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文檔簡介
2022-2023學(xué)年山東省寧陽市高三下學(xué)期第二次周練數(shù)學(xué)試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.2.已知函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,為了得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.先向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變B.先向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變C.先向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,縱坐標(biāo)保持不變D.先向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變3.已知條件,條件直線與直線平行,則是的()A.充要條件 B.必要不充分條件 C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件4.寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖,下圖是易經(jīng)八卦圖(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(“—”表示一根陽線,“——”表示一根陰線).從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率為()A. B. C. D.5.已知點(diǎn)(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b6.若,則的虛部是A.3 B. C. D.7.如圖,設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),且,則與的面積之比為A. B.C. D.8.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題:“今有蒲生一日,長三尺莞生一日,長一尺蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長倍?”意思是:“今有蒲草第天長高尺,蕪草第天長高尺以后,蒲草每天長高前一天的一半,蕪草每天長高前一天的倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍?”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù),相關(guān)數(shù)據(jù):,)A. B. C. D.9.已知為實數(shù)集,,,則()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A. B. C. D.111.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的()A.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個單位長度B.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位長度C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個單位長度D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個單位長度12.下列函數(shù)中,值域為的偶函數(shù)是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知三棱錐中,,,則該三棱錐的外接球的表面積是________.14.在的展開式中,項的系數(shù)是__________(用數(shù)字作答).15.在中,已知,則的最小值是________.16.如果拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是6,那么______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn),并說明理由;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;19.(12分)如圖,三棱錐中,,,,,.(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)設(shè)函數(shù),,(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.21.(12分)已知都是各項不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對任意的恒成立.22.(10分)在國家“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下,某企業(yè)決定加大對某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷,得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計算求得回歸直線方程分別為:甲;乙;丙,其中有且僅有一位同學(xué)的計算結(jié)果是正確的.(1)試判斷誰的計算結(jié)果正確?(2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測數(shù)據(jù)的誤差不超過,則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”,現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個,求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)為的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域為且,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,故選D.2.D【解析】
由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,得,即,解得,所以,,故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個單位長度,得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的,縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查圖像變換,考查運(yùn)算求解能力,是中檔題3.C【解析】
先根據(jù)直線與直線平行確定的值,進(jìn)而即可確定結(jié)果.【詳解】因為直線與直線平行,所以,解得或;即或;所以由能推出;不能推出;即是的充分不必要條件.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.4.B【解析】
根據(jù)古典概型的概率求法,先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù),再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù),代入公式求解.【詳解】從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)種,這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種,分別是(巽,坤),(兌,坤),(離,坤),(震,艮),(震,坎),(坎,艮),所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.6.B【解析】
因為,所以的虛部是.故選B.7.A【解析】
作交于點(diǎn),根據(jù)向量比例,利用三角形面積公式,得出與的比例,再由與的比例,可得到結(jié)果.【詳解】如圖,作交于點(diǎn),則,由題意,,,且,所以又,所以,,即,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合,三角形面積公式,屬基礎(chǔ)題,作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.8.C【解析】
由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度,進(jìn)而可得:,解出即可得出.【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為據(jù)題意得:,解得2n=12,∴n21.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.9.C【解析】
求出集合,,,由此能求出.【詳解】為實數(shù)集,,,或,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查交集、補(bǔ)集的求法,考查交集、補(bǔ)集的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.10.C【解析】
先將,化簡轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),故可得;再將向左平移個單位長度,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.12.C【解析】試題分析:A中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件;B中,函數(shù)為奇函數(shù),不滿足條件;C中,函數(shù)為偶函數(shù)且,滿足條件;D中,函數(shù)為偶函數(shù),但,不滿足條件,故選C.考點(diǎn):1、函數(shù)的奇偶性;2、函數(shù)的值域.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,求得的值,然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體,設(shè),,,設(shè)三棱錐的外接球半徑為,則,由勾股定理可得,上述三個等式全部相加得,,因此,三棱錐的外接球面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算,根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補(bǔ)成長方體是解答的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.14.【解析】的展開式的通項為:.令,得.答案為:-40.點(diǎn)睛:求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第r+1項,再由特定項的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項,求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項,再由通項寫出第r+1項,由特定項得出r值,最后求出其參數(shù).15.【解析】分析:可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為:,然后再結(jié)合余弦定理整理為,再由cosC的余弦定理得到a,b的關(guān)系式,最后利用基本不等式求解即可.詳解:已知,可得,將角A,B,C的余弦定理代入得,由,當(dāng)a=b時取到等號,故cosC的最小值為.點(diǎn)睛:考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運(yùn)用,能正確轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.屬于中檔題.16.【解析】
先求出拋物線的準(zhǔn)線方程,然后根據(jù)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6,列出,直接求出結(jié)果.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為,由題意得,解得.∵點(diǎn)在拋物線上,∴,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)是函數(shù)的極大值點(diǎn),理由詳見解析;(2)1.【解析】
(1)將直接代入,對求導(dǎo)得,由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷,故而構(gòu)造函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況,最后得出,是函數(shù)的極大值點(diǎn);(2)利用題目已有條件得,再證明時,不等式恒成立,即證,從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:(1)當(dāng)時,.令,則當(dāng)時,.即在內(nèi)為減函數(shù),且∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).綜上,是函數(shù)的極大值點(diǎn).(2)由題意,得,即.現(xiàn)證明當(dāng)時,不等式成立,即.即證令則∴當(dāng)時,;當(dāng)時,.∴在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,的最大值為.∴當(dāng)時,.即當(dāng)時,不等式成立.綜上,整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值,最值,判斷函數(shù)的單調(diào)性,由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍,對學(xué)生要求較高,然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題,為難題18.(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因為在中,,所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,19.(1)證明見詳解;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),根據(jù),利用線面垂直的判定定理,可得平面,最后可得結(jié)果.(2)利用建系,假設(shè)長度,可得,以及平面的一個法向量,然后利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,如圖由,所以由,平面所以平面,又平面所以(2)假設(shè),由,,.所以則,所以又,平面所以平面,所以,又,故建立空間直角坐標(biāo)系,如圖設(shè)平面的一個法向量為則令,所以則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直、線線垂直的應(yīng)用,還考查線面角,學(xué)會使用建系的方法來解決立體幾何問題,將幾何問題代數(shù)化,化繁為簡,屬中檔題.20.(1)(2)【解析】分析:(1)先斷定在曲線上,從而需要求,令,求得結(jié)果,注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,接著應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線的方程;(2)先將函數(shù)解析式求出,之后借助于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的最值.詳解:(Ⅰ)當(dāng),.,當(dāng),,所以切線方程為.(Ⅱ),,因為,所以.令,,則在單調(diào)遞減,因為,所以在上增,在單調(diào)遞增.,,因為,所以在區(qū)間上的值域為.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題,涉及到的知識點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線在某個點(diǎn)處的切線方程的求法,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),函數(shù)在給定區(qū)間上的最值等,在解題的過程中,需要對公式的正確使用.21.(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】
(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項與前項和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項與前項和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時,,代入所給的條件化簡可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解:.是各項不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時,,兩式作差,可得.當(dāng)時,滿足上式,則;證明:,
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