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2025屆湖北省應(yīng)城一中合教中心數(shù)學(xué)高三上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.2.已知函數(shù),,若對(duì)任意的總有恒成立,記的最小值為,則最大值為()A.1 B. C. D.3.如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試(滿分100分)中得分情況的莖葉圖,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲得分的平均數(shù)比乙大 B.甲得分的極差比乙大C.甲得分的方差比乙小 D.甲得分的中位數(shù)和乙相等4.一個(gè)由兩個(gè)圓柱組合而成的密閉容器內(nèi)裝有部分液體,小圓柱底面半徑為,大圓柱底面半徑為,如圖1放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,如圖2放置容器時(shí),液面以上空余部分的高為,則()A. B. C. D.5.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.7.已知定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,設(shè),則()A. B. C. D.8.設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上,且點(diǎn)不共線.若的周長(zhǎng)的最小值為,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的函數(shù)為偶函數(shù),則的值為()A. B. C. D.10.如圖,內(nèi)接于圓,是圓的直徑,,則三棱錐體積的最大值為()A. B. C. D.11.設(shè)橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn),則橢圓E的離心率是()A. B. C. D.12.如圖所示,已知雙曲線的右焦點(diǎn)為,雙曲線的右支上一點(diǎn),它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有以下四個(gè)命題:①在中,的充要條件是;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)的充要條件是;③對(duì)于函數(shù),若,則必不是奇函數(shù);④函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.其中正確命題的序號(hào)為______.14.某校開展“我身邊的榜樣”評(píng)選活動(dòng),現(xiàn)對(duì)3名候選人甲、乙、丙進(jìn)行不記名投票,投票要求詳見選票.這3名候選人的得票數(shù)(不考慮是否有效)分別為總票數(shù)的88%,75%,46%,則本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為百分之________.“我身邊的榜樣”評(píng)選選票候選人符號(hào)注:1.同意畫“○”,不同意畫“×”.2.每張選票“○”的個(gè)數(shù)不超過(guò)2時(shí)才為有效票.甲乙丙15.已知向量,,則______.16.設(shè)常數(shù),如果的二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)為-80,那么______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在上恒成立,求的取值范圍.18.(12分)我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來(lái),已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最長(zhǎng)的也不過(guò)11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖的頻率分布直方圖.(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.19.(12分)已知拋物線:()的焦點(diǎn)到點(diǎn)的距離為.(1)求拋物線的方程;(2)過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,點(diǎn)、分別在第一和第二象限內(nèi),求的面積.20.(12分)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為和.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若的極小值為,求在區(qū)間上的最大值.21.(12分)已知命題:,;命題:函數(shù)無(wú)零點(diǎn).(1)若為假,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若為假,為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時(shí),與共線.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長(zhǎng)公式求解即可【詳解】∵復(fù)數(shù),∴,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長(zhǎng)、平方運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題2、C【解析】
對(duì)任意的總有恒成立,因?yàn)椋瑢?duì)恒成立,可得,令,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】對(duì)任意的總有恒成立,對(duì)恒成立,令,可得令,得當(dāng),當(dāng),,故令,得當(dāng)時(shí),當(dāng),當(dāng)時(shí),故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)不等式恒成立求最值問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握不等式恒成立的解法和導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的解法,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.3、B【解析】
由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念,可得所求結(jié)論.【詳解】對(duì)于甲,;對(duì)于乙,,故正確;甲的極差為,乙的極差為,故錯(cuò)誤;對(duì)于甲,方差.5,對(duì)于乙,方差,故正確;甲得分的中位數(shù)為,乙得分的中位數(shù)為,故正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用,考查平均數(shù)和方差等概念,培養(yǎng)計(jì)算能力,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)空余部分體積相等列出等式即可求解.【詳解】在圖1中,液面以上空余部分的體積為;在圖2中,液面以上空余部分的體積為.因?yàn)?,所?故選:B【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋詾樯系呐己瘮?shù),因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?,且,解?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、B【解析】
根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),可判斷關(guān)系;由時(shí),,求得導(dǎo)函數(shù),并構(gòu)造函數(shù),由進(jìn)而判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù),所以所以;當(dāng)時(shí),,則,令則,當(dāng)時(shí),,則在時(shí)單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,即,則在時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,綜上可知,即,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.8、A【解析】
依題意可得即可得到,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍;【詳解】解:依題意可得如下圖象,所以則所以所以所以,即故選:A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),屬于中檔題.9、D【解析】
利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】將將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得函數(shù)又由函數(shù)為偶函數(shù),所以,解得,因?yàn)椋?dāng)時(shí),,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換,以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換,合理應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
根據(jù)已知證明平面,只要設(shè),則,從而可得體積,利用基本不等式可得最大值.【詳解】因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,所以平?在直角三角形中,,設(shè),則,所以,所以.又因?yàn)?,?dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是:首先證明線面垂直同,得棱錐的高,然后設(shè)出底面三角形一邊長(zhǎng)為,用建立體積與邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系,由基本不等式得最值,或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.11、C【解析】
連接,為的中位線,從而,且,進(jìn)而,由此能求出橢圓的離心率.【詳解】如圖,連接,橢圓:的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,B、C為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),不妨設(shè)B在第二象限,直線BF交直線AC于M,且M為AC的中點(diǎn)為的中位線,,且,,解得橢圓的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
易得,,又,平方計(jì)算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點(diǎn)為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線離心率的問(wèn)題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①【解析】
由三角形的正弦定理和邊角關(guān)系可判斷①;由零點(diǎn)存在定理和二次函數(shù)的圖象可判斷②;由,結(jié)合奇函數(shù)的定義,可判斷③;由函數(shù)圖象對(duì)稱的特點(diǎn)可判斷④.【詳解】解:①在中,,故①正確;②函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn),比如在存在零點(diǎn),但是,故②錯(cuò)誤;③對(duì)于函數(shù),若,滿足,但可能為奇函數(shù),故③錯(cuò)誤;④函數(shù)與的圖象,可令,即,即有和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,即對(duì)稱,故④錯(cuò)誤.故答案為:①.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)存在定理和對(duì)稱性、奇偶性的判斷,考查判斷能力和推理能力,屬于中檔題.14、91【解析】
設(shè)共有選票張,且票對(duì)應(yīng)張數(shù)為,由此可構(gòu)造不等式組化簡(jiǎn)得到,由投票有效率越高越小,可知,由此計(jì)算可得投票有效率.【詳解】不妨設(shè)共有選票張,投票的有,票的有,票的有,則由題意可得:,化簡(jiǎn)得:,即,投票有效率越高,越小,則,,故本次投票的有效率(有效票數(shù)與總票數(shù)的比值)最高可能為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知條件構(gòu)造出變量所滿足的關(guān)系式.15、【解析】
求出,然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方,利用數(shù)量積的運(yùn)算計(jì)算.【詳解】由題意得,.,.,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求向量的模,掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ).本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算.16、【解析】
利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:,令,解得.∴,解得.故答案為:-2.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)二項(xiàng)式展開式的系數(shù)求參數(shù),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線方程;(2)對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,所以,則,故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(2)因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線的切線方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用分類討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.18、(1)79顆;(2)5.5秒.【解析】
(1)利用各小矩形的面積和為1可得,進(jìn)而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率,從而得到頻數(shù);(2)平均值的估計(jì)值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】(1)第一到第六組的頻率依次為0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和為1所以,,所以,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有(顆).(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為(秒).故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,涉及到平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.19、(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)椋傻?,即可求得答案;?)分別設(shè)、的斜率為和,切點(diǎn),,可得過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線方程為:,聯(lián)立直線方程和拋物線方程,得到關(guān)于一元二次方程,根據(jù),求得,,進(jìn)而求得切點(diǎn),坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求得,根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到切線的距離,進(jìn)而求得的面積.【詳解】(1),,解得,拋物線的方程為.(2)由題意可知,、的斜率都存在,分別設(shè)為和,切點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)的拋物線的切線:,由,消掉,可得,,即,解得,,又由,得,,,同理可得,,,,,切線的方程為,點(diǎn)到切線的距離為,,即的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求拋物線方程和拋物線中三角形面積問(wèn)題,解題關(guān)鍵是掌握拋物線定義和圓錐曲線與直線交點(diǎn)問(wèn)題時(shí),通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組,通過(guò)韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式20、(1)單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是和;(2)最大值是.【解析】
(1)求得,由題意可知和是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn),根據(jù)函數(shù)的符號(hào)變化可得出的符號(hào)變化,進(jìn)而可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間;(2)由(1)中的結(jié)論知,函數(shù)的極小值為,進(jìn)而得出,解出、、的值,然后利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】(1),令,因?yàn)?,所以的零點(diǎn)就是的零
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