高考數學復習解答題提高第一輪專題復習專題05概率與數列、導數交匯問題(典型題型歸類訓練)(學生版+解析)

專題05概率與數列、導數交匯問題(典型題型歸類訓練)題型一：概率與數列1．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預測）遺傳學在培育作物新品種中有著重要的應用．已知某種農作物植株有，，三種基因型，根據遺傳學定律可知，個體自交產生的子代全部為個體，個體自交產生的子代全部為個體，個體自交產生的子代中，，，，個體均有，且其數量比為．假設每個植株自交產生的子代數量相等，且所有個體均能正常存活．(1)現取個數比為的，，植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個體自交得到的概率；(2)已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農科院研究人員為了獲得更多的植株用于農業(yè)生產，將通過誘變育種獲得的Aa植株進行第一次自交，根據植株表現型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二次自交后代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……此類推，不斷地重復此操作，從第次自交產生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數列為等比數列；②求，并根據的值解釋該育種方案的可行性．2．（2024上·山東威海·高三統(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率.(1)求，；(2)證明：是等比數列，并求；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數為，求．3．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數據可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．(1)求第3回合由甲發(fā)球的概率；(2)①設第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數列；②已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行n個回合比賽后，甲的總得分的期望．4．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）現有標號依次為1，2，…，n的n個盒子，標號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．(1)當時，求2號盒子里有2個紅球的概率；(2)當時，求3號盒子里的紅球的個數的分布列；(3)記n號盒子中紅球的個數為，求的期望．題型二：概率與導數1．（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某企業(yè)對500個產品逐一進行檢驗，檢驗“合格”方能出廠．產品檢驗需要進行三項工序A、B、C，三項檢驗全部通過則被確定為“合格”，若其中至少2項檢驗不通過的產品確定為“不合格”，有且只有1項檢驗不通過的產品將其進行改良后再檢驗A、B兩項工序，如果這兩項全部通過則被確定為“合格”，否則確定為“不合格”．每個產品檢驗A、B、C三項工序工作相互獨立，每一項檢驗不通過的概率均為p（）．(1)記某產品被確定為“不合格”的概率為，求的值；(2)若不需要重新檢驗的每個產品的檢驗費用為120元，需要重新檢驗的每個產品兩次檢驗費用為200元．除檢驗費用外，其他費用為2萬元，且這500個產品全部檢驗，該企業(yè)預算檢驗總費用（包含檢驗費用與其他費用）為10萬元．試預測該企業(yè)檢驗總費用是否會超過預算？并說明理由．2．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機會獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲為一輪，一輪游戲結束后，計算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的概率（用含的代數式表示）；(2)當某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間內的概率取得最大值時，求一輪游戲累計積分的數學期望．3．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）有一位老師叫他的學生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，他的學生兩手空空走出麥田，因為他不知前面是否有更好的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設該學生在麥田中一共會遇到顆麥穗（假設顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現在各個位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開始，只要發(fā)現比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設，該學生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（取）(1)若，，求；(2)若取無窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值.三、專項訓練1．（2023上·廣西柳州·高三柳州高級中學?？茧A段練習）假設市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無關.若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為，陰天的概率為；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為，陰天的概率為；若前一天為陰天，則第二天晴天的概率為，下雨的概率為；已知市4月第1天的天氣情況為下雨.(1)求市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；(2)記為市四月第天的天氣情況為晴天的概率，（i）求出的通項公式；（ii）市某花卉種植基地計劃在四月根據天氣情況種植向日葵，為了更好地促進向日葵種子的發(fā)芽和生長，要求提前3天對種子進行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問，根據上述計算結果，請你對該基地的種植計劃提出建議.2．（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發(fā)現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；(2)若，（），求此時的信息熵.3．（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設第位員工獲得獎金為元.(1)求的概率；(2)求的數學期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數學期望最大.4．（2023上·重慶·高三西南大學附中?？计谥校┩趵蠋熋刻煸缟?：00準時從家里出發(fā)去學校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數據表明，他到達學校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當天乘地鐵去學校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）(1)某天早上王老師通過拋一枚質地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校，否則當天他將乘坐汽車去學校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學校前坐地鐵的次數為，求；(3)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學校且到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校；若他前一天坐地鐵去學校且到校時間晚于7：40，則當天他會乘坐汽車去學校；若他前一天乘坐汽車去學校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，當天他都會乘坐地鐵去學校.記為王老師第天坐地鐵去學校的概率，求的通項公式.5．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數據顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經理指數（PMI）為，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快．以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療設備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現了中國制造目前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據長期檢測結果，得到生產的產品的質量差服從正態(tài)分布，并把質量差在內的產品稱為優(yōu)等品，質量差在內的產品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品處理．現從該企業(yè)生產的正品中隨機抽取1000件，測得產品質量差的樣本數據統(tǒng)計如下：(1)根據大量的產品檢測數據，檢查樣本數據的標準差s近似值為10，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，記質量差服從正態(tài)分布，求該企業(yè)生產的產品為正品的概率；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布,則，，．(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和（，且）件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為，否則該箱產品記為．①試用含的代數式表示某箱產品抽檢被記為的概率；②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值．8．（2024上·廣東廣州·高三華南師大附中?？奸_學考試）記數列的前項和為，且滿足(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，證明對任意，；(3)某鐵道線上共有列列車運行，且每次乘坐到任意一列列車的概率相等，設隨機變量為恰好乘坐一次全部列車所乘坐的次數，試估算的值（結果保留整數）.參考數據：，，9．（2023下·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數.現用隨機變量表示第組被感染的白鼠數，并將隨機變量的觀測值繪制成如圖所示的頻數分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設每只白鼠是否被感染是相互獨立的.記為事件“”.

(1)寫出（用表示，組合數不必計算）；(2)研究團隊發(fā)現概率與參數之間的關系為.在統(tǒng)計學中，若參數時的值使得概率最大，稱是的最大似然估計，求.10．（2023下·湖南邵陽·高二統(tǒng)考期末）新寧崀山景區(qū)是世界自然遺產?國家5A級景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現對已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進行隨機調查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分，假設每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨立.(1)從游客中隨機抽取2人，記總得分為隨機變量，求的數學期望；(2)（i）記表示“從游客中隨機抽取人，總分恰為分”的概率，求的前4項和；（ii）在對游客進行隨機問卷調查中，記表示“已調查過的累計得分恰為分”的概率，探求與的關系，并求數列的通項公式.專題05概率與數列、導數交匯問題(典型題型歸類訓練)題型一：概率與數列1．（2023·全國·統(tǒng)考模擬預測）遺傳學在培育作物新品種中有著重要的應用．已知某種農作物植株有，，三種基因型，根據遺傳學定律可知，個體自交產生的子代全部為個體，個體自交產生的子代全部為個體，個體自交產生的子代中，，，，個體均有，且其數量比為．假設每個植株自交產生的子代數量相等，且所有個體均能正常存活．(1)現取個數比為的，，植株個體進行自交，從其子代所有植株中任選一株，已知該植株的基因型為，求該植株是由個體自交得到的概率；(2)已知基因型為AA的植株具備某種優(yōu)良性狀且能保持該優(yōu)良性狀的穩(wěn)定遺傳，是理想的作物新品種．農科院研究人員為了獲得更多的植株用于農業(yè)生產，將通過誘變育種獲得的Aa植株進行第一次自交，根據植株表現型的差異將其子代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第二次自交，再將第二次自交后代中的個體人工淘汰掉后，再將剩余子代植株全部進行第三次自交……此類推，不斷地重復此操作，從第次自交產生的子代中任選一植株，該植株的基因型恰為AA的概率記為（且）①證明：數列為等比數列；②求，并根據的值解釋該育種方案的可行性．【答案】(1)(2)①證明見解析；②證明見解析【分析】（1）分析遺傳特性，求概率即可.（2）①找到易求的，再利用遞推關系求解即可.②發(fā)現當實驗次數夠多時，概率趨近于1即可.【詳解】（1）由題意得若對植株進行自交，產生，，的概率比為，故在個數比為的，，植株個體進行自交時，其親代，，的概率比為，而親代進行自交，產生，，的概率比為，故概率為，（2）①記第代的概率為，子一代進行自交時，子二代進行自交時，故可遞推出，易得，而令，而，則有，故數列為等比數列得證.②由上問知，且當時，，故該方案可行.2．（2024上·山東威?！じ呷y(tǒng)考期末）甲、乙、丙人做傳球練習，球首先由甲傳出，每個人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率.(1)求，；(2)證明：是等比數列，并求；(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數為，求．【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)【分析】（1）分析已知計算即可得出結果；（2）記表示事件“經過次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，則，變形可得，即數列是以為首項，為公比的等比數列，結合等比數列的通項公式求解即可；（3）結合第（2）問結論和題設條件，運用等比數列求和公式分組求和即可求解.【詳解】（1）因為表示經過次傳遞后球傳到乙手中的概率，所以，第一次傳到乙手中的概率為：，第二次傳到乙手中的概率為：.（2）記表示事件“經過次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，所以，即，即，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，即.（3）由題意，次傳球后球在乙手中的次數，服從兩點分布，且,所以由（2）可知，，則.3．（2024上·山東淄博·高三統(tǒng)考期末）第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚奧林匹克和亞運精神，增強鍛煉身體意識，某學校舉辦一場羽毛球比賽．已知羽毛球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方．現甲、乙二人進行羽毛球單打比賽，根據以往甲、乙兩名運動員對陣的比賽數據可知，若甲發(fā)球，甲得分的概率為，乙得分的概率為；若乙發(fā)球，乙得分的概率為，甲得分的概率為．規(guī)定第1回合是甲先發(fā)球．(1)求第3回合由甲發(fā)球的概率；(2)①設第i回合是甲發(fā)球的概率為，證明：是等比數列；②已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，2，…，n，則．若第1回合是甲先發(fā)球，求甲、乙連續(xù)進行n個回合比賽后，甲的總得分的期望．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）通過設出事件，結合事件獨立的概率乘法公式計算即可；（2）①通過題意得到，進而構造等比數列進行證明即可；②根據題意得到記第回合甲得分為，顯然服從兩點分布，結合題目中的期望公式計算即可.【詳解】（1）設“第3回合由甲發(fā)球”為事件，則，所以第3回合由甲發(fā)球的概率為（2）①第回合是甲發(fā)球分兩種情況：第一種情況為第回合是甲發(fā)球且甲得分，第二種情況為第回合是乙發(fā)球且甲得分，則，即，所以，又因為，所以，所以，即是首項為，公比為的等比數列②因為是首項為，公比為的等比數列，所以，即，記第回合甲得分為，顯然服從兩點分布，且事件等價于第回合是甲發(fā)球，故，又因為求甲、乙連續(xù)進行n個回合比賽后，甲的得分為，所以，故甲的總得分的期望為【點睛】關鍵點點睛：本題考查數列與概率的綜合問題.關鍵點在于通過閱讀題目得到這一遞推式，進而構造等比數列進行求解.本題考查轉化與化歸能力、計算能力和閱讀與分析能力，屬于中檔題.4．（2024上·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）現有標號依次為1，2，…，n的n個盒子，標號為1號的盒子里有2個紅球和2個白球，其余盒子里都是1個紅球和1個白球．現從1號盒子里取出2個球放入2號盒子，再從2號盒子里取出2個球放入3號盒子，…，依次進行到從號盒子里取出2個球放入n號盒子為止．(1)當時，求2號盒子里有2個紅球的概率；(2)當時，求3號盒子里的紅球的個數的分布列；(3)記n號盒子中紅球的個數為，求的期望．【答案】(1)(2)分布列見解析(3)【分析】(1)由古典概率模型進行求解；(2)可取，求出對應的概率，再列出分布列即可；(3)記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則，為第號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則，則第號盒子有一個紅球和三個白球的概率為，且，化解得，即可求解.【詳解】（1）由題可知2號盒子里有2個紅球的概率為；（2）由題可知可取，，，所以3號盒子里的紅球的個數ξ的分布列為123P（3）記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則，為第號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則，則第號盒子有一個紅球和三個白球的概率為，且，化解得，得，而則數列為等比數列,首項為，公比為，所以，又由求得：因此．【點睛】關鍵點點睛：記為第號盒子有三個紅球和一個白球的概率，則，為第號盒子有兩個紅球和兩個白球的概率，則，則第號盒子有一個紅球和三個白球的概率為，且，即可求解.題型二：概率與導數1．（2024上·湖南常德·高三統(tǒng)考期末）某企業(yè)對500個產品逐一進行檢驗，檢驗“合格”方能出廠．產品檢驗需要進行三項工序A、B、C，三項檢驗全部通過則被確定為“合格”，若其中至少2項檢驗不通過的產品確定為“不合格”，有且只有1項檢驗不通過的產品將其進行改良后再檢驗A、B兩項工序，如果這兩項全部通過則被確定為“合格”，否則確定為“不合格”．每個產品檢驗A、B、C三項工序工作相互獨立，每一項檢驗不通過的概率均為p（）．(1)記某產品被確定為“不合格”的概率為，求的值；(2)若不需要重新檢驗的每個產品的檢驗費用為120元，需要重新檢驗的每個產品兩次檢驗費用為200元．除檢驗費用外，其他費用為2萬元，且這500個產品全部檢驗，該企業(yè)預算檢驗總費用（包含檢驗費用與其他費用）為10萬元．試預測該企業(yè)檢驗總費用是否會超過預算？并說明理由．【答案】(1)；(2)預測不會超過預算，理由見解析.【分析】（1）利用互斥事件的概率加法計算公式及獨立重復實驗的概率計算公式進行求解即可.（2）根據給定條件，求出每個產品檢驗費用的數學期望表達式，通過構造函數，利用導數判斷函數的單調性求最值即可.【詳解】（1）依題意，每個產品首次檢驗被確定為“不合格”的概率為，首次檢驗有且只有1項檢驗不通過的產品再次檢驗被確定為“不合格”的概率為，因此，所以.（2）設每個產品檢驗的費用為X元，則X的可能取值為120，200，依題意，，，則，，令函數，，求導得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，因此，即，則該企業(yè)檢驗總費用的期望最大值為（萬元），所以預測不會超過預算.【點睛】關鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨立事件的積是解題的關鍵.2．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）某游戲游玩規(guī)則如下：每次游戲有機會獲得5分，10分或20分的積分，且每次游戲只能獲得一種積分；每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，三次游戲為一輪，一輪游戲結束后，計算本輪游戲總積分．(1)求某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的概率（用含的代數式表示）；(2)當某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間內的概率取得最大值時，求一輪游戲累計積分的數學期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）分析某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的情況，利用獨立事件與互斥事件的概率公式，結合組合的思想即可得解.（2）依題意得到累計積分在區(qū)間內的概率，構造函數，利用導數求得當時滿足題意，進而得到的所有可能取值，求得對應的概率，從而得解.【詳解】（1）某人在一輪游戲中，累計積分不超過25分的情況為：①三次游戲都獲得5分；②兩次游戲獲得5分，一次游戲獲得10分；③一次游戲獲得5分，兩次游戲獲得10分；所以其概率為：.（2）依題意，記一輪游戲累計積分為，而某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間內的情況有分和分兩種情況，則，，記某人在一輪游戲中累計積分在區(qū)間內的概率為，則，，則，令，得；令，得；所以在上單調遞增，在上單調減；所以當時，取得最大值；此時每次游戲獲得5分，10分，20分的概率分別為，由題意可知的所有可能取值為，，，，，，，，，，則的數學期望為.【點睛】關鍵點睛：本題解決的難點是分析得各個累計積分時的概率，從而得解.3．（2023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）有一位老師叫他的學生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，他的學生兩手空空走出麥田，因為他不知前面是否有更好的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設該學生在麥田中一共會遇到顆麥穗（假設顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現在各個位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開始，只要發(fā)現比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設，該學生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（取）(1)若，，求；(2)若取無窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值.【答案】(1)(2)的最大值為，此時的值為.【分析】（1）由題意可知，要摘到那顆最大的麥穗，有兩種情況，最大的麥穗是第3顆和最大的麥穗是最后1顆，分情況分析兩種情況的可能性，結合古典概型即可求出結果；（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，根據條件概率和全概率公式求出，再利用導數求出最值即可.【詳解】（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有種情況.要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：①最大的麥穗是第3顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有種情況.②最大的麥穗是最后1顆，第二大的麥穗是第1顆或第2顆，其他的麥穗隨意在哪個位置，有種情況.故所求概率為.（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，事件表示最大的麥穗在麥穗中排在第顆.因為最大的那顆麥穗出現在各個位置上的概率相等，所以.以給定所在位置的序號作為條件，.當時，最大的麥穗在前顆麥穗之中，不會被摘到，此時.當時，最大的麥穗被摘到，當且僅當前顆麥穗中的最大的一顆在前顆麥穗中時，此時.由全概率公式知.令函數，.令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以.所以當，時取得最大值，最大值為，此時，即的最大值為，此時的值為.三、專項訓練1．（2023上·廣西柳州·高三柳州高級中學?？茧A段練習）假設市四月的天氣情況有晴天，雨天，陰天三種，第二天的天氣情況只取決于前一天的天氣情況，與再之前的天氣無關.若前一天為晴天，則第二天下雨的概率為，陰天的概率為；若前一天為下雨，則第二天晴天的概率為，陰天的概率為；若前一天為陰天，則第二天晴天的概率為，下雨的概率為；已知市4月第1天的天氣情況為下雨.(1)求市4月第3天的天氣情況為晴天的概率；(2)記為市四月第天的天氣情況為晴天的概率，（i）求出的通項公式；（ii）市某花卉種植基地計劃在四月根據天氣情況種植向日葵，為了更好地促進向日葵種子的發(fā)芽和生長，要求提前3天對種子進行特殊處理，并盡可能地選擇在晴天種植.如果你是該花卉種植基地的氣象顧問，根據上述計算結果，請你對該基地的種植計劃提出建議.【答案】(1)(2)（i）；（ii）建議在四月第27天對種子進行特殊處理【分析】（1）由題意可確定前一天天氣為晴，第二天為晴或宇或陰的概率以及前一天天氣為雨，第二天為晴或雨或陰的概率以及前一天天氣為陰，第二天為晴或雨或陰的概率，由此根據第一天的天氣情況，即可求出第二天每種情況的概率，即可求出第3天晴天的概率；（2）（i）記分別為市四月第天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，依題意可求出遞推關系式，構造等比數列，即可求得的通項公式；（ii）結合數列的單調性，可確定四月份天氣為晴的最大概率是第幾天嗎，由此可提出合理建議.【詳解】（1）依題意，可列舉如下概率：前一天晴，第二天為晴雨陰；前一天為雨，第二天為晴，雨，陰；前一天為陰，第二天為晴，雨陰，記分別為市四月第天的天氣情況為晴天，雨天，陰天的概率，則，依題意知，故，第3天為晴天概率；（2）（i）由題意知，當時，，①，②，③在①中代入，整理得，變形為，故為首項，公比的等比數列，；（ii）由于隨著n的增大而減小，故在遞增，故四月份天氣為晴的最大概率是第30天，因此建議在第30天為種植時間，提前3天，即在四月第27天對種子進行特殊處理.【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵時要理解題意，明確第一天各種天氣情況下第二天各種天氣情況的概率，進而推出第二天各種天氣情況的概率的遞推式，結合數列知識，即可求解.2．（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學校聯(lián)考期末）在信息論中，熵（entropy）是接收的每條消息中包含的信息的平均量，又被稱為信息熵?信源熵?平均自信息量.這里，“消息”代表來自分布或數據流中的事件?樣本或特征.（熵最好理解為不確定性的量度而不是確定性的量度，因為越隨機的信源的熵越大）來自信源的另一個特征是樣本的概率分布.這里的想法是，比較不可能發(fā)生的事情，當它發(fā)生了，會提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定義為概率分布的對數的相反數是有道理的.事件的概率分布和每個事件的信息量構成了一個隨機變量，這個隨機變量的均值（即期望）就是這個分布產生的信息量的平均值（即熵）.熵的單位通常為比特，但也用、、計量，取決于定義用到對數的底.采用概率分布的對數作為信息的量度的原因是其可加性.例如，投擲一次硬幣提供了1的信息，而擲次就為位.更一般地，你需要用位來表示一個可以取個值的變量.在1948年，克勞德?艾爾伍德?香農將熱力學的熵，引入到信息論，因此它又被稱為香農滳.而正是信息熵的發(fā)現，使得1871年由英國物理學家詹姆斯?麥克斯韋為了說明違反熱力學第二定律的可能性而設想的麥克斯韋妖理論被推翻.設隨機變量所有取值為，定義的信息熵，（，）.(1)若，試探索的信息熵關于的解析式，并求其最大值；(2)若，（），求此時的信息熵.【答案】(1)，，最大值為.(2).【分析】（1）由題意可知且，減少變量可得的信息熵關于的解析式，求導可得單調性，故而求出最大值；（2）由可知數列從第二項起，是首項為，公比為2的等比數列，故而可求出（）的通項公式，再由可得的解析式.【詳解】（1）當時，,，令，，則，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.（2）因為，（），所以（），故，而，于是，整理得令，則，兩式相減得因此，所以.【點睛】關鍵點點睛：第二問，根據等比數列定義寫出，進而寫出的通項公式，應用裂項相消及等比數列前n項和公式求化簡.3．（2023上·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯(lián)考階段練習）某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設第位員工獲得獎金為元.(1)求的概率；(2)求的數學期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數學期望最大.【答案】(1)(2)，第1位【分析】（1）首先要理解包含兩類情況，分別運用獨立事件的概率乘法公式計算即得；（2）弄清第位員工取出紅球的概率與第位員工取出紅球的概率的關系式，從而構建一個等比數列，求出其通項，列出分布列，計算數學期望即得.【詳解】（1）的情形為第2位員工從第2個盒子中摸出紅球，包括兩種情況：①第1位員工從從第1個盒子中摸出紅球放入第2個盒子后第2位員工摸出紅球；②第1位員工從從第1個盒子中摸出白球放入第2個盒子后第2位員工摸出紅球.故的概率為：.（2）設第位員工取出紅球的概率為則有,即：，且故組成首項為，公比為的等比數列.即第位員工取出白球的概率為.易知的所有可能取值為則的分布列如下：1000500顯然關于單調遞減，第1位員工獲得獎金額的數學期望最大.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查獨立事件的概率乘法公式和隨機變量的分布列和數學期望.其中在求解時，關鍵在于要推理分析出第位員工取出紅球的概率與第位員工取出紅球的概率的關系式，再借助于數列遞推式推導出的通項公式，為后續(xù)列出分布列，求數學期望奠定基礎.4．（2023上·重慶·高三西南大學附中?？计谥校┩趵蠋熋刻煸缟?：00準時從家里出發(fā)去學校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數據表明，他到達學校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間7：30之前7：30-7：357：35-7：407：40-7：457：45-7：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當天乘地鐵去學校，則他到校時間在7：35-7：40的概率為0.35.）(1)某天早上王老師通過拋一枚質地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當天7：40-7：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校，否則當天他將乘坐汽車去學校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學校前坐地鐵的次數為，求；(3)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學校且到校時間早于7：40，則當天他會乘坐地鐵去學校；若他前一天坐地鐵去學校且到校時間晚于7：40，則當天他會乘坐汽車去學校；若他前一天乘坐汽車去學校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，當天他都會乘坐地鐵去學校.記為王老師第天坐地鐵去學校的概率，求的通項公式.【答案】(1)0.15(2)(3)【分析】(1)由全概率公式求解即可；(2)可取1，2，3，…，9，10，由題：對于，；，即可求出數學期望；(3)由題意：，，由遞推關系求出數列的通項.【詳解】（1）記事件“硬幣正面向上”，事件“7：40-7：45到?！眲t由題有，，，故.（2）可取1，2，3，…，9，10，由題：對于，；，故，，以上兩式相減得：，故.所以.（3）由題意：，，則，這說明為以為首項，為公比的等比數列.故，所以.5．（2023上·廣東佛山·高三?？茧A段練習）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數據顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經理指數（PMI）為，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快．以新能源汽車、機器人、增材制造、醫(yī)療設備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現了中國制造目前的跨越式發(fā)展．已知某精密制造企業(yè)根據長期檢測結果，得到生產的產品的質量差服從正態(tài)分布，并把質量差在內的產品稱為優(yōu)等品，質量差在內的產品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品處理．現從該企業(yè)生產的正品中隨機抽取1000件，測得產品質量差的樣本數據統(tǒng)計如下：(1)根據大量的產品檢測數據，檢查樣本數據的標準差s近似值為10，用樣本平均數作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，記質量差服從正態(tài)分布，求該企業(yè)生產的產品為正品的概率；（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）參考數據：若隨機變量服從正態(tài)分布,則，，．(2)假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和（，且）件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為，否則該箱產品記為．①試用含的代數式表示某箱產品抽檢被記為的概率；②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為的概率為，求當為何值時，取得最大值．【答案】(1)(2)①；②時，最大值為.【分析】（1）根據頻率分布直方圖可估計從該企業(yè)生產的正品中隨機抽取1000件的平均數，再根據標準差，可得出和，得出，結合正品的條件，即可求出該企業(yè)生產的產品為正品的概率的結果；（2）①由題意，結合組合的定義可知，從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，通過古典概型的概率求法，即可求出箱產品抽檢被記為B的概率為，最后利用排列數的運算即可得出結果；②根據二項分布的概率求法求出，化簡得出關于的函數，利用導數研究函數的單調性和最值，得出當時，取得最大值，從而可求出時，最大值為.【詳解】（1）由題意，估計從該企業(yè)生產的正品中隨機抽取1000件的平均數為：，即，，所以，則優(yōu)等品為質量差在內，即，一等品為質量差在內，即，所以正品為質量差在和內，即，所以該企業(yè)生產的產品為正品的概率：；（2）①從件正品中任選兩個，有種選法，其中等級相同有種選法，∴某箱產品抽檢被記為B的概率為：.②由題意，一箱產品抽檢被記為的概率為，則5箱產品恰有3箱被記為的概率為，所以，所以當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以當時，取得最大值，最大值為.此時，解得：，∴時，5箱產品恰有3箱被記為的概率最大，最大值為.6．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關資源，2023年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進行了問卷調查，據統(tǒng)計，有的人計劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想參加2024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個文化節(jié)都參加的游客記2分.假設每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨立，將頻率視為概率.(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機抽取三人，求三人合計得分的數學期望；(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務.已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，如此往復.（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第（，2，，16）天選擇“單車自由行”的概率，并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數.【答案】(1)4(2)（i）；（ii）；2天【分析】（1）由合計得分可能的取值，計算相應的概率，再由公式計算數學期望即可；（2）（i）利用互斥事件的加法公式和相互獨立事件概率乘法公式求概率．；（ii）由題意，求與的關系，通過構造等比數列，求出，再由求出對應的n.【詳解】（1）由題意，每位游客得1分的概率為，得2分的概率為，隨機抽取三人，用隨機變量表示三人合計得分，則可能的取值為3，4，5，6，，，，，則.所以三人合計得分的數學期望為4.（2）第一天選擇“單車自由行”的概率為，則第一天選擇“觀光電車行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，則后一天選擇“單車自由行”的概率為，（i）甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）甲第天選擇“單車自由行”的概率，有，則，，∴，又∵，∴，∴數列是以為首項，以為公比的等比數列，∴．由題意知，需，即，，即，顯然n必為奇數，偶數不成立，當時，有即可，時，成立；時，成立；時，，則時不成立，又因為單調遞減，所以時，不成立．綜上，16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數只有2天．【點睛】關鍵點睛：本題第2小問的解決關鍵是利用全概率公式得到，從而利用數列的相關知識求得，從而得解.7．（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預測）某排球教練帶領甲、乙兩名排球主力運動員訓練排球的接球與傳球，首先由教練第一次傳球給甲、乙中的某位運動員，然后該運動員再傳回教練.每次教練接球后按下列規(guī)律傳球：若教練上一次是傳給某運動員，則這次有的概率再傳給該運動員，有的概率傳給另一位運動員.已知教練第一次傳給了甲運動員，且教練第次傳球傳給甲運動員的概率為.(1)求，；(2)求的表達式；(3)設，證明：.【答案】(1)，(2)(3)證明見