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13.3等腰三角形第13章全等三角形13.3.2等腰三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2等腰三角形的判定等邊三角形的判定知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1-講11.
判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”).幾何語(yǔ)言:如圖13.3-17,在△ABC中,∵∠B=∠C,∴AB=AC.知1-講2.等腰三角形的性質(zhì)與判定的異同相同點(diǎn):使用的前提都是“在同一個(gè)三角形中”.不同點(diǎn):性質(zhì):兩邊相等→這兩邊所對(duì)的角相等.判定:兩角相等→這兩角所對(duì)的邊相等.知1-講特別提醒等腰三角形的定義也是一種判定方法,判定定理就是轉(zhuǎn)化為定義再判斷,也是證明在同一個(gè)三角形中兩條線段相等的方法.知1-練例1如圖13.3-18,在△ABC中,P是BC邊上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線,交AB于點(diǎn)Q,交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,若AQ=AR,則△ABC是等腰三角形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.知1-練解題秘方:利用“等角對(duì)等邊”判定等腰三角形,只需證明三角形兩個(gè)內(nèi)角相等即可.知1-練解:△ABC是等腰三角形.理由如下:∵AQ=AR,∴∠R=∠AQR.又∵∠BQP=∠AQR,∴∠R=∠BQP.∵RP⊥BC,∴∠RPB=∠RPC=90°.∴∠B+∠BQP=90°,∠C+∠R=90°,∴∠B=∠C.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.知1-練1-1.如圖,點(diǎn)E在△ABC的AC邊的延長(zhǎng)線上,點(diǎn)D在AB邊上,DE交BC于點(diǎn)F,DF=EF,BD=CE,過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BC于點(diǎn)G.求證:△ABC是等腰三角形.知1-練證明:∵DG∥AC,∴∠DGB=∠ACB,∠DGF=∠ECF.
又∵∠DFG=∠EFC,DF=EF,
∴△GDF≌△CEF(A.A.S.).∴DG=EC.∵BD=CE,∴BD=DG.∴∠DGB=∠B.∵∠DGB=∠ACB,∴∠B=∠ACB.
∴AC=AB,即△ABC是等腰三角形.知2-講知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定21.
判定定理1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言:如圖13.3-19,在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等邊三角形.知2-講2.
判定定理2
有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.幾何語(yǔ)言:如圖13.3-19,在△ABC中,∵AB=AC,∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°),∴△ABC是等邊三角形.知2-講3.證明等邊三角形的思維導(dǎo)圖三角形等邊三角形三角形等腰三角形等邊三角形知2-講特別提醒1.在等腰三角形中,只要有一個(gè)角是60°,無(wú)論這個(gè)角是頂角還是底角,判定定理2都成立.2.等邊三角形的判定方法:(1)若已知三邊關(guān)系,一般選用定義判定;(2)若已知三角關(guān)系,一般選用判定定理1判定;(3)若已知該三角形是等腰三角形,一般選用判定定理2判定.知2-練如圖13.3-20,在等邊三角形ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O,OB,OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F(xiàn),連結(jié)OE,OF.求證:△OEF是等邊三角形.例2知2-練解題秘方:利用等邊三角形的判定定理1,通過(guò)求∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°,得△OEF
是等邊三角形.知2-練證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵CO,BO分別平分∠ACB,∠ABC,∴∠OBE=∠OCF=30°.由OB,OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E,F(xiàn),易證△OGE≌△BGE,△OHF≌△CHF,∴OE=BE,OF=CF.∴∠BOE=∠OBE=30°,∠COF=∠OCF=30°.知2-練∴∠OEF=∠BOE+∠OBE=60°,∠OFE=∠COF+∠OCF=60°.∴∠EOF=60°.∴∠OEF=∠OFE=∠EOF.∴△OEF是等邊三角形.知2-練教你一招:1.從角的角度證明三角形是等邊三角形,一是證明三角形的三個(gè)內(nèi)角相等;二是求出三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)都是60°.2.在已知的等邊三角形內(nèi)部判定某個(gè)三角形是等邊三角形,原等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°,為求新三角形的內(nèi)角度數(shù)提供了條件.知2-練2-1.如圖,已知在△ABC中,BD平分∠ABC,CE=CD,DB=DE,∠E=30°.求證:△ABC是等邊三角形.知2-練證明:∵DB=DE,∠E=30°,∴∠DBC=∠E=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠DBC=60°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠E=30°.∴∠BCD=∠CDE+∠E=60°.∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°.∴∠A=∠ABC=∠ACB.
∴△ABC是等邊三角形.知2-練2-2.如圖,△ABC為等邊三角形,∠1=∠2=∠3.求證:△DEF是等邊三角形.知2-練證明:∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=∠ABC,AB=AC.∵∠1=∠2,∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2,即∠CAF=∠ABD.知2-練∴△ABD≌△CAF(A.S.A.).∴∠ADB=∠CFA.∴∠FDE=∠DFE.同理可得∠DFE=∠FED,∴∠FDE=∠FED=∠DFE.∴△DEF是等邊三角形.知2-練如圖13.3-21,點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn),△ACM,△CBN都是等邊三角形,AN,MC相交于點(diǎn)E,BM,CN相交于點(diǎn)F,連結(jié)EF.求證:例3知2-練(1)AN=BM;解題秘方:要證AN=BM,只需證△ACN≌△MCB;知2-練
知2-練(2)△CEF是等邊三角形.解題秘方:根據(jù)已知條件,易求∠ECF=60°,故證明△ECF為等腰三角形即可.知2-練
知2-練3-1.如圖,△ABC為等邊三角形,D為BC邊上一點(diǎn).在△ABC的外角的平分線CE上取點(diǎn)E,使CE=BD,連結(jié)AD,AE,DE.請(qǐng)判斷△ADE的形狀,并說(shuō)明理由.知2-練知2-練又∵BD=CE,
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