專題：有理數(shù)的十種運(yùn)算技巧（原卷版）

有理數(shù)的十種運(yùn)算技巧題型01歸類法【典例分析】【例1-1】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；【例1-2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：．【例1-3】（23-24七年級(jí)上·北京朝陽·期末）計(jì)算：．【變式演練】【變式1-1】（23-24七年級(jí)上·北京豐臺(tái)·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：；

（2）計(jì)算：【變式1-2】（23-24七年級(jí)上·甘肅蘭州·期中）【變式1-3】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：

題型02湊整法【典例分析】【例2-1】（21-22七年級(jí)上·廣東汕頭·期中）計(jì)算：；【例2-2】（23-24七年級(jí)上·山東淄博·開學(xué)考試）請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算：【例2-3】（23-24七年級(jí)上·廣東惠州·期中）計(jì)算：．【變式演練】【變式2-1】（23-24七年級(jí)上·四川成都·期中）計(jì)算：；【變式2-2】（23-24七年級(jí)上·山東德州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【變式2-3】．（23-24七年級(jí)上·北京西城·期中）計(jì)算：(1)；(2)；

題型03對(duì)消法【典例分析】【例3-1】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；【例3-2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：．【例3-3】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）用適當(dāng)方法計(jì)算：【變式演練】【變式3-1】（23-24七年級(jí)上·吉林長春·期中）計(jì)算：；【變式3-2】（23-24七年級(jí)上·福建泉州·期中）計(jì)算：；【變式3-3】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算：；

題型04組合法【典例分析】【例4-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）計(jì)算題：【例4-2】（21-22七年級(jí)上·廣東廣州·開學(xué)考試）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：；【例4-3】（23-24七年級(jí)上·河南南陽·期末）計(jì)算：；【變式演練】【變式4-1】（23-24七年級(jí)上·新疆烏魯木齊·期中）計(jì)算：；【變式4-2】（23-24七年級(jí)上·陜西咸陽·階段練習(xí)）計(jì)算下列各題．【變式4-3】（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．

題型05分解法【典例分析】【例5-1】（23-24七年級(jí)上·四川眉山·階段練習(xí)）計(jì)算：．【例5-2】（21-22七年級(jí)上·廣東廣州）能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算：．【例5-3】（23-24七年級(jí)上·山西朔州·期中）閱讀下題中的計(jì)算方法，解決問題．(1)解：原式上面這種方法叫拆項(xiàng)法．仿照上面的拆項(xiàng)法可將拆為_________，拆為_________．(2)類比上述計(jì)算方法計(jì)算：．【變式演練】【變式5-1】（23-24七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）求的值．【變式5-2】（2023七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：；【變式5-3】（2023七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）計(jì)算：

題型06變序法【典例分析】【例6-1】（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·開學(xué)考試）計(jì)算：【例6-2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：；【例6-3】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算下面各題，能簡(jiǎn)算的要簡(jiǎn)算．【變式演練】【變式6-1】（23-24七年級(jí)上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）計(jì)算：．【變式6-2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：；【變式6-3】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）計(jì)算下列各式：；

題型07逆用法【典例分析】【例7-1】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：；【例7-2】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：；【例7-3】（24-25七年級(jí)上·河北石家莊·開學(xué)考試）計(jì)算：【變式演練】【變式7-1】（24-25七年級(jí)上·全國·假期作業(yè)）計(jì)算：．【變式7-2】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．【變式7-3】（24-25七年級(jí)上·全國·隨堂練習(xí)）用乘法運(yùn)算律，將下列各式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算：．

題型08觀察法【典例分析】【例8-1】（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·期中）計(jì)算：【例8-2】（23-24七年級(jí)上·山西晉中·期中）計(jì)算：．【例8-3】（23-24七年級(jí)上·湖北黃岡·期中）【變式演練】【變式8-1】（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）計(jì)算：．【變式8-2】（23-24七年級(jí)·安徽宿州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【變式8-3】（23-24七年級(jí)上·廣東湛江·期中）計(jì)算

題型09倒序相加法【典例分析】【例9-1】（23-24七年級(jí)上·遼寧朝陽·期末）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”，許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來非常煩瑣，且易出錯(cuò)，聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程：解：設(shè)，①則．②①②，得．（①②兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個(gè)101的和）所以，．③所以．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”請(qǐng)你運(yùn)用上述方法計(jì)算：一條沿途有n個(gè)站點(diǎn)的高鐵線上，單向行駛的“和諧號(hào)”列車，需要印多少種車票．【例9-2】（22-23七年級(jí)上·湖南岳陽·期末）計(jì)算：【例9-3】（20-21六年級(jí)上·山東威海·期中）【數(shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來非常繁瑣，且易出錯(cuò)．聰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：解：設(shè)S＝1+2+3+…+100，①則S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：(1)計(jì)算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的結(jié)論，計(jì)算：1001+1002+…+2000．【變式演練】【變式9-1】（22-23七年級(jí)上·廣西南寧·期中）【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：計(jì)算：_________；【變式9-2】（七年級(jí)上·河北保定·期末）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來非常繁瑣，且易出錯(cuò)．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．解：設(shè)S＝1+2+3+…+100

①則S＝100+99+98+…+1

②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1），＝，＝100×101，所以，S＝③，所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．請(qǐng)你利用“倒序相加法”解答下面的問題．（1）計(jì)算：1+2+3+…+101；（2）請(qǐng)你觀察上面解答過程中的③式及你運(yùn)算過程中出現(xiàn)的類似③式，猜想：1+2+3+…+n＝；（3）至少用兩種方法計(jì)算：1001+1002+…+2000．方法1：方法2：【變式9-3】（20-21七年級(jí)上·河北衡水·期中）高斯上小學(xué)時(shí)，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計(jì)算“從1到100這100個(gè)正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計(jì)算方法，計(jì)算起來非常煩瑣，并且容易出錯(cuò)．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程解：設(shè)，①則，②①+②，得．（兩式左右兩端分別相加，左端等于，右端等于100個(gè)101的和）∴，③∴．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．（1）請(qǐng)你運(yùn)用高斯的“倒序相加法”計(jì)算：；（2）請(qǐng)你認(rèn)真觀察上面解答過程中的③式及你運(yùn)算過程中出現(xiàn)類似的③式，猜想________（用含的代數(shù)式表示）；（3）計(jì)算：．

題型10倒數(shù)法【典例分析】【例10-1】（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·階段練習(xí)）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：．【例10-2】（23-24七年級(jí)上·安徽滁州·階段練習(xí)）計(jì)算：．【例10-3】（23-24七年級(jí)上·湖南湘西·期末）數(shù)學(xué)老師為了優(yōu)化同學(xué)們的運(yùn)算思維，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，復(fù)習(xí)有理數(shù)綜合運(yùn)算時(shí)，布置了一道有意思的計(jì)算題：請(qǐng)用不同解法計(jì)算劉聰和他的小伙伴選擇常規(guī)解法：張明開動(dòng)腦筋，經(jīng)過觀察算式特點(diǎn)，和同學(xué)們深入分析、探究，又找到了下面這種解法：原式的倒數(shù)：所以，原式(1)請(qǐng)比較劉聰和張明兩位同學(xué)的解法，你喜歡哪位同學(xué)的解法？為什么？(2)請(qǐng)選擇你喜歡的解法計(jì)算：【變式演練】【變式10-1】（23-24七年