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北京海淀北京科技大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測模擬試題注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋物線有一條重要的性質(zhì):平行于拋物線的軸的光線,經(jīng)過拋物線上的一點反射后經(jīng)過它的焦點.反之,從焦點發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線上的一點反射后,反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線,從點發(fā)出一條平行于x軸的光線,經(jīng)過拋物線兩次反射后,穿過點,則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為()A.8 B.10C.12 D.142.若動點在方程所表示的曲線上,則以下結(jié)論正確的是()①曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形;②動點到坐標(biāo)原點的距離的取值范圍為;③動點與點的最小距離為;④動點與點的連線斜率的取值范圍是.A.①② B.①②③C.③④ D.①②④3.為迎接2022年冬奧會,某校在體育冰球課上加強冰球射門訓(xùn)練,現(xiàn)從甲、乙兩隊中各選出5名球員,并分別將他們依次編號為1,2,3,4,5進行射門訓(xùn)練,他們的進球次數(shù)如折線圖所示,則在這次訓(xùn)練中以下說法正確的是()A.甲隊球員進球的中位數(shù)比乙隊大 B.乙隊球員進球的中位數(shù)比甲隊大C.乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定 D.甲隊球員進球數(shù)的極差比乙隊小4.已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個焦點在拋物線的準(zhǔn)線上,則雙曲線的方程為()A. B.C. D.5.橢圓的焦點坐標(biāo)為()A. B.C. D.6.如圖,在平行六面體中,()A. B.C. D.7.若函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù),則m的取值范圍()A. B.C. D.8.已知圓和圓恰有三條公共切線,則的最小值為()A.6 B.36C.10 D.9.為迎接第24屆冬季奧運會,某校安排甲、乙、丙、丁、戊共5名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個項目的志愿者,每個比賽項目至少安排1人,每人只能安排到1個項目,則所有排法的總數(shù)為()A.60 B.120C.150 D.24010.和的等差中項與等比中項分別為()A., B.2,C., D.1,11.變量,之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù):3456713111087已知變量與呈線性相關(guān)關(guān)系,且回歸方程為,則的值是()A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.312.雙曲線的左右焦點分別是,,直線與雙曲線在第一象限的交點為,在軸上的投影恰好是,則雙曲線的離心率是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.狄利克雷是十九世紀(jì)德國杰出的數(shù)學(xué)家,對數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻.狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若,根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.14.已知數(shù)列的前的前n項和為,數(shù)列的的前n項和為,則滿足的最小n的值為______15.已知幾何體如圖所示,其中四邊形ABCD,CDGF,ADGE均為正方形,且邊長為1,點M在DG上,若直線MB與平面BEF所成的角為45°,則___________.16.已知集合,集合,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,若恒成立,求實數(shù)a的取值范圍18.(12分)在①;②;③;這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,然后解答補充完整的題.注:若選擇多個條件分別解答,則按第一個解答計分.已知,且(只需填序號).(1)求的值;(2)求展開式中的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和19.(12分)已知數(shù)列滿足,().(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列滿足:(),求數(shù)列的前項和.20.(12分)已知橢圓點(1)若橢圓的左焦點為,上頂點為,求點到直線的距離;(2)若點是橢圓的弦的中點,求直線的方程21.(12分)在中,,,的對邊分別是,,,已知.(1)求;(2)若,且的面積為4,求的周長22.(10分)某省食品藥品監(jiān)管局對15個大學(xué)食堂“進貨渠道合格性”和“食品安全”進行量化評估,滿分為10分,大部分大學(xué)食堂的評分在7~10分之間,以下表格記錄了它們的評分情況:分?jǐn)?shù)段食堂個數(shù)1383(1)現(xiàn)從15個大學(xué)食堂中隨機抽取3個,求至多有1個大學(xué)食堂的評分不低于9分的概率;(2)以這15個大學(xué)食堂的評分?jǐn)?shù)據(jù)評估全國的大學(xué)食堂的評分情況,若從全國的大學(xué)食堂中任選3個,記X表示抽到評分不低于9分的食堂個數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示:焦點為,設(shè)光線第一次交拋物線于點,第二次交拋物線于點,過焦點F,準(zhǔn)線方程為:,作垂直于準(zhǔn)線于點,作垂直于準(zhǔn)線于點,則,,,,故選:C2、A【解析】將原方程等價變形為,將方程中的換為,換為,方程不變,可判斷①;利用兩點間的距離公式,結(jié)合二次函數(shù)知識可判斷②和③;取特殊點可判斷④.【詳解】因為等價于,即,對于①,將方程中的換為,換為,方程不變,所以曲線關(guān)于原點成中心對稱圖形,故①正確;對于②,設(shè),則動點到坐標(biāo)原點的距離,因為,所以,故②正確;對于③,設(shè),動點與點的距離為,因為函數(shù)在上遞減,所以當(dāng)時,函數(shù)取得最小值,從而取得最小值,故③不正確;對于④,當(dāng)時,因為,所以,故④不正確.綜上所述:結(jié)論正確的是:①②.故選:A3、C【解析】根據(jù)折線圖,求出甲乙中位數(shù)、平均數(shù)及方差、極差,即可判斷各選項的正誤.【詳解】由題圖,甲隊數(shù)據(jù)從小到大排序為,乙隊數(shù)據(jù)從小到大排序為,所以甲乙兩隊的平均數(shù)都為5,甲、乙進球中位數(shù)相同都為5,A、B錯誤;甲隊方差為,乙隊方差為,即,故乙隊球員進球水平比甲隊穩(wěn)定,C正確.甲隊極差為6,乙隊極差為4,故甲隊極差比乙隊大,D錯誤.故選:C4、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程得a和b的關(guān)系,根據(jù)焦點在拋物線準(zhǔn)線上得c的值,結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求解.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程是,∴,∵準(zhǔn)線方程是,∴,∵,∴,,∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為:.故選:A.5、B【解析】根據(jù)方程可得,且焦點軸上,然后可得答案.【詳解】由橢圓的方程可得,且焦點在軸上,所以,即,故焦點坐標(biāo)為故選:B6、B【解析】由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則,可得所求向量【詳解】連接,可得,又,所以故選:B.7、B【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù),使用參數(shù)分離法即可.【詳解】,在上是增函數(shù),即恒成立,;設(shè),;∴時,是增函數(shù);時,是減函數(shù);故時,,∴;故選:B.8、B【解析】由公切線條數(shù)得兩圓外切,由此可得的關(guān)系,從而點在以原點為圓心,4為半徑的圓上,記,由求得的最小值,平方后即得結(jié)論【詳解】圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,圓標(biāo)準(zhǔn)方程為,,半徑為,兩圓有三條公切線,則兩圓外切,所以,即,點在以原點為圓心,4為半徑的圓上,記,,所以,所以的最小值為故選:B9、C【解析】結(jié)合排列組合的知識,分兩種情況求解.【詳解】當(dāng)分組為1人,1人,3人時,有種,當(dāng)分組為1人,2人,2人時有種,所以共有種排法.故選:C10、C【解析】根據(jù)等差中項和等比中項的概念分別求值即可.【詳解】和的等差中項為,和的等比中項為.故選:C.11、D【解析】將樣本中心點代入回歸方程后求解【詳解】,,將樣本中心點代入回歸方程,得故選:D12、D【解析】根據(jù)題意的到,,代入到雙曲線方程,解得,即,則,即,即,求解方程即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)原點為,∵直線與雙曲線在第一象限的交點在軸上的投影恰好是,∴,且,∴,將代入到雙曲線方程,可得,解得,即,則,即,即,解得(舍負(fù)),故.故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式,先求出,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè),,則.故答案:114、9【解析】由數(shù)列的前項和為,則當(dāng)時,,所以,所以數(shù)列的前和為,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以滿足的最小的值為.點睛:本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題,其中解答中涉及到數(shù)列的通項與的關(guān)系,推導(dǎo)數(shù)列的通項公式,以及等差、等比數(shù)列的前項和公式的應(yīng)用,熟記等差、等比數(shù)列的通項公式和前項和公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了學(xué)生的推理與運算能力.15、##【解析】把該幾何體補成一個正方體,如圖,利用正方體的性質(zhì)證明面面垂直得出直線MB與平面BEF所成的角,然后計算可得【詳解】把該幾何體補成一個正方體,如圖,,連接,由平面,平面,得,同理,又正方形中,,,平面,所以平面,而平面,所以平面平面,所以平面內(nèi)的直線在平面上的射影是,即是直線MB與平面BEF所成的角,,,,故答案為:16、##(-1,2]【解析】根據(jù)兩集合的并集的含義,即可得答案.【詳解】因為集合,集合,所以,故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)極大值;極小值(2)【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)來求得的極大值和極小值.(2)由不等式分離常數(shù),通過構(gòu)造函數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時,,,令,可得或2所以在區(qū)間遞增;在區(qū)間遞減.故當(dāng)時.函數(shù)有極大值,故當(dāng)時,函數(shù)有極小值;【小問2詳解】由,有,可化為,令,有,令,有,令,可得,可得函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,有,可知,有函數(shù)為減函數(shù),有,故當(dāng)時,若恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為【點睛】求解不等式恒成立問題,可利用分離常數(shù)法,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求最值來求解.在利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的過程中,如果一階導(dǎo)數(shù)無法解決,可考慮利用二階導(dǎo)數(shù)來進行求解.18、(1)選①②③,答案均為;(2)66【解析】(1)選①時,利用二項式定理求得的通項公式為,從而得到,求出n的值;選②時,利用二項式系數(shù)和的公式求出,解出n的值;選③時,利用賦值法求解,,從而求出n的值;(2)在第一問求出的的前提下進行賦值法求解.【小問1詳解】選①,其中,而的通項公式為,當(dāng)時,,所以,解得:;選②,由于,所以,解得:;選③,令中得:,再令得:,解得:;【小問2詳解】由(1)知:n=7,所以,令得:,令得:,兩式相減得:,所以,故展開式中的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)和為66.19、(1)證明見解析,;(2).【解析】(1)將給定等式變形,計算即可判斷數(shù)列類型,再求出其通項而得解;(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項,然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足,,則,而,于是數(shù)列是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,,即,所以數(shù)列是等比數(shù)列,,;(2)由(1)知,則于是得,,所以數(shù)列的前項和.20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)橢圓基本關(guān)系求得,,再利用截距式求得方程,進而求得點到直線的距離.(2)設(shè),利用點差法求解即可.【詳解】(1)橢圓的左焦點是,上頂點,方程為,即,點到直線的距離;(2)設(shè),,,,又,,兩式相減得:,,即直線的斜率為,直線的方程為:,即【點睛】本題主要考查了橢圓中的基本量運算以及點差法的運用,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)正弦定理及題中條件,可得,化簡整理,即可求解(2)由的面積為4,結(jié)合(1)中結(jié)論,可得,結(jié)合余弦定理,可得,從而可求的周長【詳解】解:(1)由及正弦定理得,,又,∴,∴,∴.
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