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文檔簡(jiǎn)介
數(shù)列通項(xiàng)公式的解題模板
【考點(diǎn)綜述】
在高考中數(shù)列部分的考查既是重點(diǎn)又是難點(diǎn),不論是選擇題或填空題中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查,
還是壓軸題中與其他章節(jié)知識(shí)的綜合,抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵和解決數(shù)列難
題的瓶頸.求通項(xiàng)公式也是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn).由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方
法,因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng).
【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】
.第?步:利用又滿足條件p,
寫出當(dāng)2時(shí),S-1的表達(dá)式
.第二步:利用廝=S”一Sn_i(n>2),
解題方法模板一:..求出質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為廝的遞推公式的形式
S“法
第三步:根據(jù)5=&求出5,并代入{an}
的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證,若成立,則合并;
G若不成立,則寫出分段形式或根據(jù)5和{Qn}
D的遞推公式求Hm”
、第?步:將遞推公式H成a“+i-a“=f(n)
4第二步:依次弓fl|a—a”-i,,?,,。2—Qi,并
?將它們累加起來M
解題方法模板二.
累加法
?第二步闈到0n—田的值,解出所
G第四步:檢驗(yàn)方是杳滿足所求通項(xiàng)公式,
若成仁則合并;若不成。則寫出分段形式
“第一步:將遞推公式烏成盟=〃n)
第二步:依次寫出言二,???,賓,并
,將它們累乘起來’
解題方法模板三.
累乘法??第三步:得到案的值,解Ula“
G笫四步:檢臉Q1是否滿足所求通項(xiàng)公式,
P若成立,則合并:若不成立,則寫出分段形式
4第?步:假設(shè)將遞推公式改寫為
%+1+t=p(a”+t)
.第一步:山待定系數(shù)法,解得t=號(hào)
解題方法模板四
構(gòu)造法一
第二步:寫出數(shù)列{a“+號(hào)}的通項(xiàng)公式
◎第四步:寫出數(shù)列{%}通項(xiàng)公式.
數(shù)列通項(xiàng)公式卜■第一步:假設(shè)將遞推公式改寫為
On+1+X(n+1)4-1/=p(a?+an+y)
.第一步:由待定系數(shù)法,求小工,?的值
解題方法模板五
構(gòu)造法二一?第三步:導(dǎo)出數(shù)列{a“+M+y}的通項(xiàng)公式
第四步:寫出數(shù)列{?!埃?xiàng)公式
.第?步:在遞推公式兩邊同除以qn+1,
得和="+:
解題方法模板六..第二步:利用方法四,求數(shù)列{崇}的通項(xiàng)公式
構(gòu)造法三
一。第-:步:寫出數(shù)列{<!”}通項(xiàng)公式
4第?步:假設(shè)將遞推公式改寫成
On+1+san=t(an+SQn-1)
.第二步:利用待定系數(shù)法,求Ills"的值
解題方法模板七.
構(gòu)造法四-―第一:步:求數(shù)列{a“+i+"“}的通項(xiàng)公式
G第四步:根據(jù)數(shù)列{。的1+8。力的通項(xiàng)公式,求出
U{Q“}通項(xiàng)公式
4笫一步:將遞推公式兩邊取倒數(shù)得
?
y-L-=工_L+1夕
0t?一pP
解題方法模板八..第二步:利用方法五,求出數(shù)列{^;}的通項(xiàng)公式
構(gòu)造法五
②第;步:求出數(shù)列{a,J通項(xiàng)公式
.3第一步:
對(duì)遞推公式兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為如+i=pb“+q
解題方法模板九.
,第二步:利用方法五,求出數(shù)列{}的通項(xiàng)公式
構(gòu)造法六b,,
?第三步:求出數(shù)列{而}通項(xiàng)公式
【解題方法】
解題方法模板一:S“法
使用情景:已知S"=/(4)或S"=f(n)
解題模板:第一步利用S“滿足條件P,寫出當(dāng)“22時(shí),S,-的表達(dá)式;
第二步利用冊(cè)=Sn-Sn_](n>2),求出an或者轉(zhuǎn)化為a”的遞推公式的形式;
第三步根據(jù)q=E求出q,并代入{%}的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證,若成立,則合并;若不成
立,則寫出分段形式或根據(jù)?)和{??}的遞推公式求出
解題模板應(yīng)用:
例1在數(shù)列{?,}中,已知其前〃項(xiàng)和為S“=2"+3,則a,,=.
5,n=1
a=
【答案】"^2"-',n>2
【解析】
解題模板選擇:
本題中涉及S“=/(〃),故選取解題方法模板一法進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
第一步利用S“滿足條件。,寫出當(dāng)〃22時(shí),Si的表達(dá)式;
當(dāng)〃之2時(shí),S“T=2"T+3:
第二步利用%=S,-S,i(〃N2),求出a“或者轉(zhuǎn)化為a,,的遞推公式的形式;
n>24=S?-S?_,=(2"+3)-(2"-'+3)=2小
第三步得出結(jié)論:
5,〃=1
%=2"<2'
練習(xí)
1.已知數(shù)列{a〃}的前〃項(xiàng)和S〃滿足則加=()
_321、385
0,五D.—
64
【答案】B
【解析】
【分析】由Sn+an=2n,可得當(dāng)n>2時(shí),多-什a〃一1=2"—2,兩式相減可得出一
2}是首項(xiàng)為力一2,公比為J的等比數(shù)列,從而可得結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí),Sn-i+an-i=2n-2,又Sn+an=2n,
所以2a〃-8"-i=2,所以2(8〃-2)=/-i—2,
故{為一2}是首項(xiàng)為團(tuán)一2,公比為}的等比數(shù)列,
又$+仇=2,故為=1,所以為=一(;)+2,
44r1127
故<57=2———--,
6464
故選:B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式,考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式,考查
計(jì)算推理能力,是基礎(chǔ)題
2.設(shè)正數(shù)數(shù)列{4}的前“項(xiàng)和為s,,數(shù)列{SJ的前〃項(xiàng)之積為7;,且S,+7;=l,
則數(shù)列{4“}的通項(xiàng)公式是.
【答案】an~~77
n(n+\)
【解析】
【分析】令〃=1可得q=E=7;=:,利用7;的定義,S“=?(〃N2),可得7,的
遞推關(guān)系,從而得是等差數(shù)列,求出,后可得S“,從而可得見.
【詳解】4=$=6,=1,4=;,即5=(=;,
S.=,(〃N2)
即{1』是以2為首項(xiàng),1為公差
%
的等差數(shù)列,
11A71n
故〒=2+〃-1=〃+1,(=—S〃=-也符合此式,S〃=-J
/”〃+1〃+12〃+1
nn-\_1又?1
???當(dāng)〃22時(shí),。―“而q=g,..%
n〃(〃+1)
1
故答案為:an~
71(77+1)
【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式,解題中注意數(shù)列的和、數(shù)列的積與項(xiàng)的關(guān)系,
進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化.
如對(duì)積T.有5,,=/(〃22),對(duì)和s“有a“=S"-S“T(〃N2),另外這種關(guān)系中常常
/"-I
不包括〃=1的情形,需討論以確定是否一致.
3.設(shè)數(shù)列{4}的前.〃項(xiàng)和為S”,若q=g且當(dāng)〃之2時(shí),an=-Sn-Sn_},則{4}的
通項(xiàng)公式??=.
—n-1
2
【答案】.
?>2
【解析】
【分析】根據(jù)5“與4的關(guān)系,當(dāng)〃N2時(shí),可得q,=S“-S,T,從而可得
S,-S,T=—S,JS“T,從而可得!一3=1,進(jìn)而求出S“,再根據(jù)S,與%的關(guān)系即
可求解.
【詳解】當(dāng)〃22時(shí),
則S"-S“T=—S,JS.T,
J____1_
5F=i
4=」,:.S]=1,即1=2,
22E
—=2+(n-l)xl=/?+l,
S”
所以S“二—二
〃+1
cc11-1
所以當(dāng)力22時(shí),O〃=S“-S,I=F--=,
及+ln+
當(dāng)"二1時(shí),a=—不滿足上式,
]2f
故4="
」一n>2
n(n+1)
,2
故答案為:][
n>2
n(n+l)
【點(diǎn)睛】本題主要考查了S“與。,的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,需熟記公式,屬于
中檔題.
4—n
4.已知數(shù)列出}的前〃項(xiàng)和為T“,2b“=T“+2,凡=;,數(shù)列{4}的
也,,〃為偶數(shù)
前"項(xiàng)和為S“,若使得白恰好為數(shù)列{%}中的某個(gè)奇數(shù)項(xiàng),則數(shù)列論,}的通項(xiàng)
公式b?=,所有正整數(shù)m組成的集合為.
【答案】(1).2"(2).{2}
【解析】
【分析】先利用勿與7“的關(guān)系求出{"}的通項(xiàng)公式,然后再分別求出邑,”和S2“I的
,n+1
2,4-4
&-m+4/71H----------
表達(dá)式,從而A=----------------最后討論求值即可.
S-'一/+4加+上
3
【詳解】當(dāng)〃=1時(shí),24=(+2=4+2,所以4=2,
當(dāng)〃“時(shí),2么=7;+2①,2%=7;i+2②,①一②得:2bn-2bn_t=Tn-Tn_{=b?,
化簡(jiǎn)得"=2〃i,即3=2,
“n-l
所以數(shù)列也“}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以々=2-2"T=2";
$2,"=S奇+S斛
=[3+l+---+(5-2rn)]+(22+2*4+---22m)
加(3+5—2加)4(1—4")
F+1-4
4m+l2,4
----m"+4m——)
33
4?,4
52?>-l=S2m~a2m=7一一+4加一§,
4”用42"4”向—4
-----〃廣+4m——-m+4mH-------
?Sc2m=33二_____________3=4k
一%「4,〃244-244ZM-4-,
~n-1---m+4m———m+4機(jī)+-----
333
假設(shè)為第攵項(xiàng),攵為奇數(shù),
-3w2+12/n-4
所以人=—1二―>且為奇數(shù),
-m~+4"?+
3
只有當(dāng)加=2,攵=1滿足題意.
故答案為:2";{2}.
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考
查邏輯思維能力和計(jì)算能力,考查分析和解決問題的能力,屬于??碱}.
22
5.已知數(shù)列{風(fēng)}滿足:g+與t--+—-—=n+n(neN+),
23n+i
(1)求{4}的通項(xiàng)公式;
119
(2)設(shè)"=一,若數(shù)列{2}的前〃項(xiàng)和為S“,求滿足5〃>?的最小正整數(shù)
4()
【答案】(1)a?=2n(n+l).(2)20.
【解析】
\Sxn-1
【分析】(1)利用-S,i〃22即可求得;
,11111、
(2)由)=—/n=彳(——77).利用裂項(xiàng)相消法即可得.
an2〃(〃+1)2n〃+1
【詳解】(I)幺+"+…+?="+〃①
23?+1
當(dāng)〃=1時(shí),可得q=4,
當(dāng)〃22時(shí),幺+幺+???+4rL=(n-l)2+n-l,②
23n
①-②可得:
71+1
=2n(n+1),〃=1時(shí)也滿足,
an=2n(n+1).
可)匕」=—1
"an2〃(〃+1)2〃ZJ+1'
111)=如占,
S=—(1——+——
〃2223n〃+1
191119
又S">新'而'解得"19,
所以滿足S?>—的最小正整數(shù)”為20.
_5〃=i
【點(diǎn)晴】(1)利用“"=1S"—S“T〃N2求通項(xiàng)時(shí)要注意〃=1時(shí)的情況;
(2)裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和常用方法,要注意剩余哪些項(xiàng).
解題方法模板二:累加法
使用情景:型如見+i-?!?/(〃)或%+i=%+/(〃)
解題模板:第一步將遞推公式寫成4M-4=/(〃);
第二步依次寫出?!耙弧?一,…,4一。1,并將它們累加起來;
第三步得到4-q的值,解出見;
第四步檢驗(yàn)q是否滿足所求通項(xiàng)公式,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.
解題模板應(yīng)用:
例2數(shù)列{4}滿足%=1,對(duì)任意〃eN*都有?!?[=%+?!?〃,則
20154032八40342016
A、-----B、-------C、-----D、-------
2016201720172017
【答案】B
【解析】
解題模板選擇:
本題中涉及-勺=/(〃),故選取解題方法模板二累加法進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
第一步,將遞推公式寫成一《,=/(〃);
;4+1=an+〃+1,%+|-4=〃+1
第二步,依次寫出可一%_|,…,。2-4,并將它們累加起來;
%一4=2,。3-?2=3,?-?,??-an_x=n
第三步,得到4-弓值,解出仆;
所以=2+3+4+…+〃,
cc“,cc/n(n+l)12J11)
a=q+2+3+4+...+〃=1+2+3+4+...+〃=------,——------——2-------
2an?(?+1)n+\)
第四步,檢驗(yàn)為是否滿足所求通項(xiàng)公式,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.
qa2a.a2Ql6I22320162017;2017
故選8.
練習(xí)
6.已知數(shù)列{4}滿足q=28,%+i=2,則區(qū)的最小值為()
nn
29
A.--B.4^7—1C.
3
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用累和法,結(jié)合雙鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】由《“I一%=2〃知:34=2x1,4-4=2x2,...,an-an_y=2(/?-1),
相加得:%-4=九2一〃,----1,函數(shù)=-----1在(0,25/7)上單
nnx
調(diào)遞減,在(2夕,+8)上單調(diào)遞增,又xeN*,而5<2g<6,且§=?<?=?,
故選:C
【點(diǎn)睛】本題考查了累和法的應(yīng)用,雙鉤函數(shù)的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.
7.設(shè)數(shù)列{。“}滿足乜+1-(〃+1)%=—4=:,aa=__________.
〃+2',2
【答案】??=—
"〃+1
【解析】
【分析】對(duì)條件用-(〃+l)a“進(jìn)行化簡(jiǎn)然后運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)求和法推導(dǎo)
出通項(xiàng)
【詳解】+
.AiL=]=J_____]_
n+1n(〃+2)(〃+1)n+1n+2
.^n__411_J__]a2_色=JJ_
nn-\nn+\2123
累加可得”-6j__1
n2〃+1
?!◣?/p>
???〃]=—1,—=1+---1--=------
2n〃+1〃+1
〃+1
故答案為4=:]
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法,在形如用-(〃+1”“=/3的條件時(shí)將其
構(gòu)造出新的數(shù)列,然后運(yùn)用累積法進(jìn)行求解,需要學(xué)生掌握解題方法
8.設(shè)數(shù)列{《,}滿足q,M=4+2(〃+l),〃eN*,《=2,則數(shù)列{(一1)"。“}的前40項(xiàng)
和是.
【答案】840
【解析】
【分析】利用累加法可求得數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式4=〃(〃+1),再并項(xiàng)求和求解前
40項(xiàng)和即可.
【詳解】因?yàn)?用=%+2(〃+l),〃eN*,且q=2,
故時(shí),a2-at=4,=6,…?!耙弧?一=2",累加可得
/n(2+2n)/、
ctfJ=2+4+6+...+2〃—----------=〃(〃+1),
〃=1,4=2滿足上式,即%="(〃+1),
故{(一的前40項(xiàng)和S=—lx2+2x3—3x4+4x5.…一39x40+40x41
即S=2*2+2x4….2x40=2x生衛(wèi)上必=840.
2
故答案為:840
【點(diǎn)睛】本題主要考查了累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式、并項(xiàng)求和以及等差數(shù)列的求和
公式等.屬于中檔題.
9.在數(shù)列{q}中,4=2,%+]=a+ln(l+-),則a=.
nnn
【答案】2+lnn
【解析】
【詳解】因?yàn)閝=2,a,,+|=a“+ln(l+3,
n
?*-a〃=(4一an-\)+(〃〃一i一%-2)+,??+?4)+4
=(In〃-ln(〃-l))+(ln(〃—1)—ln(7t-2))H----F(In2—In1)+2
=2+ln〃.
10.已知在數(shù)列{4}中,4=11且一(〃-1)4+1=1,設(shè)2=一~,neN*,則=
anan+\
,數(shù)列也}前〃項(xiàng)和z,=.
n
【答案】(1).2/?-1(2).-一-
2〃+1
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得4立--一二(〃22),可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,即
nnn-\n-\
可求出通項(xiàng)公式,根據(jù)裂項(xiàng)相消法求出{〃}前“項(xiàng)和北.
【詳解】vna?-(n-l)an+i=1,
n-\nz?(n-l)n-1n
.?.也」=衛(wèi)...—(?>2)
nnn-\n-\
b-告鴦-"2)
.\azi=2n-l(n>2),n=l,q=1適合上式.
「.?!ǘ?〃-1,neN*,
1
bn=—^—=--------?--------=-
citlan+1(2/1-1)(2n+1)212〃-12〃+1
n
2〃+1
故答案為:2〃i狎
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式,通項(xiàng)公式,裂項(xiàng)相消法求和,屬于中
檔題.
解題方法模板三:累乘法
使用情景:型如也=/(")或4+i=%x/(〃)
解題模板:第一步將遞推公式寫成&"=/(〃):
第二步依次寫出區(qū),…,絲,并將它們累乘起來;
第三步得到區(qū)的值,解出凡;
a\
第四步檢驗(yàn)為是否滿足所求通項(xiàng)公式,若成立,則合并:若不成立,則寫出分段形式.
解題模板應(yīng)用:
例3己知數(shù)列{/}滿足q=]卬m求為
3〃+1
2
【答案】a=—
"3〃
【解析】
解題模板選擇:
本題中涉及4川=anx/(〃),故選取解題方法模板三累乘法進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
第一步,將遞推公式寫成也=/(〃);
4+i=〃
an〃+1
第二步,依次寫出2,…,&,并將它們累加起來;
%%
123
“2/4??-XXXx?-l??_1
a
%a2%n-\234naxn
第三步,得到答的值,解出4;
第四步,檢驗(yàn)外是否滿足所求通項(xiàng)公式,若成立,則合并;若不成立,則寫出分段形式.
22
:4=耳,an=
練習(xí)
11.已知數(shù)列為,—,…j,…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,則log4=()
an-\2
A.心+1)B.迎aC.她@D.”
422
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意,求得上匚,再利用累乘法即可求得《,再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算,即可
a,,-\
求得結(jié)果.
【詳解】由題設(shè)有&=1X2"T=2"T(〃N2),
%
n(n-l)
而a,=qx&x亥x…x2=lx2"2+fT=2丁(n>2),
4%??-1
當(dāng)八=1時(shí),4=1也滿足該式,故4=2^—
n(n-l)
所以lOg2《,=--一,
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式,涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算,屬綜合基礎(chǔ)題.
12.已知數(shù)列{4』滿足%=1,《加:二凡卜6k),則為=()
A.〃+1B.nC.---D.—
〃+1n
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式,利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可求解.
【詳解】由題意,數(shù)列{4}滿足a“+i='=a,,(〃wN*),所以4包=一、,
〃+1''ann+\
a,a,,a、a、n-\n-221,1
所以a“=jx3x…x二x」x“=------x--x...x-x-xl=-.
anAan_2a2a,nn-l32n
故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查累乘法在求通項(xiàng)公
式中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.
13.已知數(shù)列{褊滿足組=匕(烏巴一4+1(〃WN*),且力=6,則{莉的通項(xiàng)公
式為.
【答案】2n2—n
【解析】
【分析】由題意令77=1可得出,當(dāng)〃22時(shí),轉(zhuǎn)化條件可得〃="+1,進(jìn)而
n-ln
^!L-1
可得〃_°,即可得解.
n-l
【詳解】因?yàn)閿?shù)列{劣}滿足%=匕1[七_(dá)]+i(〃WN*),所以
nn卜〃+1)
①當(dāng)/7=1時(shí),%—1=0即ai=l,
②當(dāng)〃22時(shí),由%-1=巴口(智—??傻?/一1,
n〃["+1)----=------
n-\n
,、
??.數(shù)列上丁從第二項(xiàng)開始是常數(shù)列,
n-\
”T"T
又2_=2',上—二2,
2-1n-1
an=2rT-n(/?>2),
又q=1=2-1滿足上式,
2
:.an-2n-n.
故答案為:2〃2—〃.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了構(gòu)造新數(shù)列的
能力與運(yùn)算求解能力,合理構(gòu)造新數(shù)列是解題的關(guān)鍵,同時(shí)要注意〃的取值范圍,
屬于中檔題.
解題方法模板四:構(gòu)造法一
使用情景:型如。"+|=〃4+9(其中,4為常數(shù),且,4(〃-1)70,)
解題模板:第一步假設(shè)將遞推公式改寫為%+i+f=p(a”+f);
第二步由待定系數(shù)法,解得f=-J;
P-1
第三步寫出數(shù)列{r例+3q、}的通項(xiàng)公式;
第四步寫出數(shù)列{%}通項(xiàng)公式.
解題模板應(yīng)用:
例4已知數(shù)列{4}滿足q=1,%+產(chǎn)2《,+1(〃eN*),求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式.
n
【答案】an=2-l
【解析】
解題模板選擇:
本題中涉及4"+i=pan+q,故選取解題方法模板四構(gòu)造法一進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
解題模板:
第一步,假設(shè)將遞推公式改寫為%+i+f=p(a“+f);
構(gòu)造新數(shù)列{G“+p},其中P為常數(shù),使之成為公比是G“的系數(shù)2的等比數(shù)列
二?%M+〃=2(%+〃)
第二步,由待定系數(shù)法,解得r=—J;
P-1
整理得:+〃使之滿足。7=24+1/.p=i[
第三步,寫出數(shù)列{《,+g}的通項(xiàng)公式;
P-1
即E+1)是首項(xiàng)為G]+1=2,q=2的等比數(shù)列,??4+1=2?2在
第四步,寫出數(shù)列{4“}通項(xiàng)公式.
%=2"-1
練習(xí)
14.已知數(shù)列{勺}滿足3《用+勺=4("21),且q=9,其前n項(xiàng)之和為S“,則滿足
不等式|S,-〃-6k*的最小整數(shù)n是
A.5B.6C.7D.8
【答案】C
【解析】
【分析】首先分析題目已知3an+i+an=4(n6N*)且ai=9,其前n項(xiàng)和為Sn,求滿足
不等式0-n-6|V上的最小整數(shù)n.故可以考慮把等式3ae+an=4變形得到
=然后根據(jù)數(shù)列bn=an-1為等比數(shù)列,求出Sn代入絕對(duì)值不等式求解
4,-13
即可得到答案.
【詳解】對(duì)3an+i+an=4變形得:3(an+i-1)="(an-1)
故可以分析得到數(shù)列b?=a?-1為首項(xiàng)為8公比為-g的等比數(shù)歹U.
所以bn=an-l=8x
解得最小的正整數(shù)n=7
故選C.
【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式的求解問題,其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求
和問題,屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題,判斷出數(shù)列an-1為等比數(shù)列是題目的
關(guān)鍵,有一定的技巧性屬于中檔題目.
15.若q=1,an=2a“T+\(n>2,neN),則an=.
【答案】r-\
【解析】
【分析】將原式化為%+1=2(%T+1)(H>2),可得{%+1}是首項(xiàng)為2,公比為
2的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.
【詳解】原式可化為%+1=2(4_1+1)(?>2),
因?yàn)閝+l=2,所以{q,+l}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,
所以4+1=2",即—
故答案為:2,1-1.
【點(diǎn)睛】本題主要由數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列,使之成等差數(shù)列或等比數(shù)列的問
題,構(gòu)造是關(guān)鍵,屬于中檔題.
解題方法模板五:構(gòu)造法二
使用情景:型如(其中〃目為常數(shù),且〃工0,)
解題模板:第一步假設(shè)將遞推公式改寫為a“+i+x(〃+l)+y=p(a“+x〃+y);
第二步由待定系數(shù)法,求出x,>的值;
第三步寫出數(shù)列{a.+x〃+y}的通項(xiàng)公式;
第四步寫出數(shù)列{%}通項(xiàng)公式.
解題模板應(yīng)用:
例5已知數(shù)列{an}滿足an+l=2a“+3/+4〃+5,%=1,求數(shù)歹U{q,}的通項(xiàng)公式.
【答案】a?=2,,+4-3n2-10?-18
【解析】
解題模板選擇:
本題中涉及4+1=pan+qn+r,故選取解題方法模板五構(gòu)造法二進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
解題模板:
第一步,假設(shè)將遞推公式改寫為4+|+*(〃+1)+y=p(an+xn+y).
設(shè)a*.+尸(〃+1)+2=2(。凡+必’+)力+z)⑥
%+x(〃+l),+)G+l)+z=2(a”+m,+yn+z)
將-初+3”'+4”+5代入⑥式,得
2
24+3n+4"+5+M”+l)2+iy("+l)+z=2(?!?必2+y”+z)貝U
1aK+(3+X)M+(2x+y+4)”+(x+y+z+5)=2aK+2XJ^+2yn+2z
等式兩邊消去2?!?得(3+x)/+(2x+y+4)〃+(x+y+z+5)=2xM,+2jn+2z,
第二步,由待定系數(shù)法,求出的值;
3+x=2xx=3
解方程組2x+y+4=2y.則J尸10,RA@S.得
x+y+z+5=2zz=18
第三步,寫出數(shù)列{4+w+y}的通項(xiàng)公式;
4,+3(〃+1)2+10(”+1)+18=2(4+3/+10〃+18)⑨
由q+3xl2+K)xl+18=l+31=32H0及⑨式,^a?+3n2.10n+18-.0
則—+3("+iy+10("+l)+18=2,故朝jg+3M+ic,+i8}大上
O,+3?*+10?J+18
q+3xF+iOxl+18=l+31=32為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,因此
a“+3〃2+]0〃+i8=32x2"T,
第四步,寫出數(shù)列{%}通項(xiàng)公式.
則=2"4-3〃2-10〃一18.
練習(xí)
16.已知數(shù)列{4,}的首項(xiàng)q=21,且滿足(2〃-5)1=(2〃-3)%+4/―16〃+15,
則{4}的最小的一項(xiàng)是
A.a5B.6C.%D.%
【答案】A
【解析】
【分析】利用配湊法將題目所給遞推公式轉(zhuǎn)化為+即證得
2〃-32n-512/7-5
為首項(xiàng)為-7,公差為1的等差數(shù)列,由此求得的表達(dá)式,進(jìn)而求得?!钡谋磉_(dá)
2/7-5
式,并根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得當(dāng)〃=5時(shí)有最小值.
【詳解】由己知得詈%=;4+1,3=-7,所以數(shù)列[詈公]為首項(xiàng)為-7,
2〃-32〃-52-512”5j
公差為1的等差數(shù)列,-^-=-7+(/?-1)=/?-8,貝iJ%=(2〃—5)5—8),其對(duì)稱軸
2〃一5
〃=寫=5.25.所以{4}的最小的一項(xiàng)是第5項(xiàng).故選A.
【點(diǎn)睛】本小題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查二次函數(shù)求最值的
方法,屬于中檔題.
解題方法模板六:構(gòu)造法三
使用情景:型如%+i=p%+4”(其中P,9為常數(shù),且P4(P—
,a,pa?1
解題模板:第一步在遞推公式兩邊同除以<?"+'得n*+=彳,才十一;
第二步利用方法四,求數(shù)列{?。耐?xiàng)公式;
第三步寫出數(shù)列{%}通項(xiàng)公式.
解題模板應(yīng)用:
例6已知數(shù)列{。“}滿足4+1=24+3x2”,4=2,求數(shù)列{/}的通項(xiàng)公式.
31
【答案】a?=(-n--)2-
【解析】
解題模板選擇:
本題涉及問題,故選取解題方法模板六:構(gòu)造法三進(jìn)行解答.
解題模板應(yīng)用:
第一步,在遞推公式兩邊同除以得潑■=彳,/+/;
44=2^+3、2”兩邊除以22,得翱=*+:,則相一黑=:,故數(shù)列{*}是以
為百項(xiàng),以I為公差的等差數(shù)列,
2*22
第二步,利用方法五,求數(shù)列{*}的通項(xiàng)公式;
q
由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得*=1+(”-1)三,
22
第三步,寫出數(shù)列{?!埃?xiàng)公式.
練習(xí)
17.已知數(shù)列{4}的前“項(xiàng)和S“=2a〃—2"+i,若不等式2/一〃—3<(5-團(tuán)4,對(duì)
V〃eN+恒成立,則整數(shù)4的最大值為.
【答案】4
【解析】
【詳解】當(dāng)〃=1時(shí),S[=2%-2?,得q=4,
當(dāng)”22時(shí),S,,_l=2an-2",
又S“=2a”-2田,
兩式相減得=2an-2a,i-2",得a0=24T+2",
所以會(huì)-翳=L
又會(huì)=2,所以數(shù)列]墨}是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,
之=〃+1,即=(〃+1>2".
2〃一3
因?yàn)?>0,所以不等式2/一〃—3<(5-田%等價(jià)于5-4>二工
2/7-3,1,
記2,a=一]也
2”4
2/?-1
2”“2”-1
〃22時(shí),
hn2〃-34n-6
2"
h
所以〃之3時(shí),片
3
綜上,電)2=A=d,
O
所以5-4>3g"<5-3?=37所以整數(shù)4的最大值為4.
888
考點(diǎn):1.數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.解不等式.
18.已知數(shù)列{風(fēng)}滿足q=4,a.=2a,i+2”(〃N2,〃eN*),若不等式
2萬-“-3<(5-義”“對(duì)任意”eM恒成立,則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.
【答案】(口,3?7)
O
【解析】
【分析】由數(shù)列遞推公式,求得?!?(〃+1>2",把不等式2〃2-〃-3<(5-勿風(fēng)對(duì)任
2“一32”一3
意〃cN*恒成立,轉(zhuǎn)化為2<5-與上對(duì)任意〃wN*恒成立,設(shè)〃〃)=安工求
得了(〃)的單調(diào)性與最值,即可求解.
【詳解】由題意,數(shù)列{4}滿足q=4,a“=2a,i+2"("N2,〃eN*),
則及=符+1(常數(shù)),所以數(shù)列{%}是以捺=2為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,
所以2■=2+(〃—1)x1=〃+1,整理得q=(〃+1)-2",
不等式2/-〃-3<(5-"可對(duì)任意〃eN*恒成立,
即5-X>力,;,3=與2對(duì)任意“e恒成立,
即幾<5-善0對(duì)任意〃wN*恒成立,
設(shè)小)=亨,則仆+1)-4)=咒『一三=,
當(dāng)〃=1,2時(shí),/(〃+1)一/(〃)>(),此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列;
當(dāng)“N3,〃eN+時(shí),/(〃+1)二/?(〃)<(),此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列,
13337
又由“2)=T"3)=£所以4<5-丁方,
4OOO
即實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,3.7).
O
37
故答案為:(―°°,—).
O
【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及恒成立問
題的求解和數(shù)列的單調(diào)性的判定及應(yīng)用,著重考查轉(zhuǎn)化思想,以及推理與運(yùn)算能力,
屬于中檔試題.
19.在數(shù)列{%}中,卬=1,且a,用=3%+(-1)”,則?!?.(用含〃的式子表示)
[答案]3"(一。"
4
【解析】
【分析】將條件變形為1)”"=3%+;(—1)”,即數(shù)列卜是首
3
項(xiàng)為:,公比為3的等比數(shù)列,然后可算出答案.
4
【詳解】因?yàn)橛?3a“+(—1)",所以%+;(-1戶=3%+;(-1)”,
所以數(shù)列”是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,
所以《+;(-1yq
所以4,■一:(一1)“?
故答案為:
4
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
n
20.已知在數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)之和為S.,若q=2,an+i=an+2-'+1,則幾=
【答案】1078
【解析】
【詳解】q=2,a“M=a"+2"T+l=a“+「a,,=2"T+l
aa
=>n=3“一n-\)+(。〃_]一。〃一2)---F(%-出)+(。2-=
%=2”-2+2"-3+.??+2+1+〃—1+4.
1_2〃T
=---------F〃-1+2=2,,_|+n.
1-2
品>=1+2+2?+?.?+29+
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