計算專訓：有理數(shù)、代數(shù)式中的新定義運算

有理數(shù)、代數(shù)式中的新定義運算1．若定義一種新的運算“”，規(guī)定有理數(shù)，如．(1)求的值；(2)求的值．2．已知表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，現(xiàn)定義，例如：．(1)________，________；(2)求的值；(3)求的值．3．現(xiàn)定義新運算“※”，對任意有理數(shù)a、b，規(guī)定，例如：．(1)求的值；(2)若的值與b互為相反數(shù)，求b的值．4．定義新運算：對于任意有理數(shù)、，都有．等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如．計算：(1)；(2)65．小明同學學習了有理數(shù)后，對運算非常感興趣，于是定義了一種新運算“”，規(guī)則如下：對于兩個有理數(shù)a，b，.(1)計算：______，______；(2)設(shè)，試比較的大小，并說明理由；(3)已知，且，請直接寫出滿足條件的x的最小值.6．【問題背景】定義一種新運算“*”：其運算結(jié)果的符號同號取正，異號取負，數(shù)值為其絕對值相加的和，0與圖任何數(shù)進行“*”的運算都得這個數(shù)的絕對值．例如：，；，；，；…【問題再現(xiàn)】（1）計算：；【拓展提升】（2）計算：．7．定義：若兩個式子的和等于一個常數(shù)，則稱這兩個式子是關(guān)于該常數(shù)的組合式．(1)和______是關(guān)于0的組合式；(2)已知，a與b是關(guān)于3的組合式嗎？說明理由；(3)已知，且c與d是關(guān)于常數(shù)m的組合式，請?zhí)剿鱩的取值范圍與對應(yīng)的x取值的個數(shù)．8．定義一種新運算：觀察下列式：；；．(1)請你想一想：用代數(shù)式表示；(2)若，那么（用“>”、“<”或“=連接”）；(3)若，請計算：的值．9．定義：若，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．(1)5與是關(guān)于1的平衡數(shù)；與是關(guān)于1的平衡數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若，，判斷與是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由．10．定義：若兩個數(shù)的和為a，則稱這兩個數(shù)是關(guān)于a的友好數(shù)．例如：，就稱2與5是關(guān)于7的友好數(shù)．(1)2與________是關(guān)于3的友好數(shù)，與________是關(guān)于3的友好數(shù)（填一個含x的代數(shù)式）；(2)若，，判斷a與b是否是關(guān)于3的友好數(shù)，并說明理由；(3)若，，且c與d是關(guān)于3的友好數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負整數(shù)k的值．

參考答案1．若定義一種新的運算“”，規(guī)定有理數(shù)，如．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）原式利用題中的新定義計算即可求出值．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，∴．2．已知表示不超過x的最大整數(shù)，例如：，現(xiàn)定義，例如：．(1)________，________；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)，0.8；(2)1.1；(3)．【分析】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是正確得出最大整數(shù)：（1）根據(jù)取整定義直接求值即可；（2）根據(jù)取整定義求出每一項的最大整數(shù)，然后再進行計算即可；（3）根據(jù)取整定義求出每一項的最大整數(shù)，然后再進行計算即可．【詳解】（1）解：；，故答案為：；0.8；（2）解：；（3）解：3．現(xiàn)定義新運算“※”，對任意有理數(shù)a、b，規(guī)定，例如：．(1)求的值；(2)若的值與b互為相反數(shù)，求b的值．【答案】(1)(2)．【分析】本題主要新定義運算規(guī)則下的運算，關(guān)鍵是要理解新的運算規(guī)則．（1）根據(jù)定義新運算“※”的法則計算即可求解；（2）根據(jù)定義新運算“※”的法則計算，再求其相反數(shù)即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：；（2）解：．∵的值與b互為相反數(shù)，∴．4．定義新運算：對于任意有理數(shù)、，都有．等式右邊是通常的加法、減法和乘法運算，如．計算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查有理數(shù)的混合運算，新定義運算，（1）原式利用新定義運算進行計算即可得到結(jié)果；（2）先根據(jù)新定義運算計算小括號里面的式子，再把所得的結(jié)果與小括號外面的數(shù)根據(jù)新定義運算進行計算即可；熟練掌握運算法則和運算順序是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）∵，∴．5．小明同學學習了有理數(shù)后，對運算非常感興趣，于是定義了一種新運算“”，規(guī)則如下：對于兩個有理數(shù)a，b，.(1)計算：______，______；(2)設(shè)，試比較的大小，并說明理由；(3)已知，且，請直接寫出滿足條件的x的最小值.【答案】(1)2，2(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)新運算“”規(guī)則直接計算即可；（2）根據(jù)新運算“”規(guī)則表示出，即可比較大?。唬?）根據(jù)新運算“”規(guī)則可得，令，分和兩種情況，利用絕對值的幾何意義求出t的取值范圍，進而求出x的取值范圍，即可求解【詳解】（1）解：，，故答案為：2，2；（2）解：，理由如下：，，；（3）解：，且，，，令，當時，，，，即，解得，當時，，，，即，解得，綜上可知，x的取值范圍為：，滿足條件的x的最小值為．【點睛】本題考查新定義運算，絕對值的意義，有理數(shù)的加減混合運算，整式的運算，第3問有一定難度，通過分類討論去絕對值，再結(jié)合絕對值的幾何意義求解是解題的關(guān)鍵．6．【問題背景】定義一種新運算“*”：其運算結(jié)果的符號同號取正，異號取負，數(shù)值為其絕對值相加的和，0與圖任何數(shù)進行“*”的運算都得這個數(shù)的絕對值．例如：，；，；，；…【問題再現(xiàn)】（1）計算：；【拓展提升】（2）計算：．【答案】（1）；（2）當時，；當時，；當時，．【分析】本題主要考查了新定義下的有理數(shù)的乘除混合運算，根據(jù)新定義運算法則計算即可．（1）按新定義下的運算法則先計算括號里面的，再算外面的即可．（2）根據(jù)題意分類討論a的情況，然后根據(jù)分類按照新定義下的運算法則計算即可．【詳解】解：，則；（2）當時，原式；當時，原式；當時，原式；綜上，當時，原式；當時，原式；當時，原式．7．定義：若兩個式子的和等于一個常數(shù)，則稱這兩個式子是關(guān)于該常數(shù)的組合式．(1)和______是關(guān)于0的組合式；(2)已知，a與b是關(guān)于3的組合式嗎？說明理由；(3)已知，且c與d是關(guān)于常數(shù)m的組合式，請?zhí)剿鱩的取值范圍與對應(yīng)的x取值的個數(shù)．【答案】(1)(2)是，理由見解析(3)，或或【分析】本題考查整式加減運算的實際應(yīng)用．（1）根據(jù)新定義，用0減去，即可；（2）求出的和，進行判斷即可；（3）根據(jù)題意，得到為常數(shù)，利用絕對值的意義，分類討論求解即可．掌握新定義，以及整式加減的運算法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，故答案為：（2）是，理由如下：，∴a與b是關(guān)于3的組合式．（3）∵，∴，當時，；此時當時，；當時：；此時∵c與d是關(guān)于常數(shù)m的組合式，∴當時，，，當時，；當時，，綜上：，或或．8．定義一種新運算：觀察下列式：；；．(1)請你想一想：用代數(shù)式表示；(2)若，那么（用“>”、“<”或“=連接”）；(3)若，請計算：的值．【答案】(1)(2)<(3)6【分析】本題以新運算為載體，主要考查了對運算法則的探求和整式的加減運算，（1）根據(jù)題意可得新運算法則為，進一步即可求出答案；（2）根據(jù)新運算法則和整式的加減運算法則并結(jié)合解答即可；（3）根據(jù)新運算法則可得，然后再根據(jù)新運算法則和整式的加減運算法則整體代入計算即可．【詳解】（1）解：，，故答案為：；（2）∵，∴，故答案為：＜；（3）由，得，∴．9．定義：若，則稱a與b是關(guān)于1的平衡數(shù)．(1)5與是關(guān)于1的平衡數(shù)；與是關(guān)于1的平衡數(shù)．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若，，判斷與是否是關(guān)于1的平衡數(shù)，并說明理由．【答案】(1)，．(2)不是，理由見解析【分析】（1）根據(jù)平衡數(shù)的定義即列出算式求出答案．（2）根據(jù)定義判斷與2是否相等．【詳解】（1），與是關(guān)于1的平衡數(shù)，，與是關(guān)于1的平衡數(shù)．故答案為：，．（2）和不是關(guān)于1的平衡數(shù)因為所以和不是關(guān)于1的平衡數(shù)．【點睛】本題考查整式的加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的加減運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．10．定義：若兩個數(shù)的和為a，則稱這兩個數(shù)是關(guān)于a的友好數(shù)．例如：，就稱2與5是關(guān)于7的友好數(shù)．(1)2與________是關(guān)于3的友好數(shù)，與________是關(guān)于3的友好數(shù)（填一個含x的代數(shù)式）；(2)若，，判斷a與b是否是關(guān)于3的友好數(shù)，并說明理由；(3)若，，且c與d是關(guān)于3的友好數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負整數(shù)k的值．【答案】(1)(2)是，理由見解析(3)【分析】本題考查有理數(shù)運算，代數(shù)式