2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級練四十八利用向量求空間角課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時(shí)作業(yè)梯級練四十八利用向量求空間角一、選擇題(每小題5分,共25分)1.如圖,點(diǎn)A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的三條坐標(biāo)軸上,=(0,0,2),平面ABC的法向量為n=(2,1,2),設(shè)二面角C-AB-O的大小為θ,則cosθ=()A.-QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的三條坐標(biāo)軸上,=(0,0,2),平面ABC的法向量為n=(2,1,2),二面角C-AB-O的大小為θ,所以cosθ==QUOTE=QUOTE.2.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,平面OAB的一個(gè)法向量為n=(2,-2,1),已知點(diǎn)P(-1,3,2),則點(diǎn)P到平面OAB的距離d等于 ()A.4 B.2 C.3 【解析】選B.由已知,平面OAB的一條斜線的方向向量=(-1,3,2),所以點(diǎn)P到平面OAB的距離d=||·|cos<,n>|==QUOTE=2.3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.以A為原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)棱長為1,則A1(0,0,1),E(1,0,QUOTE),D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=QUOTE.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1=(1,y,z),則有即QUOTE所以QUOTE所以n1=(1,2,2).因?yàn)槠矫鍭BCD的一個(gè)法向量為n2=(0,0,1),所以|cos<n1,n2>|=QUOTE=QUOTE,即平面A1ED與平面ABCD夾角的余弦值為QUOTE.4.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,AC=2,BC=QUOTE,D,E分別是AC1和BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成的角為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因?yàn)锳B=1,AC=2,BC=QUOTE,AC2=BC2+AB2,所以AB⊥BC.因?yàn)槿庵鶠橹比庵?所以BB1⊥平面ABC.以B為原點(diǎn),BC,BA,BB1所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則A(0,1,0),C(QUOTE,0,0).設(shè)B1(0,0,a),則C1(QUOTE,0,a),所以DQUOTE,EQUOTE,所以=QUOTE,平面BB1C1C的法向量設(shè)直線DE與平面BB1C1C則sinα=|cos<,>|=QUOTE,所以α=QUOTE.5.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小為60°,則AD的長為A.QUOTE B.QUOTE C.2 D.QUOTE【解析】選A.如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).設(shè)AD=a,則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).設(shè)平面B1CD的法向量為m=(x,y,z).由,得QUOTE令z=-1,則m=(a,1,-1).又平面C1DC的一個(gè)法向量為n=(0,1,0),則由cos60°=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得a=QUOTE,(負(fù)值舍去),所以AD=QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.如圖,在正方形ABCD中,EF∥AB,若沿EF將正方形折成一個(gè)二面角后,AE∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,則AF與CE所成角的余弦值為.

【解析】因?yàn)檎酆驛E∶ED∶AD=1∶1∶QUOTE,所以AE⊥ED,即AE,DE,EF兩兩垂直,所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=EF=CD=2,則E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),=(0,2,1),所以cos<,>==QUOTE=QUOTE,所以AF與CE所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE7.如圖,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC與BD相交于點(diǎn)O,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AB=2,CF=3.若直線OF與平面BED所成的角為45°,則AE=.

【解析】如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以O(shè)A,OB所在直線分別為x軸,y軸,以過點(diǎn)O且平行于CF的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AE=a,則B(0,QUOTE,0),D(0,-QUOTE,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以=(-1,0,3),=(0,2QUOTE,0),=(-1,QUOTE,-a).設(shè)平面BED的法向量為n=(x,y,z),則即QUOTE則y=0,令z=1,得x=-a,所以n=(-a,0,1),所以cos<n,>==QUOTE.因?yàn)橹本€OF與平面BED所成角的大小為45°,所以QUOTE=QUOTE,解得a=2或a=-QUOTE(舍去),所以AE=2.答案:28.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),所以=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0).設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n=(x,y,z),則.令x=1,則n=(1,-1,-1),所以點(diǎn)D1到平面A1BD的距離d==QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1⊥平面AA1C1C,D是AA1的中點(diǎn),△(1)求證:CD⊥B1D;(2)若BC=QUOTE,求二面角B-C1D-B1的大小.【解析】(1)因?yàn)椤鰽CD是邊長為1的等邊三角形,所以CD=1,A1D=A1C1=1,∠DA1C1=QUOTE,所以C1D=QUOTE,因?yàn)镃C1=2,所以CQUOTE=C1D2+CD2,所以CD⊥DC1,因?yàn)锽1C1⊥平面AA1C1C,CD所以CD⊥B1C1因?yàn)镈C1,B1C1為平面B1C所以CD⊥平面B1C1因?yàn)锽1D?平面B1C1D,所以CD⊥B1(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DC1,DC,過D平行BC的直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),C1(QUOTE,0,0),B1(QUOTE,0,QUOTE),B(0,1,QUOTE),設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),平面C1DB1的一個(gè)法向量為n2=(x1,y1,z1),由得QUOTE所以x=0,令z=1,所以y=-QUOTE,所以n1=(0,-QUOTE,1),由得QUOTE所以x1=z1=0,令y1=1,所以n2=(0,1,0),所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以<n1,n2>=QUOTE,因?yàn)槎娼荁-C1D-B1為銳二面角,所以二面角B-C1D-B1為QUOTE.10.如圖甲,將直角邊長為QUOTE的等腰直角三角形ABC,沿斜邊上的高AD翻折.如圖乙,使二面角B-AD-C的大小為QUOTE,翻折后BC的中點(diǎn)為M.(1)求證:BC⊥平面ADM;(2)求二面角D-AB-C的余弦值.【解析】(1)折疊前AB=AC,AD是斜邊上的高,所以D是BC的中點(diǎn),所以BD=CD,又因?yàn)檎郫B后M是BC的中點(diǎn),所以DM⊥BC,折疊后AB=AC,所以AM⊥BC,又因?yàn)锳M∩DM=M,所以BC⊥平面ADM;(2)建立如圖空間直角坐標(biāo)系,易知二面角B-AD-C的平面角是∠BDC,則BD=BC=CD=AD=1,所以A(0,0,1),BQUOTE,C(0,1,0),D(0,0,0,),設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z)得,即QUOTE,令x=1,得n1=(1,-QUOTE,0),設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量n2=(x1,y1,z1),得即QUOTE,令z1=1,得n2=QUOTE,所以cos<n1,n2>=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,所以二面角D-AB-C的余弦值是QUOTE.1.(5分)如圖所示的三棱錐P-ABC中,D是棱PB的中點(diǎn),已知PA=BC=2,AB=4,CB⊥AB,PA⊥平面ABC,則異面直線PC,AD所成角的余弦值為 ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.過點(diǎn)A作AE∥CB,又CB⊥AB,則AP,AB,AE兩兩垂直.如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AE,AP所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因?yàn)镈為PB的中點(diǎn),所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).所以cos<,>==QUOTE=QUOTE=-QUOTE.設(shè)異面直線PC,AD所成的角為θ,則cosθ=|cos<,>|=QUOTE.2.(5分)在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點(diǎn),AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.以A為原點(diǎn),AB,AC,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,EQUOTE,FQUOTE,所以=(0,0,-2),=QUOTE,=QUOTE.設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),則由得QUOTE取z=1,則n=(2,0,1),設(shè)PA與平面DEF所成的角為θ,則sinθ==QUOTE,所以PA與平面DEF所成角的正弦值為QUOTE.3.(5分)(一題多解)已知點(diǎn)E,F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值為【解析】方法一:延長FE,CB相交于點(diǎn)G,連接AG,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為3,則GB=BC=3,作BH⊥AG于點(diǎn)H,連接EH,則∠EHB為所求銳二面角的平面角.求得BH=QUOTE,EB=1,所以tan∠EHB=QUOTE=QUOTE.方法二:如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,設(shè)DA=1,由已知條件得A(1,0,0),EQUOTE,FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),平面AEF與平面ABC所成的銳二面角為θ,由得QUOTE令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3),取平面ABC的法向量為m=(0,0,-1),則cosθ=|cos<n,m>|=QUOTE,tanθ=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)(2024·全國Ⅲ卷)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1(1)證明:點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.【命題意圖】本題考查點(diǎn)在平面的證明,同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力.【解析】(1)在棱CC1上取點(diǎn)G,使得C1GQUOTECG,連接DG,FG,C1E,C1F,因?yàn)镃1G=QUOTECG,BF=2FB1,所以CG=QUOTECC1=QUOTEBB1=BF且CG∥BF,所以,四邊形BCGF為平行四邊形,所以BCGF,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD所以ADGF,所以四邊形ADGF為平行四邊形.則AFDG,同理可證四邊形DEC1G所以C1EDG,所以C1EAF,則四邊形AEC1F為平行四邊形,因此點(diǎn)C1(2)以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1D1、C1B1、C1C則AQUOTE、A1QUOTE、EQUOTE、FQUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,=QUOTE,設(shè)平面AEF的法向量為m=QUOTE,由,得QUOTE,取z1=-1,得x1=y1=1,則m=QUOTE.設(shè)平面A1EF的法向量為n=QUOTE,由,得QUOTE,取z2=2,得x2=1,y2=4,則n=QUOTE,cos<m,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,設(shè)二面角A-EF-A1的平面角為θ,則QUOTE=QUOTE,所以sinθ=QUOTE=QUOTE.因此,二面角A-EF-A1的正弦值為QUOTE.【加練備選·拔高】(2024·貴港模擬)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,AA1=2AC,P是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)(1)若∠APB=60°,證明:P是CC1的中點(diǎn);(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.【解析】(1)由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C所以C1C⊥AC,C1C又∠APB=60°,所以AP=BP=AB,又∠ACB=90°,所以AP=AB=QUOTEAC,所以PC=AC=QUOTEAA1=QUOTECC1,即P是CC1的中點(diǎn);(2)如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CA,CB和CC1分別為x、y和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AC=2,則A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),所以=(-2,2,0),=(-2,0,3),設(shè)平面BAP的法向量為n=(x,y,z),則由得QUOTE,令x=3,得y=3,z=2,所以n=(3,3,2),又平面CAP的法向量為m=(0,1,0),所以cos<n·m>=QUOTE=QUOTE=QUOTE.由圖可知,二面角B-AP-C為銳二面角,故二面角B-AP-C的余弦值為QUOTE.1.如圖,設(shè)動點(diǎn)P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,QUOTE=λ.當(dāng)∠APC為鈍角時(shí),λ的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.由題設(shè)可知,以,,為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).由=(1,1,-1),得=λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).明顯∠APC不是平角,所以∠APC為鈍角等價(jià)于cos∠APC=cos<,>=<0,這等價(jià)于·<0,即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,得QUOTE<λ<1.因此,λ的取值范圍為QUOTE.2.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2QUOTE