2024屆山西省太原市山西大學(xué)附中高三第六次診斷考試數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

2024屆山西省太原市山西大學(xué)附中高三第六次診斷考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R3.公元263年左右,我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形面積可無限逼近圓的面積,并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”,利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值,這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個(gè)程序框圖,則輸出的值為()(參考數(shù)據(jù):)A.48 B.36 C.24 D.124.已知雙曲線:的焦點(diǎn)為,,且上點(diǎn)滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.55.集合中含有的元素個(gè)數(shù)為()A.4 B.6 C.8 D.126.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.7.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過D.截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過8.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()A. B.C. D.9.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.10.設(shè)復(fù)數(shù),則=()A.1 B. C. D.11.設(shè)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則()A. B. C.1 D.12.已知,若對(duì)任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))至少有2個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量滿足,且,則_________.14.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_________.15.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為__________.16.在棱長為6的正方體中,是的中點(diǎn),點(diǎn)是面,所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,則三棱錐的體積的最大值是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線:(為參數(shù)),曲線(為參數(shù)).(1)設(shè)與相交于,兩點(diǎn),求;(2)若把曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的倍,縱坐標(biāo)壓縮為原來的倍,得到曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求它到直線距離的最小值.18.(12分)已知都是各項(xiàng)不為零的數(shù)列,且滿足其中是數(shù)列的前項(xiàng)和,是公差為的等差數(shù)列.(1)若數(shù)列是常數(shù)列,,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若是不為零的常數(shù)),求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(3)若(為常數(shù),),.求證:對(duì)任意的恒成立.19.(12分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯(cuò)誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當(dāng)時(shí),記,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng),時(shí),求且的概率.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線:(為參數(shù),),曲線:(為參數(shù)).若曲線和相切.(1)在以為極點(diǎn),軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,求曲線的普通方程;(2)若點(diǎn),為曲線上兩動(dòng)點(diǎn),且滿足,求面積的最大值.21.(12分)已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且為與的等差中項(xiàng).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項(xiàng)和.22.(10分)已知橢圓:(),四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為.是橢圓上異于的動(dòng)點(diǎn),求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

求出導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可確定參數(shù)范圍.【詳解】,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,∴在上只有一個(gè)極大值也是最大值,顯然時(shí),,時(shí),,因此要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn),考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根據(jù)零點(diǎn)存在定理確定參數(shù)范圍.2、D【解析】試題分析:由題,,,選D考點(diǎn):集合的運(yùn)算3、C【解析】

由開始,按照框圖,依次求出s,進(jìn)行判斷?!驹斀狻?,故選C.【點(diǎn)睛】框圖問題,依據(jù)框圖結(jié)構(gòu),依次準(zhǔn)確求出數(shù)值,進(jìn)行判斷,是解題關(guān)鍵。4、D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運(yùn)算能力.5、B【解析】解:因?yàn)榧现械脑乇硎镜氖潜?2整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B6、D【解析】

如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.7、D【解析】

先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢,B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來中國新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.8、C【解析】

,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.9、B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題10、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,代入化簡即可求解.【詳解】復(fù)數(shù),則故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與化簡求值,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由降冪公式,兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.【詳解】,時(shí),,,∴,由題意,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式,考查兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)性質(zhì),掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.12、B【解析】

構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由數(shù)量積的運(yùn)算律求得,再由數(shù)量積的定義可得結(jié)論.【詳解】由題意,∴,即,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的夾角,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題關(guān)鍵.14、【解析】

由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問題,內(nèi)切球問題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.15、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算16、【解析】

根據(jù)與相似,,過作于,利用體積公式求解OP最值,根據(jù)勾股定理得出,,利用函數(shù)單調(diào)性判斷求解即可.【詳解】∵在棱長為6的正方體中,是的中點(diǎn),點(diǎn)是面所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且滿足,又,∴與相似∴,即,過作于,設(shè),,∴,化簡得:,,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷,時(shí),取得最大值36,,在正方體中平面.三棱錐體積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似,幾何體體積以及函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,難度一般.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】

(1)將直線和曲線化為普通方程,聯(lián)立直線和曲線,可得交點(diǎn)坐標(biāo),可得的值;(2)可得曲線的參數(shù)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解:(1)直線的普通方程為,的普通方程.聯(lián)立方程組,解得與的交點(diǎn)為,,則.(2)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),故點(diǎn)的坐標(biāo)為,從而點(diǎn)到直線的距離是,由此當(dāng)時(shí),取得最小值,且最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等,屬于中檔題.18、(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.【解析】

(1)根據(jù),可求得,再根據(jù)是常數(shù)列代入根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.(2)取,并結(jié)合通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可求得再根據(jù)化簡可得,代入化簡即可知,再證明也成立即可.(3)由(2)當(dāng)時(shí),,代入所給的條件化簡可得,進(jìn)而證明可得,即數(shù)列是等比數(shù)列.繼而求得,再根據(jù)作商法證明即可.【詳解】解:.是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列,則,則由,及得,當(dāng)時(shí),,兩式作差,可得.當(dāng)時(shí),滿足上式,則;證明:,當(dāng)時(shí),,兩式相減得:即.即.又,,即.當(dāng)時(shí),,兩式相減得:.?dāng)?shù)列從第二項(xiàng)起是公差為的等差數(shù)列.又當(dāng)時(shí),由得,當(dāng)時(shí),由,得.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列;證明:由,當(dāng)時(shí),,即,,,即,即,當(dāng)時(shí),即.故從第二項(xiàng)起數(shù)列是等比數(shù)列,當(dāng)時(shí),..另外,由已知條件可得,又,,因而.令,則.故對(duì)任意的恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差等比數(shù)列的綜合運(yùn)用,需要熟練運(yùn)用通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系分析數(shù)列的遞推公式繼而求解通項(xiàng)公式或證明等差數(shù)列等.同時(shí)也考查了數(shù)列中的不等式證明等,需要根據(jù)題意分析數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項(xiàng),再利用作商法證明.屬于難題.19、(1)見解析,0(2)【解析】

(1)即該選手答完3道題后總得分,可能出現(xiàn)的情況為3道題都答對(duì),答對(duì)2道答錯(cuò)1道,答對(duì)1道答錯(cuò)2道,3道題都答錯(cuò),進(jìn)而求解即可;(2)當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又,則第一題答對(duì),第二題第三題至少有一道答對(duì),進(jìn)而求解.【詳解】解:(1)的取值可能為,,1,3,又因?yàn)?故,,,,所以的分布列為:13所以(2)當(dāng)時(shí),即答完8題后,正確的題數(shù)為5題,錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又已知,第一題答對(duì),若第二題回答正確,則其余6題可任意答對(duì)3題;若第二題回答錯(cuò)誤,第三題回答正確,則后5題可任意答對(duì)題,此時(shí)的概率為(或).【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的分布列及期望,考查數(shù)據(jù)處理能力,考查分類討論思想.20、(1);(2)【解析】

(1)消去參數(shù),將圓的參數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為普通方程,再由圓心到直線的距離等于半徑,可求得圓的普通方程,最后利用求得圓的極坐標(biāo)方程.(2)利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式,由此求得的面積的表達(dá)式,再由三角函數(shù)最值的求法,求得三角形面積的最大值.【詳解】(1)由題意得:,:因?yàn)榍€和相切,所以,即:;(2)設(shè),所以所以當(dāng)時(shí),面積最大值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,考查直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值,屬于中檔題.21、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),再利用進(jìn)行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再化簡出,可直接求出的前100項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時(shí),由①式可得;又時(shí),有,代入①式得,整理得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項(xiàng)都為

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