2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.4生活中的優(yōu)化問題舉例學(xué)案新人教A版選修1-1

PAGE3.4生活中的優(yōu)化問題舉例內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用．2.駕馭利用導(dǎo)數(shù)解決簡潔的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題.利用數(shù)據(jù)分析提升數(shù)學(xué)建模及邏輯推理授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第71頁[基礎(chǔ)相識(shí)]學(xué)問點(diǎn)生活中的優(yōu)化問題eq\a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材P101－103，思索并完成以下問題)生活中常常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大(小)值的有力工具．本節(jié)我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．某廠家安排用一種材料生產(chǎn)一種盛500mL溶液的圓柱形易拉罐．(1)生產(chǎn)這種易拉罐，如何計(jì)算材料用的多少呢？(2)如何制作運(yùn)用材料才能最省？提示：(1)計(jì)算出圓柱的表面積即可．(2)要運(yùn)用料最省，只需圓柱的表面積最小．可設(shè)圓柱的底面半徑為x，列出圓柱表面積S＝2πx2＋eq\f(1000,x)(x>0)，求S最小時(shí)，圓柱的半徑、高即可．學(xué)問梳理(1)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本思路(2)解決優(yōu)化問題的基本步驟①分析實(shí)際問題中各變量之間的關(guān)系，依據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；②求導(dǎo)函數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最大者為最大值，最小者為最小值；④依據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案．[自我檢測]1．已知某廠家生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年利潤y(單位：萬元)與年產(chǎn)量x(單位：萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋36x＋126，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為()A．11萬件B．9萬件C．7萬件D．6萬件答案：D2．用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形態(tài)的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，A．2mC．4m答案：B授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第72頁探究一幾何中的最值問題[閱讀教材P101例1]學(xué)?；虬嗉?jí)實(shí)行活動(dòng)，通常須要張貼海報(bào)進(jìn)行宣揚(yáng)．現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm，左、右兩邊各空1dm.如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空白面積最?。款}型：幾何中的最值問題．方法步驟：①設(shè)出版心的高為x，得出版心的寬為eq\f(128,x).②建立目標(biāo)函數(shù)S＝f(x)．③利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值．[例1]請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形態(tài)的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE＝FB＝x(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x應(yīng)取何值？(2)若廣告商要求包裝盒容積V最大，則x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長的比值．[解析](1)由題意知包裝盒的底面邊長為eq\r(2)xcm，高為eq\r(2)(30－x)cm,0<x<30，所以包裝盒側(cè)面積為S＝4eq\r(2)x×eq\r(2)(30－x)＝8x(30－x)≤8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋30－x,2)))2＝8×225，當(dāng)且僅當(dāng)x＝30－x，即x＝15時(shí)，等號(hào)成立，所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S最大，則x＝15.(2)包裝盒容積V＝2x2·eq\r(2)(30－x)＝－2eq\r(2)x3＋60eq\r(2)x2(0<x<30)，所以V′＝－6eq\r(2)x2＋120eq\r(2)x＝－6eq\r(2)x(x－20)．令V′>0，得0<x<20；令V′<0，得20<x<30.所以當(dāng)x＝20時(shí)，包裝盒容積V取得最大值，此時(shí)包裝盒的底面邊長為20eq\r(2)cm，高為10eq\r(2)cm，包裝盒的高與底面邊長的比值為1∶2.方法技巧面積、體積(容積)最大，周長最短，距離最小等實(shí)際幾何問題，求解時(shí)先設(shè)出恰當(dāng)?shù)淖兞浚瑢⒋蠼庾钪档膯栴}表示為變量的函數(shù)，再按函數(shù)求最值的方法求解，最終檢驗(yàn)．特殊留意：在列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要留意實(shí)際問題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域．跟蹤探究1.某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場．如圖，圓形廣場的圓心為O，半徑為100m，并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作l的垂線，垂足為點(diǎn)B.市園林局安排在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化．設(shè)△ABM的面積為S(單位：m2)，∠AON＝θ(單位：弧度)．(1)將S表示為θ的函數(shù)；(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí)，試確定點(diǎn)A的位置，并求最大面積．解析：(1)BM＝AOsinθ＝100sinθ，AB＝MO＋AOcosθ＝100＋100cosθ，θ∈(0，π)．則S＝eq\f(1,2)MB·AB＝eq\f(1,2)×100sinθ×(100＋100cosθ)＝5000(sinθ＋sinθcosθ)，θ∈(0，π)．(2)S′＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(2cosθ－1)(cosθ＋1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，此時(shí)θ＝eq\f(π,3).當(dāng)θ改變時(shí)，S′，S的改變狀況如下表：θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))eq\f(π,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))S′＋0－S極大值所以，當(dāng)θ＝eq\f(π,3)時(shí)，S取得最大值Smax＝3750eq\r(3)m2，此時(shí)AB＝150m，即點(diǎn)A到北京路一邊l的距離為150m.探究二實(shí)際生活中的最值問題[教材P104習(xí)題3.4A組6題]已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系為C＝100＋4q，單價(jià)p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f(1,8)q.求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤L最大？解析：利潤L＝pq－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))q－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0<q<200)，∴L′＝－eq\f(1,4)q＋21.令L′＝0，得q＝84.當(dāng)q∈(0,84)時(shí)，L′>0；當(dāng)q∈(84,200)時(shí)，L′<0.∴當(dāng)產(chǎn)量q為84時(shí)，利潤L最大．產(chǎn)量為84時(shí)，利潤L最大．[例2]某產(chǎn)品每件成本9元，售價(jià)30元，每星期賣出432件．假如降低價(jià)格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低值x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，一星期多賣出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大？[解析](1)若商品降低x元，則一個(gè)星期多賣的商品為kx2件．由已知條件，得k·22＝24，解得k＝6.若記一個(gè)星期的商品銷售利潤為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋6x2)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)對(duì)(1)中函數(shù)求導(dǎo)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)隨x的改變狀況如下表：x0(0,2)2(2，12)12(12，21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值極大值0∴x＝12時(shí)，f(x)取得極大值．∵f(0)＝9072，f(12)＝11664，∴定價(jià)為30－12＝18(元)時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大．方法技巧利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般依據(jù)“利潤＝收入－成本”建立函數(shù)關(guān)系式，再利用導(dǎo)數(shù)求最大值．解此類問題需留意兩點(diǎn)：①價(jià)格要大于或等于成本，否則就會(huì)虧本；②銷量要大于0，否則不會(huì)獲利．跟蹤探究2.某集團(tuán)為了獲得更大的收益，每年要投入肯定的資金用于廣告促銷．經(jīng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi)t(百萬元)，可增加銷售額－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤3)．(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)限制在3百萬元之內(nèi)，則應(yīng)投入多少廣告費(fèi)，才能使該公司由此獲得的收益最大？(2)現(xiàn)該公司打算共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術(shù)改造，經(jīng)預(yù)料，每投入技術(shù)改造費(fèi)x百萬元，可增加的銷售額為－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x(百萬元)．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金安排方案，使該公司由此獲得的收益最大．(收益＝銷售額－投入)解析：(1)設(shè)投入t(百萬元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬元)，則有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴當(dāng)t＝2時(shí)，f(t)取得最大值4，即投入2百萬元的廣告費(fèi)時(shí)，該公司由此獲得的收益最大．(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬元)，則用于廣告促銷的資金為(3－x)(百萬元)，又設(shè)由此獲得的收益是g(x)(百萬元)，則g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x3＋x2＋3x))＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－eq\f(1,3)x3＋4x＋3(0≤x≤3)，∴g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.又當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)>0；當(dāng)2<x≤3時(shí)，g′(x)<0，∴當(dāng)x＝2時(shí)，g(x)取得最大值，即將2百萬元用于技術(shù)改造，1百萬元用于廣告促銷，該公司由此獲得的收益最大.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第73頁[課后小結(jié)]正確理解題意，建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求解是解應(yīng)用題的主要思路．另外須要特殊留意：(1)合理選擇變量，正確給出函數(shù)表達(dá)式；(2)與實(shí)際問題相聯(lián)系；(3)必要時(shí)留意分類探討思想的應(yīng)用．[素養(yǎng)培優(yōu)]解決實(shí)際優(yōu)化問題時(shí)忽視定義域甲、乙兩地相距s千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成．可變部分與速度v(千米/時(shí))的平方成正比，比例系數(shù)為b(b>0)，固定部分為a元．(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(千米/時(shí))的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域．(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？易錯(cuò)分析解決實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，要留意問題中某些關(guān)鍵量的實(shí)際限制條件或隱含條件．若忽視這些限制條件或隱含條件導(dǎo)致最值錯(cuò)誤．考查數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運(yùn)算．自我訂正(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時(shí)間為eq\f(s,v)，全程運(yùn)輸成本為y＝a·eq\f(s,v)＋bv2·eq\f(s,v)＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，故所求函數(shù)及其定義域?yàn)閥＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,v)＋bv))，v(0，c]．(2)由題意知s，a，b，v均為正數(shù)．由y′＝seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(a,v2)))＝0，得v＝