第3章-MATLAB矩陣分析與處理

第3章MATLAB矩陣分析與處理3.1特殊矩陣3.2矩陣結(jié)構(gòu)變換3.3矩陣求逆與線性方程組求解3.4矩陣求值3.5矩陣的特征值與特征向量3.6矩陣的超越函數(shù)3.1特殊矩陣通用的特殊矩陣:零矩陣、1矩陣、單位矩陣等專用的特殊矩陣：魔術(shù)矩陣、希爾伯特矩陣、范德蒙矩陣3.1.1通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生0～1間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。這幾個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似：zeros(m)：產(chǎn)生m×m的零矩陣zeros(m,n)

：產(chǎn)生m×m的零矩陣zeros(size(A))：產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣?yán)?.1分別建立3×3、3×2和與矩陣A同樣大小的零矩陣。建立一個(gè)3×3零矩陣。

zeros(3)建立一個(gè)3×2零矩陣。

zeros(3,2)設(shè)A為2×3矩陣，則可以用zeros(size(A))建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。

A=[123;456];%產(chǎn)生一個(gè)2×3階矩陣A

zeros(size(A))%產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零矩陣?yán)?.2建立隨機(jī)矩陣：

(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。

(2)均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。3.1.2用于專門學(xué)科的特殊矩陣

(1)魔方矩陣魔方矩陣的性質(zhì)：元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等magic(n)：其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。>>magic(3)ans=816357492例3.3將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。

M=100+magic(5)M=117124101108115123105107114116104106113120122110112119121103111118125102109

(2)范得蒙矩陣范得蒙(Vandermonde)矩陣特點(diǎn)：最后一列全為1倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積A=vander(v),其中ans=11118421279311252551>>v=[1;2;3;5];>>vander(v)vander(V)：生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。invhilb(n)：其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。A=hilb(N),其中(3)希爾伯特矩陣hilb(n)：生成n階希爾伯特矩陣?yán)?.4求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。formatrat%以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4)H=11/21/31/41/21/31/41/51/31/41/51/61/41/51/61/7

H=16-120240-140-1201200-27001680240-27006480-4200-1401680-42002800

(4)托普利茲矩陣

托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x,y均為向量，兩者不必等長(zhǎng)。toeplitz(x)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的托普利茲矩陣。例如

T=toeplitz(1:6)compan(p)：生成以p為系數(shù)的多項(xiàng)式的伴隨矩陣?yán)?，為了求多?xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣p=[1,0,-7,6];compan(p)

(5)伴隨矩陣稱為多項(xiàng)式p的伴隨矩陣

(6)帕斯卡矩陣二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱為帕斯卡(Pascal)矩陣。pascal(n)：生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例3.5求(x+y)5的展開式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)ans=111111123456136101521141020355615153570126162156126252

矩陣次對(duì)角線上的元素1,5,10,10,5,1即為展開式的系數(shù)。3.2矩陣結(jié)構(gòu)調(diào)整變換3.2.1對(duì)角陣與三角陣1．對(duì)角陣只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣;對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣;對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。

(1)提取矩陣的對(duì)角線元素設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>diag(A)ans=159diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]>>diag(A,-1)A=123456789ans=48(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+|k|)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。(2)構(gòu)造對(duì)角矩陣設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+|k|)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。>>v=[1,2,3];>>A=diag(v)A=100020003>>B=diag(v,1)B=0100002000030000例3.6先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。A=[17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;...

11,18,25,2,19];D=diag(1:5);D*A%用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)2．三角陣三角陣:上三角陣和下三角陣上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣.下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。(1)上三角矩陣triu(A):求矩陣A的上三角陣>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]>>triu(A)ans=123056009triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線以上的元素，形成新的矩陣B。A=123456789>>triu(A,2)ans=003000000(2)下三角矩陣tril(A):提取矩陣A的下三角矩陣tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A,k)完全相同。3.2.2矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1．矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(’)。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789>>A'ans=1472583692．矩陣的旋轉(zhuǎn)利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o的k倍當(dāng)k為1時(shí)可省略。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789>>rot90(A)ans=369258147>>rot90(A,2)ans=987654321

3．矩陣的左右翻轉(zhuǎn)對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789>>fliplr(A)ans=3216549874．矩陣的上下翻轉(zhuǎn)MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]A=123456789>>flipud(A)ans=7894561233.3矩陣求逆與線性方程組求解3.3.1矩陣的逆與偽逆對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：A·B=B·A=I(I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例3.7求方陣A的逆矩陣，且驗(yàn)證A與A-1是互逆的。A=[1,-1,1;5,-4,3;2,1,1];B=inv(A);A*BB*Aans=1.00000.00000.0000-0.00001.00000.0000-0.00000.00001.0000ans=1.00000.0000-0.0000-0.00001.00000.00000.0000-0.00001.0000如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿秩的方陣時(shí)，矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A‘同型的矩陣B，使得：A·B·A=AB·A·B=B此時(shí)稱矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。>>A=[3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1];>>B=pinv(A)B=0.3929-0.1071-0.1071-0.10710.3929-0.1071-0.1071-0.10710.39290.03570.03570.0357>>A=[0,0,0;0,1,1;0,0,1];>>B=pinv(A)B=00001.0000-1.00000-0.00001.00003.3.2用矩陣求逆方法求解線性方程組在線性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1，有A-1Ax=A-1b由于A-1A=I，故得x=A-1b例3.8用求逆矩陣的方法解線性方程組。命令如下：A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=inv(A)*bx=23.0000-14.50003.6667可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“＼”求解線性代數(shù)方程組。A=[1,2,3;1,4,9;1,8,27];b=[5,-2,6]';x=A\bx=23.0000-14.50003.6667還可以用x=A^-1*b3.4矩陣求值3.4.1方陣的行列式把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>det(A)ans=03.4.2矩陣的秩與跡1．矩陣的秩矩陣線性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>rank(A)ans=22．矩陣的跡矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。>>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9];>>trace(A)ans=153.4.3向量和矩陣的范數(shù)

矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。矩陣(向量)的范數(shù)運(yùn)算向量的1-范數(shù):‖x‖1=|x1|+|x2|+…+|xn|

記向量x=(x1,x2,…,xn)T,常用的向量范數(shù)有:

向量的2-范數(shù):‖x‖2=

向量的

-范數(shù):‖x‖

=

矩陣的1-范數(shù):‖A‖1

矩陣的2-范數(shù):‖A‖2

矩陣的

-范數(shù):‖A‖

矩陣的F-范數(shù):‖A‖F(xiàn)

norm(X,P)——計(jì)算矩陣(向量)X的P-范數(shù)P=1——1-范數(shù)P=2——2-范數(shù)P=inf——∞-范數(shù)P=‘fro’——F范數(shù)當(dāng)n缺省時(shí)，默認(rèn)為2norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2—范數(shù)。

norm(V,1)：計(jì)算向量V的1—范數(shù)。

norm(V,inf)：計(jì)算向量V的∞—范數(shù)。>>x=[2,-4,3,1];>>norm(x,1)ans=10>>norm(x,2)ans=5.4772>>norm(x,inf)ans=4>>norm(x)ans=5.4772>>A=[1,-1;2,3];A=1-123>>norm(A)ans=3.6180>>norm(A,2)ans=3.6180>>norm(A,1)ans=4>>norm(A,inf)ans=5>>norm(A,'fro')ans=3.87303.4.4矩陣的條件數(shù)cond(X,P)——計(jì)算矩陣(向量)X的P-范數(shù)的條件數(shù)Cond(A)=‖A‖p‖A-1‖pp=1，2，。P=1——1-范數(shù)P=2——2-范數(shù)P=inf——∞-范數(shù)P=‘fro’——F范數(shù)當(dāng)n缺省時(shí)，默認(rèn)為2在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：cond(A,1)計(jì)算A的1—范數(shù)下的條件數(shù)。cond(A)或cond(A,2)計(jì)算A的2—范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。cond(A,inf)計(jì)算A的∞—范數(shù)下的條件數(shù)。>>M=magic(3);>>cond(M)ans=4.3301>>cond(M,2)ans=4.3301>>cond(M,1)ans=5.3333>>cond(M,inf)ans=5.3333>>cond(M,'fro')ans=5.56363.5矩陣的特征值與特征向量在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。>>A=[1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2];>>eig(A)ans=-0.01661.48012.5365(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。>>A=[1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2];>>[V,D]=eig(A)V=0.72120.44430.5315-0.68630.56210.4615-0.0937-0.69760.7103D=-0.01660001.48010002.5365(3)[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：與第2種格式類似，但第2種格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。第2種格式是按照高等代數(shù)的相似變換求得第3中格式是按某種數(shù)值計(jì)算方法近似求得例3.9用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0p=[3,-7,0,5,2,-18];A=compan(p);%A的伴隨矩陣x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)x1=2.18371.0000+1.0000i1.0000-1.0000i-0.9252+0.7197i-0.9252-0.7197ix2=2.18371.0000+1.0000i1.0000-1.0000i-0.9252+