高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍一、定點(diǎn)問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算三、定直線問題定直線問題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點(diǎn)問題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形的面積為．(1)求橢圓C的方程：(2)過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)．2．（2024上·湖北·高二湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，試問在軸上是否存在一定點(diǎn).使直線恒過此定點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2024上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)與雙曲線右支交于兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型二：定值問題1．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若軌跡的左右頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軌跡交于相異的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，分別記直線與的斜率為，，求證：是定值.2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┮阎p曲線：（，）的一條漸近線與雙曲線：的一條漸近線垂直，且的一個(gè)焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為2．(1)求的方程；(2)若上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值．3．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的到焦點(diǎn)的距離為4，直線經(jīng)過與拋物線相交于兩點(diǎn)，是直線與軸的交點(diǎn)，直線分別交軸于兩點(diǎn)．(1)求拋物線方程；(2)求證：為定值．題型三：定直線問題1．（2023上·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中校考期中）已知圓F：，點(diǎn)，點(diǎn)G是圓F上任意一點(diǎn)，線段EG的垂直平分線交直線FG于點(diǎn)T，點(diǎn)T的軌跡記為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C上一點(diǎn)，動(dòng)圓N：，且點(diǎn)M在圓N外，過點(diǎn)M作圓N的兩條切線分別交曲線C于點(diǎn)A，B①求證：直線AB的斜率為定值；②若直線AB與交于點(diǎn)Q，且時(shí)，求直線AB的方程．2．（2024上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Γ.(1)求Γ的方程，(2)動(dòng)直線與Γ相交于不同的兩點(diǎn)C，D，若直線與直線相交于點(diǎn)M，判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由.3．（2024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，.(1)求拋物線的方程.(2)記拋物線在兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值．2．（2024上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.(1)求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)已知，設(shè)x軸上一定點(diǎn)，過T的直線交軌跡C于兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.5．（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且的最小值為2．(1)求的方程；(2)過且與垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的中點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．6．（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于兩點(diǎn)（第一象限），過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，直線與直線、分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，證明：直線過定點(diǎn)．7．（2024上·湖北·高二校聯(lián)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)若，求過點(diǎn)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程；(2)設(shè)過動(dòng)點(diǎn)的兩條直線均與相切，且的斜率分別為，滿足．證明：動(dòng)點(diǎn)在一條定直線上．8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，的一條漸近線的傾斜角為，直線與軸的交點(diǎn)為，且.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交軸于點(diǎn)，求證：為定值.專題04圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍一、定點(diǎn)問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點(diǎn)的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就是對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于，的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．2.常用方法：一是引進(jìn)參數(shù)法，引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn)；二是特殊到一般法，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).二、定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達(dá)式的值等和題目中的參數(shù)無(wú)關(guān)，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個(gè)確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個(gè)（或兩個(gè)）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進(jìn)行表示（2）將所求表達(dá)式用核心變量進(jìn)行表示（有的甚至就是核心變量），然后進(jìn)行化簡(jiǎn)，看能否得到一個(gè)常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對(duì)于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進(jìn)而給后面一般情況的處理提供一個(gè)方向.（2）在運(yùn)算過程中，盡量減少所求表達(dá)式中變量的個(gè)數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點(diǎn)的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡(jiǎn)化運(yùn)算三、定直線問題定直線問題是證明動(dòng)點(diǎn)在定直線上，其實(shí)質(zhì)是求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．二、典型題型題型一：定點(diǎn)問題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形的面積為．(1)求橢圓C的方程：(2)過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知條件，求得，即可求得橢圓方程；（2）先證明過橢圓上一點(diǎn)的切線方程的形式，再求得過點(diǎn)的切線方程，從而得到直線的方程，即可證明其恒過的頂點(diǎn).【詳解】（1）根據(jù)題意可得：，又，解得，故橢圓方程為：.（2）下證過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：.當(dāng)且，，求導(dǎo)得：；同理可得，當(dāng)且時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，過點(diǎn)的切線的斜率為，故切線方程為：，即，又，故切線方程為：，即證.設(shè)坐標(biāo)為，故可得過點(diǎn)切線方程為：，又其過點(diǎn)，則；同理可得，故直線方程為，其恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決第二問的關(guān)鍵是證明過橢圓上一點(diǎn)作橢圓的切線，其切線方程為：，本題利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得斜率，是解決問題的關(guān)鍵.2．（2024上·湖北·高二湖北省武漢市漢鐵高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知拋物線，點(diǎn)為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，.(1)求拋物線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，且以線段為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，試問在軸上是否存在一定點(diǎn).使直線恒過此定點(diǎn).若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)直線恒過此定點(diǎn).【分析】（1）設(shè)出直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，再利用根與系數(shù)關(guān)系及拋物線中焦半徑公式從而得，從而可求解.（2）設(shè)出的方程及，然后與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系求得，由以線段為直徑的圓過點(diǎn)，可得，且設(shè)出，由幾何關(guān)系可求出，從而求出直線方程為，從而可求解.【詳解】（1）焦點(diǎn)，則直線為，聯(lián)立，消去消可得，恒成立，設(shè)，則，，解得所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線為，聯(lián)立方程，消可得，顯然：設(shè)，則，不妨設(shè)點(diǎn)，以線段為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為，則，又軸，所以平行軸，則.設(shè)，所以，即所以，即，所以直線為：，令，解得，所以直線恒過此定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．（2024上·山東泰安·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線的左焦點(diǎn)，一條漸近線方程為，過做直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)與雙曲線右支交于兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)判斷直線是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)過定點(diǎn)【分析】（1）由雙曲線幾何性質(zhì)求方程；（2）分斜率存在于不存在分別研究，直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，設(shè)，則直線的方程為，與雙曲線求交點(diǎn)得，同理，從而求出直線的方程，可證.【詳解】（1）由題意可知：解得雙曲線的方程為（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為由整理得與左支交于兩點(diǎn)，解得設(shè)，則直線的方程為代入整理得設(shè)，則，，，同理直線的斜率直線的方程為，即直線過定點(diǎn)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，則，直線的方程為由，解得同理此時(shí)直線過點(diǎn)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.題型二：定值問題1．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)若軌跡的左右頂點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，直線與軌跡交于相異的兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，分別記直線與的斜率為，，求證：是定值.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根據(jù)橢圓的定義求解；（2）設(shè)點(diǎn)，求出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求出坐標(biāo)，則可以表示出的斜率，計(jì)算即可得定值.【詳解】（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，所以，所以點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)，則，，聯(lián)立，消去得，，得，所以，，即，聯(lián)立，消去得，，得，所以，，即，所以，，所以，是定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)過圓錐曲線上一點(diǎn)作一條直線與圓錐曲線相交時(shí)，可以聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理快速求出另一交點(diǎn)坐標(biāo)，有了交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算起來(lái)會(huì)更加方便快捷，不需要韋達(dá)定理來(lái)解題.2．（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）已知雙曲線：（，）的一條漸近線與雙曲線：的一條漸近線垂直，且的一個(gè)焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為2．(1)求的方程；(2)若上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，過分別作的兩條漸近線的平行線，與分別交于求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意，利用漸近線之間的關(guān)系找到，再利用點(diǎn)F到雙曲線的一條漸近線的距離，求出即可;（2）分別將直線的方程，直線的方程與聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式表示出，化簡(jiǎn)即可證明為定值.【詳解】（1）由雙曲線：可得其中一條漸近線的方程為，因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與雙曲線的一條漸近線垂直，所以雙曲線的一條漸近線的方程為，所以，即，所以，所以的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)F到雙曲線的一條漸近線的距離為，所以，故的方程為．（2）設(shè)，則，即，，由題意上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，得，設(shè)，，由題意直線與的漸近線的平行，故的斜率為，則直線的方程為，與，聯(lián)立得，直線的方程為，與,聯(lián)立得，所以，故為定值．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)過圓錐曲線上一點(diǎn)或平面上的一點(diǎn)作一條直線與圓錐曲線相交時(shí)，可以聯(lián)立方程,當(dāng)該點(diǎn)特殊時(shí)，利用韋達(dá)定理快速求出另一交點(diǎn)坐標(biāo)，有了交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算起來(lái)會(huì)更加方便快捷，不需要韋達(dá)定理來(lái)解題.3．（2024上·浙江舟山·高二統(tǒng)考期末）拋物線上的到焦點(diǎn)的距離為4，直線經(jīng)過與拋物線相交于兩點(diǎn)，是直線與軸的交點(diǎn)，直線分別交軸于兩點(diǎn)．(1)求拋物線方程；(2)求證：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由焦半徑公式和點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組求得得拋物線方程；（2）設(shè)直線方程為：，直線方程代入拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理得，求出面積，由直線方程求得點(diǎn)坐標(biāo)得面積，計(jì)算兩面積的乘積并代入韋達(dá)定理的結(jié)論化簡(jiǎn)即得．【詳解】（1）由題可得或(舍去)，所以；（2）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，則，所以，直線，可得，同理，所以，所以．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：拋物線中定值問題，一般設(shè)交點(diǎn)為坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），再利用交點(diǎn)坐標(biāo)求得需要確定定值的量，代入（或）化簡(jiǎn)后即可得．題型三：定直線問題1．（2023上·山東濟(jì)南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┮阎獔AF：，點(diǎn)，點(diǎn)G是圓F上任意一點(diǎn)，線段EG的垂直平分線交直線FG于點(diǎn)T，點(diǎn)T的軌跡記為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知曲線C上一點(diǎn)，動(dòng)圓N：，且點(diǎn)M在圓N外，過點(diǎn)M作圓N的兩條切線分別交曲線C于點(diǎn)A，B①求證：直線AB的斜率為定值；②若直線AB與交于點(diǎn)Q，且時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②或.【分析】（1）由垂直平分線的性質(zhì)，探討點(diǎn)T具有的幾何特征，再結(jié)合圓錐曲線的定義求解即得；（2）①設(shè)出直線的方程，與曲線C的方程聯(lián)立，結(jié)合圓的切線性質(zhì)，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式推理即得；②利用①的信息，利用給定的面積關(guān)系求出點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系，即可計(jì)算得解.【詳解】（1）圓F：的圓心，半徑，如下左圖，，如上右圖，，因此，點(diǎn)T的軌跡是以點(diǎn)E、F為焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，其中焦距，虛半軸長(zhǎng)，所以點(diǎn)T的軌跡方程為.（2）①設(shè)點(diǎn)，，直線AB的方程為，由消去y得，其中，且，，，由點(diǎn)在曲線C上，得，顯然直線MA和直線MB關(guān)于對(duì)稱，直線MA和直線MB的斜率滿足，即，整理得，即，整理得，即，于是，即，則或，當(dāng)，直線方程為，此直線過定點(diǎn)，不符合題意，所以直線AB的斜率為定值.②由①知，，顯然，即，當(dāng)時(shí)，，，即，，，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，，，解得（舍去）或，當(dāng)時(shí)，直線方程為，所以直線AB的方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）引出變量法，解題步驟為先選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞?，再把要證明為定值的量用上述變量表示，最后把得到的式子化簡(jiǎn)，得到定值；（2）特例法，從特殊情況入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．2．（2024上·福建福州·高二校聯(lián)考期末）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線，相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積為，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為Γ.(1)求Γ的方程，(2)動(dòng)直線與Γ相交于不同的兩點(diǎn)C，D，若直線與直線相交于點(diǎn)M，判斷點(diǎn)M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線方程；若不是，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)點(diǎn)在定直線上【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線、的斜率計(jì)算即可得其軌跡；（2）聯(lián)立直線方程與曲線方程，借助韋達(dá)定理得到，再計(jì)算即可得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，同理直線的斜率，由已知，有，化簡(jiǎn)，得Γ的方程為；（2）點(diǎn)M位于定直線上，理由如下：

設(shè)，，由，得，所以，，，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，直線方程為，直線方程為，由，得，又，代入得，由，得，即，所以，所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于聯(lián)立直線方程與曲線方程，得到與兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理得到，從而解決非對(duì)稱問題.3．（2024上·河北邯鄲·高二統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，.(1)求拋物線的方程.(2)記拋物線在兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為，是否存在直線使與的面積相等？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由為的中點(diǎn)，分別表示出，，的坐標(biāo)，再利用拋物線的定義表示出即可求出的值，從而得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線，將直線與拋物線的方程聯(lián)立方程，由韋達(dá)定理得到，再分別設(shè)出過和兩點(diǎn)的切線方程，分別與拋物線聯(lián)立方程，利用，化簡(jiǎn)得到：，，再聯(lián)立兩條切線方程，化簡(jiǎn)可得軸，分別表示出與的面積，利用面積相等，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，則，所以，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線，將直線與拋物線的方程聯(lián)立消得，則.設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立消得，則，得.設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可得.聯(lián)立，消得，所以軸.故，，假設(shè)存在直線使與的面積相等，則，得.又，解得或，此時(shí)重合，與題意矛盾，故不存在直線使與的面積相等.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·江西鷹潭·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線、與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線過定點(diǎn)，并求面積的最大值．【答案】(1)(2)證明見解析，面積的最大值為【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出橢圓的方程；（2）分析可知，直線不與軸垂直，設(shè)直線的直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由已知可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可求得面積的最大值.【詳解】（1）解：由已知可得：，解得：，，所以，橢圓的方程為．（2）解：易知點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，則，若直線軸，則，，所以，，不合乎題意，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立，整理得，，由韋達(dá)定理可得，．因?yàn)?，且，，所以，，，，，整理得，解得或（舍去），所以，直線的方程為，，則．令，則，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，函數(shù)在上為增函數(shù)，則．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最大值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來(lái)證明.2．（2024上·四川成都·高二校聯(lián)考期末）已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.(1)求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)已知，設(shè)x軸上一定點(diǎn)，過T的直線交軌跡C于兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后計(jì)算，代入化簡(jiǎn)可得．【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，，設(shè)是以為準(zhǔn)線的拋物線的焦點(diǎn)，則，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，，則，因此，所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，，，，代入，，得為常數(shù)．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓中定值問題，解題方法是設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），利用交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出要證明常數(shù)的量，然后代入韋達(dá)定理的結(jié)果化簡(jiǎn)變形即可得．3．（2024上·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)（異于），記直線和直線的斜率分別為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的值；(3)設(shè)直線和直線的交點(diǎn)為，求證：在一條定直線上.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）將點(diǎn)代入方程計(jì)算即可得；（2）分直線的斜率存在與不存在進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合題意得到、的表示形式，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算即可得；（3）結(jié)合題意設(shè)出直線、方程，結(jié)合第二問得到的值，得到交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系或通過聯(lián)立聯(lián)立直線方程計(jì)算交點(diǎn)縱坐標(biāo)即可得.【詳解】（1）由題意知，所以，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線的方程為，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，①若，則；②若，則，所以，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由，得，所以，所以，所以，綜上，；（3）直線的方程為，直線的方程為，設(shè)交點(diǎn)，法一：，即，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在定直線上.法二：由（2）得，由，得，即點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問關(guān)鍵在當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，需聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，借助韋達(dá)定理得到交點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，從而計(jì)算的值.4．（2024上·云南·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線實(shí)軸端點(diǎn)分別為、，右焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于另一點(diǎn)，已知的面積為．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請(qǐng)求出該定直線方程；若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)在，且定直線方程為【分析】（1）分析可知，可得出，利用三角形的面積公式可求出的值，進(jìn)而可得出、的值，由此可得出雙曲線的方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，將直線、的方程聯(lián)立，求出這兩條直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)殡p曲線的離心率為，可得，則，則，可得，則，，因此，雙曲線的方程為.（2）證明：若直線與軸重合，則點(diǎn)、為雙曲線實(shí)軸的端點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，則，可得，由韋達(dá)定理可得，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，解得.因此，點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．5．（2024上·河北·高三校聯(lián)考期末）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且的最小值為2．(1)求的方程；(2)過且與垂直的直線交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的中點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，是否存在定點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值【分析】（1）設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線方程，求出，得到，求出答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，，得到直線的方程，得到直線過定點(diǎn)，在以為直徑的圓上，所以存在定點(diǎn)，使得為定值．【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去；設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立可得，設(shè)，則，所以，所以，所以的方程為．（2）由（1）可知，，所以，同理可得，所以直線斜率為，所以直線，即，所以直線過定點(diǎn)，因?yàn)椤?，所以在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)，則為定值，所