壓軸訓(xùn)練：第二章 幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)（解析版）

第二章幾何圖形的初步認(rèn)識(shí)壓軸訓(xùn)練壓軸題型一線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)定值問(wèn)題例題：（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知線(xiàn)段，，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是線(xiàn)段的中點(diǎn)．(1)若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度．(2)當(dāng)線(xiàn)段在線(xiàn)段上從左向右或從右向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷線(xiàn)段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化，如果不變，請(qǐng)求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點(diǎn)的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，；（2）線(xiàn)段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化．點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)段的和差運(yùn)算，中點(diǎn)的含義；熟練掌握線(xiàn)段的和差運(yùn)算，靈活應(yīng)用中點(diǎn)的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線(xiàn)段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．

(1)若，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；(2)若C為線(xiàn)段上任一點(diǎn)，滿(mǎn)足，其他條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的答案．(3)若C在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且滿(mǎn)足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)出圖形，寫(xiě)出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∴∴線(xiàn)段的長(zhǎng)為．（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M(jìn)、N分別是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線(xiàn)段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意、準(zhǔn)確得到線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北承德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線(xiàn)段，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)；(2)若為的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說(shuō)明，不論點(diǎn)在線(xiàn)段上如何運(yùn)動(dòng)，只要不與點(diǎn)和重合，那么的長(zhǎng)不變．【答案】(1)(2)(3)說(shuō)明見(jiàn)解析【分析】（1）首先根據(jù)線(xiàn)段的和差關(guān)系求出，然后根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的概念求出，，進(jìn)而求和可解；（2）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的概念求解即可；（3）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的概念求解即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以．因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，所以；（2）∵為的中點(diǎn)，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴；（3）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)．所以，所以，所以，的長(zhǎng)不變．【點(diǎn)睛】此題考查了線(xiàn)段的和差計(jì)算，線(xiàn)段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線(xiàn)段，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)．(1)若點(diǎn)恰好是中點(diǎn)，則____________；(2)若，求的長(zhǎng)；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)“”，請(qǐng)說(shuō)明不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變．【答案】(1)6(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，，．故答案為：6；（2）解：，，．點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，，，；（3）解：設(shè)，則，點(diǎn)、分別是和的中點(diǎn)，∴，，不論取何值（不超過(guò)），的長(zhǎng)不變；【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，線(xiàn)段和差的計(jì)算，掌握線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．壓軸題型二線(xiàn)段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問(wèn)題例題：（2023秋·云南臨滄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線(xiàn)段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)?若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)滿(mǎn)足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時(shí)間=路程和速度和，列出方程計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時(shí)，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點(diǎn)C是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：③當(dāng)點(diǎn)Q是線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；綜上所述，滿(mǎn)足條件的值為4或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線(xiàn)段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類(lèi)討論以防遺漏鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)、點(diǎn)是直線(xiàn)上的兩點(diǎn)，厘米，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且厘米．點(diǎn)、點(diǎn)是直線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的速度為1厘米/秒，點(diǎn)的速度為2厘米/秒．點(diǎn)、分別從點(diǎn)、點(diǎn)同時(shí)出發(fā)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)秒時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)為6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四種情況：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)；求出經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)為6厘米即可．【詳解】解：（1）點(diǎn)P、Q都向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（2）點(diǎn)P、Q都向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（3）點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）；（4）點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，（秒）．∴經(jīng)過(guò)3或9或1秒時(shí)線(xiàn)段的長(zhǎng)為6厘米．故答案為：3或9或1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了兩點(diǎn)間的距離的求法，以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．2．（2023秋·河南安陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．(1)當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____，點(diǎn)P表示的有理數(shù)為_(kāi)_____；(2)若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為_(kāi)_____；(3)當(dāng)時(shí)，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)當(dāng)時(shí)，t的值為4或6【分析】（1）根據(jù)路程速度時(shí)間進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)中點(diǎn)公式進(jìn)行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線(xiàn)段的和差關(guān)系求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為，故答案為：6，4；（2）解：∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為8，∴點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，故答案為：3；（3）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，則，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，∵，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)時(shí)，t的值為4或6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線(xiàn)段的和差計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線(xiàn)段以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，求的值．(3)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求的值．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度(4)【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）依題意，，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分別列出方程，解方程即可求解；（4）分點(diǎn)在線(xiàn)段上和線(xiàn)段上，分別討論，列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在線(xiàn)段上，，，∴，故答案為：．（2）解：依題意，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)相遇時(shí)，解得：；（3）解：相遇前點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，，解得：，相遇前點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，則，解得：，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；（4）∵，當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得：（舍去）當(dāng)在線(xiàn)段上時(shí)，，此時(shí)，∵，∴，解得：，∴【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的和差計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北唐山·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)次，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（）．(1)當(dāng)時(shí)，①；②求線(xiàn)段的長(zhǎng)度；(2)用含的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的長(zhǎng)；(3)當(dāng)時(shí)，求的值；(4)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若的中點(diǎn)為，則的長(zhǎng)是否變化？若不變，求出的長(zhǎng)；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①；②(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，(3)或(4)不變，【分析】（1）①根據(jù)即可得出結(jié)論；②先求出的長(zhǎng)，再根據(jù)是線(xiàn)段的中點(diǎn)即可得出的長(zhǎng)；（2）分兩種情況進(jìn)行討論即可；（3）根據(jù)時(shí)間＝路程÷速度計(jì)算即可；（4）根據(jù)中點(diǎn)定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：；②∵，，∴，∵是線(xiàn)段的中點(diǎn)，∴．∴線(xiàn)段的長(zhǎng)度為．（2）∵是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，沿以的速度往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)時(shí)，，∴當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這時(shí)：，；當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這時(shí)：，；（3）當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（），∴，又∵，∴，解得：，當(dāng)點(diǎn)沿點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，（），∴，又∵，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，求的值為或；（4）不變．∵的中點(diǎn)為，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，，∴，，∴，即：的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，線(xiàn)段的和與差，中點(diǎn)的定義，一元一次方程的應(yīng)用，本題運(yùn)用了分類(lèi)討論的方法．利用線(xiàn)段中點(diǎn)的定義及線(xiàn)段的和差得出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．壓軸題型三幾何圖形中動(dòng)角定值問(wèn)題例題：（2023秋·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知如圖是的平分線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，，(1)求的度數(shù).(2)當(dāng)射線(xiàn)在的內(nèi)部線(xiàn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，射線(xiàn)、的位置是否發(fā)生變化？說(shuō)明理由.(3)在（2）的條件下，的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說(shuō)出其變化范圍.【答案】(1)(2)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析(3)不變，【分析】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)，則轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)同樣在動(dòng)，同理也在動(dòng)；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵是的平分線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，，∴，∴（2）解：∵，∴轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)同樣在動(dòng)，同理同樣轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）不變同樣35°；解：當(dāng)射線(xiàn)在的內(nèi)部線(xiàn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∵是的平分線(xiàn)，是的平分線(xiàn)，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·陜西延安·七年級(jí)?？计谀┮阎?，，平分，平分.（1）如圖，當(dāng)、重合時(shí)，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒（），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的值是否會(huì)因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）35°；（2）是定值，35°【分析】（1）首先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求得∠AOE和∠BOF的度數(shù)，然后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解；（2）首先由題意得∠BOC=3t°，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分線(xiàn)的定義得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解可得．【詳解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如圖2，由題意∠BOC=3t°，則∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，∴∠AOE-∠BOF的值是定值．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線(xiàn)的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．2．（2023春·湖北十堰·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，過(guò)點(diǎn)O在內(nèi)部作射線(xiàn)．，分別平分和，與互補(bǔ)，．(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；(2)如圖2，若平分．試探索：是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】(1)、、；(2)是定值，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)給出的關(guān)系，依次求出、、、等度數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）根據(jù)，從而表示出分子，根據(jù)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵和互補(bǔ)，，∴，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，，故答案為：、、；（2）是定值，理由如下：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了互補(bǔ)、角平分線(xiàn)的定義、角和差之間的關(guān)系等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清角之間數(shù)量關(guān)系．3．（2023秋·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點(diǎn)和另一塊含有45°角的三角板的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)，繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請(qǐng)回答問(wèn)題：(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線(xiàn)上時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)是____________度；(2)①如圖2，當(dāng)為的角平分線(xiàn)時(shí)，求出此時(shí)的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)為的角平分線(xiàn)時(shí)，求出此時(shí)的度數(shù)；(3)若只在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作平分線(xiàn)交于點(diǎn)，再作的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不會(huì)發(fā)生變化，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；②根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（3）分別用表示出．再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義表示出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，∴，故答案為：；（2）解：①由題意得，，∵為的角平分線(xiàn)，∴，∴；②由題意得，，∵為的角平分線(xiàn)，∴，∴；（3）解：的值不會(huì)發(fā)生變化，，理由如下：由題意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，角平分線(xiàn)的定義，熟知三角板中角度的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問(wèn)題例題：（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為直線(xiàn)上一點(diǎn)，射線(xiàn)、、位于直線(xiàn)上方，在的左側(cè)，，．

(1)如圖1，當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)；(2)點(diǎn)在射線(xiàn)上，若射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（且），．當(dāng)在內(nèi)部（圖2）和的兩邊在射線(xiàn)的兩側(cè)（圖3）時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說(shuō)明理由，若不變，求出其關(guān)系．【答案】(1)(2)不改變，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由平分，則，由，得到，最后得到；（2）分兩種情況，在內(nèi)部時(shí)，令，則，，結(jié)論成立；的兩邊在射線(xiàn)的兩側(cè)時(shí)．令，則，，，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在內(nèi)部時(shí)．令，則，，∴，∴；②的兩邊在射線(xiàn)的兩側(cè)時(shí)．令，則，，，∴，∴．綜上可得，和的數(shù)量關(guān)系不改變，【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及角的有關(guān)計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)O在直線(xiàn)上，在直線(xiàn)上方，且，射線(xiàn)在內(nèi)部，．(1)如圖1，若是的平分線(xiàn)，求的度數(shù)；(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請(qǐng)你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得答案；（2）設(shè)，則，再利用，然后整理可得結(jié)論．【詳解】（1）∵是的平分線(xiàn)，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線(xiàn)的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)校考期末）如圖，，，射線(xiàn)平分，射線(xiàn)平分（本題中的角均為大于且小于的角）．(1)如圖，當(dāng)，重合時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)當(dāng)從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度時(shí)，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)(2)為定值，理由見(jiàn)解析(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】(1)根據(jù)角平分線(xiàn)的定義知、，再根據(jù)可得答案；(2)由題意知、，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得、，代入計(jì)算可得答案；(3)分情況計(jì)算，利用n表示出，，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：，，射線(xiàn)平分，射線(xiàn)平分，、，；（2）解：的值為定值，理由如下：如圖：從圖中所示位置繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n度，，點(diǎn)C、D在直線(xiàn)的右側(cè)，射線(xiàn)平分，射線(xiàn)平分，，，，的值為定值；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖2：由(2)知，；當(dāng)時(shí)，如圖3所示，，，射線(xiàn)平分，射線(xiàn)平分，，，；當(dāng)時(shí)，如圖4所示，，，射線(xiàn)平分，射線(xiàn)平分，，，；綜上，與具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算以及角平分線(xiàn)的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類(lèi)討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．壓軸題型五幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問(wèn)題例題：（2023秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，，，三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，且，，射線(xiàn)，分別平分和．如圖2，將射線(xiàn)以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)將以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線(xiàn)與射線(xiàn)重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)射線(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始前，如圖1，______，______；(2)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，射線(xiàn)平分?(3)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合條件的的值為12s或33s【分析】（1）根據(jù)平角的定義求得，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義直接計(jì)算即可；（2）根據(jù)列方程求解即可；（3）分情況根據(jù)列方程求解即可．【詳解】（1）解：，，三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，，，，，分別平分和，，，故答案為：39，51；（2）解：射線(xiàn)以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，同時(shí)將以每秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，，射線(xiàn)平分，，，，；（3）解：存在某一時(shí)刻使得，分以下幾種情況：情況一：若在上方，此時(shí)，即，解得；情況二：若在下方，此時(shí)，即，解得（不符合題意，舍去）；情況三：當(dāng)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)264°時(shí)，有，此時(shí)．綜上所述，符合條件的的值為12s或33s．

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，O為直線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線(xiàn)，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線(xiàn)上，另一邊與都在直線(xiàn)的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過(guò)t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時(shí)是否平分？說(shuō)明理由；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線(xiàn)也繞O點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；平分，理由見(jiàn)解析(2)的值為或【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進(jìn)而求出時(shí)間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分；（2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前,當(dāng)平分時(shí)，，則,解得：，結(jié)論：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

則，∴，∴，當(dāng)停止時(shí),平分,則有,

∴,綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線(xiàn)的定義、角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.2．（2023秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線(xiàn)，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點(diǎn)O出發(fā)在內(nèi)引射線(xiàn)，滿(mǎn)足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線(xiàn)，射線(xiàn)分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①直接寫(xiě)出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進(jìn)一步求出，由角平分線(xiàn)的定義得到，進(jìn)而可得；（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，