高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題03利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題(含參討論問題)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題03利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參討論問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 2題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 3題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 4三、專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍一、含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：1、導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出②觀察的單調(diào)性，③根據(jù)①②畫出草圖2、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖3、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內(nèi)：對稱軸+端點(diǎn)正負(fù)⑤畫出草圖二、含參問題討論單調(diào)性的原則1、最高項(xiàng)系數(shù)含參，從0開始討論2、兩根大小不確定，從兩根相等開始討論3、考慮根是否在定義域內(nèi)二、典型題型題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.3．（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；(2)求的單調(diào)區(qū)間．4．（2022上·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論的單調(diào)性．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；2．（2023上·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在處取得極值，求的值；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.4．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．5．（2023上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性.6．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；7．（2023上·河南·高三西平縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；8．（2023上·福建福州·高三福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性專題03利用導(dǎo)函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性問題（含參討論問題）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型） 2題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型 4題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型 7三、專項(xiàng)訓(xùn)練 10一、必備秘籍一、含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進(jìn)行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負(fù).第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：1、導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出②觀察的單調(diào)性，③根據(jù)①②畫出草圖2、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型借助導(dǎo)函數(shù)有效部分的圖象輔助解題：①對因式分解，令，確定其零點(diǎn)，并在軸上標(biāo)出這兩個(gè)零點(diǎn)②觀察的開口方向，③根據(jù)①②畫出草圖3、導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且不可因式分解型①對，求②分類討論③對于，利用求根公式求的兩根，④判斷兩根，是否在定義域內(nèi)：對稱軸+端點(diǎn)正負(fù)⑤畫出草圖二、含參問題討論單調(diào)性的原則1、最高項(xiàng)系數(shù)含參，從0開始討論2、兩根大小不確定，從兩根相等開始討論3、考慮根是否在定義域內(nèi)二、典型題型題型一：導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型（或可化為一次型）1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析.【詳解】由函數(shù)，可得，設(shè)，可得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.【答案】答案見解析；【詳解】由題可知的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.3．（2023上·四川成都·高三成都外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求的最值；(2)求的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)，無最大值．(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)定義域?yàn)?，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值即最小值，即，無最大值．（2）定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞堿；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．4．（2022上·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由于切點(diǎn)在切線上，所以，函數(shù)通過點(diǎn)又，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，；（2）由可知當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.題型二：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型（或可化為二次型）且可因式分解型1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】答案見解析【詳解】的定義域?yàn)?，，若，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】由題設(shè)且，當(dāng)時(shí)在上遞減；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)在區(qū)間上遞減；當(dāng)時(shí)在上遞增．所以當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）討論的單調(diào)性．【答案】答案見解析【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋海?）當(dāng)時(shí)，，若，則；若，則；∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增；（5）當(dāng)時(shí)，，若或，則；若，則，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上所述：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（4）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（5）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)答案見解析(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)?，?/p>

①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所?所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，由，解得；由0，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.③當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)）恒成立，所以在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由，解得；由，解得或.所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.5．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，設(shè)，則，設(shè)，可得，可得在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，若，則，所以，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．題型三：導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)見解析；【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以定義域?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，，所以方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，.①當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；2．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱三中?？计谀┮阎瘮?shù)，其中.(1)令，討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）,定義域?yàn)?,方程的判別式，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，，∵，∴，∵，∴，∴當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.3．（2023上·安徽淮南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1).(2)詳解見解析.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則，所以切線的斜率為，又，所以該切線方程為：，即；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，則.當(dāng)或即時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，令或，令，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.3．（2023上·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，一元二次方程的判別式為，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)正根，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，分別為，當(dāng)，或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中a是正數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以．①?dāng)時(shí)，，在上嚴(yán)格遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；2．（2023上·河北張家口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)若在處取得極值，求的值；(2)討論的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意可知.由已知得，解得，此時(shí).易知在區(qū)間上，；在區(qū)間上，即函數(shù)在處取得極小值，因此.（2）由可知，所以可得.①若，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②若，即，則在上單調(diào)遞減；.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是3．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.4．（2023上·江蘇揚(yáng)州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，其中．(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；(2)若，討論函數(shù)的單調(diào)性．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1），因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，則或.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點(diǎn).故．（2），，當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞減，在上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)