年級(jí)上·北京·期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過A作，且．求證：(1)；(2)．【變式1-3】（2024八年級(jí)·天津·專題練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．題型02等腰三角形中沒有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊上的高【典例分析】【例2-1】（23-24八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)，重合），連接．（

）

A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【例2-2】（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）如圖，在等邊三角形中，D是上的一點(diǎn)，E是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接、，已知．(1)求證：是等腰三角形．(2)當(dāng)，時(shí)，求的面積．【例2-3】（23-24八年級(jí)上·山東臨沂·期末）已知在中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，．(1)如圖1，試說明的理由；(2)如圖2，過點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)E，與相交于點(diǎn)F．①試說明的理由；②如果，求的度數(shù)．【變式演練】【變式2-1】（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若D恰好是的中點(diǎn)，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式2-2】（23-24八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，已知，，與相交于點(diǎn)G．求的度數(shù)．【變式2-3】（23-24八年級(jí)上·山東聊城·期末）如圖，是的角平分線，，垂足為交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若恰好平分．(1)求證：；(2)若的面積是18，，求長(zhǎng)．題型03等腰三角形中證與腰有關(guān)聯(lián)的線段時(shí)，常作腰的平行線【典例分析】【例3-1】（22-23八年級(jí)上·湖北荊門·期中）如圖，中，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段移動(dòng)（點(diǎn)不與，重合），同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)、移動(dòng)的速度相同，與直線相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，、在移動(dòng)過程中，線段中是否存在長(zhǎng)度保持不變的線段？請(qǐng)說明理由．【例3-2】（22-23八年級(jí)上·河南鶴壁·期末）問題初探如圖①，中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，以為一邊作，使，，連接，猜想和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．類比再探如圖②，中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，以一邊作，使，，連接，則________．（直接寫出答案，不寫過程）方法遷移如圖③，是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，則、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？答案：________（直接寫出答案，不寫過程）．拓展創(chuàng)新如圖④，是等邊三角形，點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，以為一邊作等邊三角形，連接，猜想的度數(shù)，并說明理由．【變式演練】【變式3-1】（23-24八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿線段移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，與直線相交于點(diǎn)D，求證：．【變式3-2】（2024·八年級(jí)上·湖北吉林長(zhǎng)春·）如圖，在等腰中，頂角，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)E，再作交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，則的面積為______．題型04等腰三角形中證與底有關(guān)聯(lián)的線段時(shí)，常作底的平行線【典例分析】【變式4】（22-23八年級(jí)上·上海·期中）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，過D的直線交于E，交的延長(zhǎng)線于F，且．求證：．【變式演練】【變式4-1】（23-24八年級(jí)上·北京·期末）如圖，等邊中，在邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，于，求證：．【變式4-2】（22-23八年級(jí)上·湖北黃岡·階段練習(xí)）已知：在等邊中，點(diǎn)是邊所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與、兩點(diǎn)均不重合），點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)如圖①，當(dāng)是邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖②，當(dāng)是線段邊上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否一定成立？請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．題型05補(bǔ)形法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例5-1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若是的中線，交于點(diǎn)，求證：．【例5-2】（22-23八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）已知，分別是，的中線，且，求證．【例5-3】（23-24八年級(jí)上·江西上饒·期末）如圖，中，，于D，且，求．【變式演練】【變式5-1】（23-24八年級(jí)上·吉林松原·期中）數(shù)學(xué)興趣小組在活動(dòng)時(shí)，老師提出了這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，，D是的中點(diǎn)，求邊上的中線的取值范圍．【探究】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使，請(qǐng)補(bǔ)充完整證明“”的推理過程．(1)求證：證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使在和中（已作），（______），（中點(diǎn)定義），∴（______），(2)探究得出的取值范圍是______；（直接寫出結(jié)果即可）【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．(3)如圖2，中，，，是的中線，，，且，求的長(zhǎng)．【變式5-2】（23-24八年級(jí)上·江西南昌·期末）如圖，在中，，是的角平分線.(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，求證：.【變式5-3】（23-24八年級(jí)上·吉林白山·階段練習(xí)）如圖，為等邊內(nèi)一點(diǎn)，連接、，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使；延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接、．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若，則度．題型06延長(zhǎng)（或截?。┓?gòu)造三角形【典例分析】【例6-1】（23-24八年級(jí)上·重慶開州·階段練習(xí)）已知，如圖，中，為外一點(diǎn)，且于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【例6-2】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）已知：在中，是邊上的中線，分別以邊、邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖，求證：．【例6-3】（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在中，，，直線經(jīng)過點(diǎn)，如圖1，直線與線段相交，于，于D，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接、．

(1)求證：；(2)求證：且；(3)當(dāng)直線與線段不相交，如圖2，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由．【變式演練】【變式6-1】（22-23八年級(jí)上·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，E、F分別是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)G，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【變式6-2】（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，，則求的度數(shù)為．

【變式6-3】（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，，與相交于點(diǎn)，．(1)求證：垂直平分；(2)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，如果；①求證：是等邊三角形；②如果、分別是線段、線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為最小值時(shí)，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，并思考此時(shí)與有怎樣的數(shù)量關(guān)系．題型07倍長(zhǎng)中線法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例7-1】（22-23八年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）如圖，為中線，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)．求證：．【例7-2】（23-24八年級(jí)上·湖南懷化·期中）問題探究：小圣遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，中，是中線，求的取值范圍．他的做法是：延長(zhǎng)到，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決．請(qǐng)回答：(1)小圣證明的判定定理是______；(2)的取值范圍是______；方法運(yùn)用：(3)如圖2，是的中線，在上取一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，使，求證：．【例7-3】（23-24八年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到的理由是．A．

B．

C．

D．（2）求得的取值范圍是．A．

B．

C．

D．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問題解決】如圖2，和是兩個(gè)等腰直角三角形，，，與交于．取的中點(diǎn)，連，探討與的數(shù)量和位置關(guān)系．

【變式演練】【變式7-1】（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，是的中線，是上一點(diǎn)，交于，若，，，則的長(zhǎng)度為（

）

A． B． C． D．【變式7-2】（22-23八年級(jí)上·上海楊浦·期末）已知，如圖：中，，是的中線：求證：．

【變式7-3】（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到的理由是（

）A．

B．

C．

D．

（2）求得的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”和“中線’字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．【問題解決】（3）如圖2，是的中線，交于，交于，且．求證：．題型08截長(zhǎng)補(bǔ)短法構(gòu)造等腰三角形【典例分析】【例8-1】（23-24八年級(jí)下·江西上饒·開學(xué)考試）（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，，兩點(diǎn)都在線段上，連接，，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，．求證：；（2）如圖2，在中，，點(diǎn)為下方一點(diǎn)，連接，，過作交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)．【例8-2】（22-23八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)課上，小白遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在等腰中，，，，求證；在此問題的基礎(chǔ)上，老師補(bǔ)充：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．小白通過研究發(fā)現(xiàn)，與有某種數(shù)量關(guān)系：小明通過研究發(fā)現(xiàn)，將三條線段中的兩條放到同一條直線上，即截長(zhǎng)補(bǔ)短，再通過進(jìn)一步推理，可以得出結(jié)論．閱讀上面材料，請(qǐng)回答下面問題：

(1)求證；(2)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【例8-3】（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）【問題情境】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下的問題：如圖1，已知，，過點(diǎn)B作射線l，點(diǎn)E在的內(nèi)部，點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于l對(duì)稱，交l于點(diǎn)D，連接．證明：．【探究合作】同學(xué)們根據(jù)問題進(jìn)行小組合作，下面是第一小組的同學(xué)分享的解題過程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長(zhǎng)的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補(bǔ)”的方法．如圖4，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連接，再確定一個(gè)三角形作為目標(biāo)構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請(qǐng)你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學(xué)們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問題”，這就將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中無處不在．請(qǐng)同學(xué)們反思后解決下面的問題：（3）如圖，，，點(diǎn)D是的角平分線上一動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．【變式演練】【變式8-1】（23-24八年級(jí)上·山東日照·期末）已知，如圖1，在等邊中，與的角平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊上，且，猜想、、三者之間的數(shù)量關(guān)系．(1)方法探索：小敏的思路是：如圖3，在上取一點(diǎn)，使，連接．先證明______，從而______；繼而證明______，從而______；因此可判斷、、三者之間的數(shù)量關(guān)系是______；(2)拓展運(yùn)用：如圖2，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，其它條件不變，猜想、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式8-2】（22