壓軸訓(xùn)練：第二章 幾何圖形的初步認(rèn)識（解析版）

第二章幾何圖形的初步認(rèn)識壓軸訓(xùn)練壓軸題型一線段上動點定值問題例題：（2023秋·河南南陽·七年級南陽市實驗中學(xué)校考期末）如圖，已知線段，，是線段的中點，是線段的中點．(1)若，求線段的長度．(2)當(dāng)線段在線段上從左向右或從右向左運動時，試判斷線段的長度是否發(fā)生變化，如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)不變，還是，理由見解析【分析】（1）由題意可得，，結(jié)合中點的含義可得；（2）由已知可得，，再由，結(jié)合中點的性質(zhì)即可解．【詳解】（1）解∶，，，點是的中點，點是的中點，，；（2）線段的長度不發(fā)生變化．點是的中點，點是的中點，，．【點睛】本題考查線段的和差運算，中點的含義；熟練掌握線段的和差運算，靈活應(yīng)用中點的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期末）如圖，點C在線段上，點M、N分別是的中點．

(1)若，求線段的長；(2)若C為線段上任一點，滿足，其他條件不變，你能猜想的長度嗎？請直接寫出你的答案．(3)若C在線段的延長線上，且滿足，M、N分別為的中點，你能猜想MN的長度嗎？請在備用圖中畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，圖及理由見解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∴∴線段的長為．（2）解∶∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∵，∴；（3）解∶，理由如下∶如圖:

∵M(jìn)、N分別是的中點，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點的計算，明確題意、準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北承德·七年級統(tǒng)考期末）應(yīng)用題：如圖，已知線段，點為線段上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若，求的長；(2)若為的中點，則與的數(shù)量關(guān)系是______；(3)試著說明，不論點在線段上如何運動，只要不與點和重合，那么的長不變．【答案】(1)(2)(3)說明見解析【分析】（1）首先根據(jù)線段的和差關(guān)系求出，然后根據(jù)線段中點的概念求出，，進(jìn)而求和可解；（2）根據(jù)線段中點的概念求解即可；（3）根據(jù)線段中點的概念求解即可．【詳解】（1）因為，所以．因為點是的中點．所以，因為點是的中點．所以，所以；（2）∵為的中點，∴∵點是的中點∴；（3）因為點是的中點．所以因為點是的中點．所以，所以，所以，的長不變．【點睛】此題考查了線段的和差計算，線段中點的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期末）探究題：如圖①，已知線段，點為上的一個動點，點、分別是和的中點．(1)若點恰好是中點，則____________；(2)若，求的長；(3)試?yán)谩白帜复鏀?shù)”的方法，設(shè)“”，請說明不論取何值（不超過），的長不變．【答案】(1)6(2)(3)見解析【分析】（1）根據(jù)線段中點的性質(zhì)得出，，結(jié)合圖形即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法即可求解；（3）根據(jù)（1）的方法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，點為的中點，．點、分別是和的中點，，．故答案為：6；（2）解：，，．點、分別是和的中點，，，；（3）解：設(shè)，則，點、分別是和的中點，∴，，不論取何值（不超過），的長不變；【點睛】本題考查了線段中點的性質(zhì)，線段和差的計算，掌握線段中點的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．壓軸題型二線段上動點求時間問題例題：（2023秋·云南臨滄·七年級統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點，，，點P從A出發(fā)，以的速度沿向右運動，終點為B；點Q同時從點B出發(fā)，以的速度沿向左運動，終點為A，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點重合時，求t的值；(2)是否存在某一時刻，使得C、P、Q這三個點中，有一個點恰好是另外兩點所連線段的中點?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)滿足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時間=路程和速度和，列出方程計算即可求解；（2）根據(jù)線段中點的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點C是線段的中點時，，解得：；②當(dāng)點P是線段的中點時，，解得：③當(dāng)點Q是線段的中點時，，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【點睛】本題考查了兩點間的距離，利用線段中點的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺漏鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·新疆烏魯木齊·七年級?？计谀┤鐖D，已知點、點是直線上的兩點，厘米，點在線段上，且厘米．點、點是直線上的兩個動點，點的速度為1厘米/秒，點的速度為2厘米/秒．點、分別從點、點同時出發(fā)在直線上運動，則經(jīng)過秒時線段的長為6厘米．【答案】3或9或1【分析】分四種情況：（1）點P、Q都向右運動；（2）點P、Q都向左運動；（3）點P向左運動，點Q向右運動；（4）點P向右運動，點Q向左運動；求出經(jīng)過多少秒時線段的長為6厘米即可．【詳解】解：（1）點P、Q都向右運動時，（秒）；（2）點P、Q都向左運動時，（秒）；（3）點P向左運動，點Q向右運動時，（秒）；（4）點P向右運動，點Q向左運動時，（秒）．∴經(jīng)過3或9或1秒時線段的長為6厘米．故答案為：3或9或1．【點睛】此題主要考查了兩點間的距離的求法，以及分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握．2．（2023秋·河南安陽·七年級統(tǒng)考期末）A，B兩點在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中點A對應(yīng)的有理數(shù)為，點B對應(yīng)的有理數(shù)為8．動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸正方向運動，設(shè)運動時間為t秒（）．(1)當(dāng)時，的長為______，點P表示的有理數(shù)為______；(2)若點P為的中點，則點P對應(yīng)的有理數(shù)為______；(3)當(dāng)時，求t的值．【答案】(1)6，4(2)3(3)當(dāng)時，t的值為4或6【分析】（1）根據(jù)路程速度時間進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點中點公式進(jìn)行求解即可；（3）先求出，再由，得到，然后分點P在點B左側(cè)和右側(cè)兩種情況，利用線段的和差關(guān)系求出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，∴點P表示的數(shù)為，故答案為：6，4；（2）解：∵點P為的中點，點A對應(yīng)的有理數(shù)為，點B對應(yīng)的有理數(shù)為8，∴點P對應(yīng)的有理數(shù)為，故答案為：3；（3）解：∵，∴當(dāng)時，則，①當(dāng)點P在點B左邊時，∵，∴，∴；②當(dāng)點P在點B右邊時，∵，∴，∴；綜上所述，當(dāng)時，t的值為4或6．【點睛】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，線段的和差計算，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·吉林長春·七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點在線段上，，，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿線段以每秒個單位長度的速度向終點勻速運動．當(dāng)點到達(dá)終點時，點也隨之停止運動．設(shè)點的運動時間為秒．(1)線段的長為______．(2)當(dāng)點與點相遇時，求的值．(3)當(dāng)點與點之間的距離為個單位長度時，求的值．(4)當(dāng)時，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)當(dāng)或時，點與點之間的距離為個單位長度(4)【分析】（1）根據(jù)即可求解；（2）依題意，，根據(jù)點與點相遇時，解方程即可求解；（3）分相遇前和相遇后分別列出方程，解方程即可求解；（4）分點在線段上和線段上，分別討論，列出方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵點在線段上，，，∴，故答案為：．（2）解：依題意，，當(dāng)點與點相遇時，解得：；（3）解：相遇前點與點之間的距離為個單位長度時，，解得：，相遇前點與點之間的距離為個單位長度時，則，解得：，綜上所述，當(dāng)或時，點與點之間的距離為個單位長度；（4）∵，當(dāng)在線段上時，，此時，∵，∴，解得：（舍去）當(dāng)在線段上時，，此時，∵，∴，解得：，∴【點睛】本題考查了線段的和差計算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北唐山·七年級?？计谀┤鐖D，是線段上一動點，沿以的速度往返運動次，是線段的中點，，設(shè)點的運動時間為秒（）．(1)當(dāng)時，①；②求線段的長度；(2)用含的代數(shù)式表示運動過程中的長；(3)當(dāng)時，求的值；(4)在運動過程中，若的中點為，則的長是否變化？若不變，求出的長；若發(fā)生變化，請說明理由．【答案】(1)①；②(2)當(dāng)時，；當(dāng)時，(3)或(4)不變，【分析】（1）①根據(jù)即可得出結(jié)論；②先求出的長，再根據(jù)是線段的中點即可得出的長；（2）分兩種情況進(jìn)行討論即可；（3）根據(jù)時間＝路程÷速度計算即可；（4）根據(jù)中點定義即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵是線段上一動點，沿以的速度往返運動，∴當(dāng)時，．故答案為：；②∵，，∴，∵是線段的中點，∴．∴線段的長度為．（2）∵是線段上一動點，沿以的速度往返運動，當(dāng)點從點出發(fā)到點時，，∴當(dāng)點沿點運動時，這時：，；當(dāng)點沿點運動時，這時：，；（3）當(dāng)點沿點運動時，（），∴，又∵，∴，解得：，當(dāng)點沿點運動時，（），∴，又∵，∴，解得：，綜上所述，當(dāng)時，求的值為或；（4）不變．∵的中點為，是線段的中點，，∴，，∴，即：的長為．【點睛】本題考查兩點間的距離，線段的和與差，中點的定義，一元一次方程的應(yīng)用，本題運用了分類討論的方法．利用線段中點的定義及線段的和差得出相應(yīng)的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．壓軸題型三幾何圖形中動角定值問題例題：（2023秋·湖南懷化·七年級統(tǒng)考期末）已知如圖是的平分線，是的平分線，，(1)求的度數(shù).(2)當(dāng)射線在的內(nèi)部線繞點轉(zhuǎn)動時，射線、的位置是否發(fā)生變化？說明理由.(3)在（2）的條件下，的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.【答案】(1)(2)發(fā)生變化，理由見解析(3)不變，【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)，則轉(zhuǎn)動時同樣在動，同理也在動；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵是的平分線，是的平分線，，∴，∴（2）解：∵，∴轉(zhuǎn)動時同樣在動，同理同樣轉(zhuǎn)動；（3）不變同樣35°；解：當(dāng)射線在的內(nèi)部線繞點轉(zhuǎn)動時，∵是的平分線，是的平分線，，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計算是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·陜西延安·七年級?？计谀┮阎?，，平分，平分.（1）如圖，當(dāng)、重合時，求的值；（2）若從上圖所示位置繞點以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)秒（），在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會因的變化而變化，若不發(fā)生變化，請求出該定值；若發(fā)生變化，請說明理由.【答案】（1）35°；（2）是定值，35°【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得∠AOE和∠BOF的度數(shù)，然后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解；（2）首先由題意得∠BOC=3t°，再根據(jù)角平分線的定義得∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，然后由角平分線的定義得∠AOE=∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），最后根據(jù)∠AOE-∠BOF求解可得．【詳解】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOB=×110°=55°，∠BOF=∠COD=×40°=20°，∴∠AOE-∠BOF=55°-20°=35°；（2）∠AOE-∠BOF的值是定值，如圖2，由題意∠BOC=3t°，則∠AOC=∠AOB+3t°，∠BOD=∠COD+3t°，∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴∠AOE=∠AOC=（110°+3t°），∠BOF=∠BOD=（40°+3t°），∴∠AOE-∠BOF=（110°+3t°）-（40°+3t°）=35°，∴∠AOE-∠BOF的值是定值．【點睛】本題考查了角度的計算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．2．（2023春·湖北十堰·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，過點O在內(nèi)部作射線．，分別平分和，與互補，．(1)如圖1，若，則______°，______°，______°；(2)如圖2，若平分．試探索：是否為定值，若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

【答案】(1)、、；(2)是定值，理由見解析【分析】（1）根據(jù)給出的關(guān)系，依次求出、、、等度數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）根據(jù)，從而表示出分子，根據(jù)，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵和互補，，∴，∴，∵，分別平分和，∴，，∴，，故答案為：、、；（2）是定值，理由如下：∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了互補、角平分線的定義、角和差之間的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是弄清角之間數(shù)量關(guān)系．3．（2023秋·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點和另一塊含有45°角的三角板的頂點重合于一點，繞著點轉(zhuǎn)動含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請回答問題：(1)如圖1，當(dāng)點在射線上時，直接寫出的度數(shù)是____________度；(2)①如圖2，當(dāng)為的角平分線時，求出此時的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)為的角平分線時，求出此時的度數(shù)；(3)若只在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作平分線交于點，再作的平分線交于點，在轉(zhuǎn)動過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個值；若變化，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不會發(fā)生變化，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角板中角度的特點進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；②根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（3）分別用表示出．再根據(jù)角平分線的定義表示出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，∴，故答案為：；（2）解：①由題意得，，∵為的角平分線，∴，∴；②由題意得，，∵為的角平分線，∴，∴；（3）解：的值不會發(fā)生變化，，理由如下：由題意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【點睛】本題主要考查了三角板中角度的計算，角平分線的定義，熟知三角板中角度的特點是解題的關(guān)鍵．壓軸題型四幾何圖形中動角數(shù)量關(guān)系問題例題：（2023秋·河北邢臺·七年級統(tǒng)考期末）已知為直線上一點，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，．

(1)如圖1，當(dāng)平分時，求的度數(shù)；(2)點在射線上，若射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（且），．當(dāng)在內(nèi)部（圖2）和的兩邊在射線的兩側(cè)（圖3）時，和的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．【答案】(1)(2)不改變，，理由見解析【分析】（1）由平分，則，由，得到，最后得到；（2）分兩種情況，在內(nèi)部時，令，則，，結(jié)論成立；的兩邊在射線的兩側(cè)時．令，則，，，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在內(nèi)部時．令，則，，∴，∴；②的兩邊在射線的兩側(cè)時．令，則，，，∴，∴．綜上可得，和的數(shù)量關(guān)系不改變，【點睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建福州·七年級?？计谀┤鐖D，點O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，．(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)補角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；（2）設(shè)，則，再利用，然后整理可得結(jié)論．【詳解】（1）∵是的平分線，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題主要考查了鄰補角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北武漢·七年級?？计谀┤鐖D，，，射線平分，射線平分（本題中的角均為大于且小于的角）．(1)如圖，當(dāng)，重合時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度時，的值是否為定值？若是定值，求出的值，若不是，請說明理由．(3)當(dāng)從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度時，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【答案】(1)(2)為定值，理由見解析(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義知、，再根據(jù)可得答案；(2)由題意知、，根據(jù)角平分線的定義得、，代入計算可得答案；(3)分情況計算，利用n表示出，，再根據(jù)角之間的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：，，射線平分，射線平分，、，；（2）解：的值為定值，理由如下：如圖：從圖中所示位置繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n度，，點C、D在直線的右側(cè)，射線平分，射線平分，，，，的值為定值；（3）解：當(dāng)時，如圖2：由(2)知，；當(dāng)時，如圖3所示，，，射線平分，射線平分，，，；當(dāng)時，如圖4所示，，，射線平分，射線平分，，，；綜上，與具有的數(shù)量關(guān)系為：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．【點睛】本題考查了角度的計算以及角平分線的定義，找準(zhǔn)各角之間的和差關(guān)系，采用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．壓軸題型五幾何圖形中動角求運動時間問題例題：（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，，，三點在一條直線上，且，，射線，分別平分和．如圖2，將射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時，停止運動．設(shè)射線的運動時間為秒．

(1)運動開始前，如圖1，______，______；(2)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為何值時，射線平分?(3)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時刻使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)39，51(2)(3)存在，符合條件的的值為12s或33s【分析】（1）根據(jù)平角的定義求得，再根據(jù)角平分線的定義直接計算即可；（2）根據(jù)列方程求解即可；（3）分情況根據(jù)列方程求解即可．【詳解】（1）解：，，三點在一條直線上，，，，，分別平分和，，，故答案為：39，51；（2）解：射線以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時將以每秒的速度繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，，射線平分，，，，；（3）解：存在某一時刻使得，分以下幾種情況：情況一：若在上方，此時，即，解得；情況二：若在下方，此時，即，解得（不符合題意，舍去）；情況三：當(dāng)停止運動時，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，當(dāng)旋轉(zhuǎn)264°時，有，此時．綜上所述，符合條件的的值為12s或33s．

【點睛】本題主要考查一元一次方程的知識，角平分線的性質(zhì)，根據(jù)角的關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級校考期末）如圖，O為直線上一點，過點O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點放在點O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點O以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時是否平分？說明理由；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞O點以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時間平分？請說明理由．【答案】(1)；平分，理由見解析(2)的值為或【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進(jìn)而求出時間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分；（2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前,當(dāng)平分時，，則,解得：，結(jié)論：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

則，∴，∴，當(dāng)停止時,平分,則有,

∴,綜上所述，滿足條件的的值為或．【點睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題.2．（2023秋·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運動時間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進(jìn)一步求出，由角平分線的定義得到，進(jìn)而可得；（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，