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2025屆河南省十所重點(diǎn)名校數(shù)學(xué)高三上期末考試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若不相等的非零實(shí)數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.2.設(shè)一個(gè)正三棱柱,每條棱長(zhǎng)都相等,一只螞蟻從上底面的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行,若它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10次,仍然在上底面的概率為,則為()A. B.C. D.3.若向量,,則與共線(xiàn)的向量可以是()A. B. C. D.4.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開(kāi)始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開(kāi)始后,若阿基里斯跑了米,此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)米時(shí),烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個(gè)米時(shí),烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí),烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米5.設(shè)集合則()A. B. C. D.6.已知拋物線(xiàn):,點(diǎn)為上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),又知點(diǎn),則的最小值為()A. B. C.3 D.57.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.48.某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的表面積為()A.8 B. C. D.9.已知函數(shù)若對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國(guó)致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來(lái),全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量連年攀升,中國(guó)更是發(fā)展迅猛,2014年累計(jì)裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國(guó)的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級(jí)換代行動(dòng)中體現(xiàn)出大國(guó)的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計(jì)裝機(jī)容量與中國(guó)新增裝機(jī)容量圖.根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是()A.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量達(dá)到峰值B.10年來(lái)全球新增裝機(jī)容量連年攀升C.10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均超過(guò)D.截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量在全球累計(jì)裝機(jī)容量中占比超過(guò)11.復(fù)數(shù)()A. B. C.0 D.12.運(yùn)行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.2017二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為_(kāi)_______.14.已知集合,,則____________.15.根據(jù)如圖所示的偽代碼,輸出的值為_(kāi)_____.16.在三棱錐P-ABC中,,,,三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)且(1)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值;(2)求銳二面角的大小.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),設(shè)的最小值為,若恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.19.(12分)如圖,在中,已知,,,為線(xiàn)段的中點(diǎn),是由繞直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)而成,記二面角的大小為.(1)當(dāng)平面平面時(shí),求的值;(2)當(dāng)時(shí),求二面角的余弦值.20.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,直線(xiàn)被稱(chēng)作為橢圓的一條準(zhǔn)線(xiàn),點(diǎn)在橢圓上(異于橢圓左、右頂點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓相切,且與直線(xiàn)相交于點(diǎn).(1)求證:.(2)若點(diǎn)在軸的上方,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求直線(xiàn)的斜率.附:多項(xiàng)式因式分解公式:21.(12分)某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線(xiàn)投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生產(chǎn)線(xiàn)可供選擇,生產(chǎn)線(xiàn)①:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.02,0.03.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬(wàn)元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬(wàn)元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬(wàn)元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元.生產(chǎn)線(xiàn)②:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.01.若兩道工序都沒(méi)有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為14萬(wàn)元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬(wàn)元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬(wàn)元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬(wàn)元.(1)若選擇生產(chǎn)線(xiàn)①,求生產(chǎn)成本恰好為18萬(wàn)元的概率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線(xiàn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因?yàn)椋?,是不相等的非零?shí)數(shù),所以,此時(shí),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.2、D【解析】
由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來(lái),其概率是,兩種事件又是互斥的,可得,根據(jù)求數(shù)列的通項(xiàng)知識(shí)可得選項(xiàng).【詳解】由題意,設(shè)第次爬行后仍然在上底面的概率為.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有兩條路,其概率為;②若上一步在下面,則第步不在上面的概率是.如果爬上來(lái),其概率是,兩種事件又是互斥的,∴,即,∴,∴數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列,而,所以,∴當(dāng)時(shí),,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體中的概率問(wèn)題,關(guān)鍵在于運(yùn)用遞推的知識(shí),得出相鄰的項(xiàng)的關(guān)系,這是常用的方法,屬于難度題.3、B【解析】
先利用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量平行的判定,屬于基礎(chǔ)題,在解題中要注意橫坐標(biāo)與橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng),縱坐標(biāo)與縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng),切不可錯(cuò)位.4、D【解析】
根據(jù)題意,是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個(gè)等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.5、C【解析】
直接求交集得到答案.【詳解】集合,則.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.6、C【解析】
由,再運(yùn)用三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)和最小,即可求解.【詳解】.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義,合理轉(zhuǎn)化是本題的關(guān)鍵,注意拋物線(xiàn)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.7、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐,即可求出幾何體的表面積.【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐,如圖,且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直,四棱錐的底面是正方形,邊長(zhǎng)為2,棱錐的高為2,所以,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體,棱錐表面積的計(jì)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.9、C【解析】分析:先求導(dǎo),再對(duì)a分類(lèi)討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再畫(huà)圖分析轉(zhuǎn)化對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,得到關(guān)于a的不等式組,再解不等式組得到實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解:由題得.當(dāng)a<1時(shí),,所以函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以故a≥1,與a<1矛盾,故a<1矛盾.當(dāng)1≤a<e時(shí),函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增,在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,所以即令,所以所以函數(shù)g(a)在(1,e)上單調(diào)遞減,所以,所以當(dāng)1≤a<e時(shí),滿(mǎn)足題意.當(dāng)a時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因?yàn)閷?duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有,所以,故1+1,所以故綜上所述,a∈.故選C.點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于“對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意實(shí)數(shù),都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問(wèn)題,所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性、最值、極值等)來(lái)分析解答問(wèn)題.本題就是把這個(gè)條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來(lái),完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化,找到了問(wèn)題的突破口.10、D【解析】
先列表分析近10年全球風(fēng)力發(fā)電新增裝機(jī)容量,再結(jié)合數(shù)據(jù)研究單調(diào)性、平均值以及占比,即可作出選擇.【詳解】年份2009201020112012201320142015201620172018累計(jì)裝機(jī)容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增裝機(jī)容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中國(guó)累計(jì)裝機(jī)裝機(jī)容量逐年遞增,A錯(cuò)誤;全球新增裝機(jī)容量在2015年之后呈現(xiàn)下降趨勢(shì),B錯(cuò)誤;經(jīng)計(jì)算,10年來(lái)中國(guó)新增裝機(jī)容量平均每年為,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;截止到2015年中國(guó)累計(jì)裝機(jī)容量,全球累計(jì)裝機(jī)容量,占比為,選項(xiàng)D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查條形圖,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.11、C【解析】略12、D【解析】
依次運(yùn)行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿(mǎn)足條件;第二次:,不滿(mǎn)足條件;第三次:,不滿(mǎn)足條件;第四次:,不滿(mǎn)足條件;第五次:,不滿(mǎn)足條件;第六次:,滿(mǎn)足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓錐的組合體,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算它的體積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求簡(jiǎn)單組合體的體積應(yīng)用問(wèn)題,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
由于,,則.15、7【解析】
表示初值S=1,i=1,分三次循環(huán)計(jì)算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán):S=1+1=2,i=1+2=3;第二次循環(huán):S=2+3=5,i=3+2=5;第三次循環(huán):S=5+5=10,i=5+2=7;S=10>9,循環(huán)結(jié)束,輸出:i=7.故答案為:7【點(diǎn)睛】本題考查在程序語(yǔ)句的背景下已知輸入的循環(huán)結(jié)構(gòu)求輸出值問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
先確定頂點(diǎn)在底面的射影,再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高,利用各個(gè)面的面積和乘以?xún)?nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的射影為H,H是三角形ABC的內(nèi)心,內(nèi)切圓半徑.三個(gè)側(cè)面與底面所成的角均為,,,的高,,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,∴,內(nèi)切球表面積.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問(wèn)題,考查學(xué)生空間想象能力,本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為再求解與平面的法向量,繼而求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可.(2)分別求解平面與平面的法向量,再求二面角的余弦值判斷二面角大小即可.【詳解】解:在正四棱錐中,底面正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)所以平面取的中點(diǎn)的中點(diǎn)所以?xún)蓛纱怪?故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為因?yàn)樗运?所以,設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,,取則,所以所以,所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.設(shè)平面的法向量是,因?yàn)?,所以,取則所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以銳二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解線(xiàn)面夾角以及二面角的問(wèn)題,屬于中檔題.18、(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于參數(shù)的范圍對(duì)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有影響,對(duì)參數(shù)分類(lèi),再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達(dá)式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實(shí)數(shù)的取值范圍的左端點(diǎn).【詳解】解:(1)解:,當(dāng)時(shí),,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因?yàn)?,所以,,令,則恒成立,由于,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當(dāng)時(shí),若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對(duì)時(shí),,與題意不符;綜上,為所求.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二小題是一個(gè)求函數(shù)的最值的問(wèn)題,此類(lèi)題運(yùn)算量較大,轉(zhuǎn)化靈活,解題時(shí)極易因?yàn)樽冃闻c運(yùn)算出錯(cuò),故做題時(shí)要認(rèn)真仔細(xì).19、(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐標(biāo)系,根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個(gè)平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖,以為原點(diǎn),在平面內(nèi)垂直于的直線(xiàn)為軸所在的直線(xiàn)分別為軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè)為平面的一個(gè)法向量,由得,取,則因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為由平面平面,得所以即.(2)設(shè)二面角的大小為,當(dāng)平面的一個(gè)法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由得令可得,進(jìn)而得到,同理,利用數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算即可;(2),分,兩種情況討論即可.【詳解】(1)證明:點(diǎn)的坐標(biāo)為.聯(lián)立方程,消去后整理為有,可得,,.可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí),可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,,.有,故有.(2)若點(diǎn)在軸上方,因?yàn)椋杂?,由?)知①因?yàn)闀r(shí).由(1)知,由函數(shù)單調(diào)遞增,可得此時(shí).②當(dāng)時(shí),由(1)知令由,故當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增:當(dāng)時(shí),,此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減,又由,故函數(shù)的最小值,函數(shù)取最小值時(shí),可求得.由①②知,若點(diǎn)在軸上方,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),直線(xiàn)的斜率為.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系,涉及到分類(lèi)討論求函數(shù)的最值,考查學(xué)
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