數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略解題模板-高中數(shù)學(xué)解題模板

數(shù)列通項(xiàng)公式的解題模板

【考點(diǎn)綜述】

在高考中數(shù)列部分的考查既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，不論是選擇題或填空題中對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，

還是壓軸題中與其他章節(jié)知識(shí)的綜合，抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式通常是解題的關(guān)鍵和解決數(shù)列難

題的瓶頸.求通項(xiàng)公式也是學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)的一個(gè)難點(diǎn).由于求通項(xiàng)公式時(shí)滲透多種數(shù)學(xué)思想方

法，因此求解過程中往往顯得方法多、靈活度大、技巧性強(qiáng).

【解題方法思維導(dǎo)圖預(yù)覽】

.第?步:利用又滿足條件p,

寫出當(dāng)2時(shí),S-1的表達(dá)式

.第二步:利用廝=S”一Sn_i(n>2),

解題方法模板一：..求出質(zhì)或者轉(zhuǎn)化為廝的遞推公式的形式

S“法

第三步:根據(jù)5=&求出5,并代入｛an｝

的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；

G若不成立，則寫出分段形式或根據(jù)5和｛Qn｝

D的遞推公式求Hm”

、第?步:將遞推公式H成a“+i-a“=f(n)

4第二步:依次弓fl|a—a”-i,,?,,。2—Qi，并

?將它們累加起來M

解題方法模板二.

累加法

?第二步闈到0n—田的值，解出所

G第四步:檢驗(yàn)方是杳滿足所求通項(xiàng)公式，

若成仁則合并;若不成。則寫出分段形式

“第一步:將遞推公式烏成盟=〃n)

第二步:依次寫出言二,???，賓，并

,將它們累乘起來’

解題方法模板三.

累乘法??第三步:得到案的值，解Ula“

G笫四步:檢臉Q1是否滿足所求通項(xiàng)公式，

P若成立，則合并:若不成立，則寫出分段形式

4第?步:假設(shè)將遞推公式改寫為

%+1+t=p(a”+t)

.第一步:山待定系數(shù)法，解得t=號(hào)

解題方法模板四

構(gòu)造法一

第二步:寫出數(shù)列｛a“+號(hào)｝的通項(xiàng)公式

◎第四步:寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式.

數(shù)列通項(xiàng)公式卜■第一步：假設(shè)將遞推公式改寫為

On+1+X(n+1)4-1/=p(a?+an+y)

.第一步：由待定系數(shù)法，求小工,？的值

解題方法模板五

構(gòu)造法二一?第三步:導(dǎo)出數(shù)列｛a“+M+y｝的通項(xiàng)公式

第四步:寫出數(shù)列｛?！埃?xiàng)公式

.第?步:在遞推公式兩邊同除以qn+1,

得和="+:

解題方法模板六..第二步:利用方法四，求數(shù)列｛崇｝的通項(xiàng)公式

構(gòu)造法三

一。第-：步:寫出數(shù)列｛<!”｝通項(xiàng)公式

4第?步:假設(shè)將遞推公式改寫成

On+1+san=t(an+SQn-1)

.第二步:利用待定系數(shù)法，求Ills"的值

解題方法模板七.

構(gòu)造法四-―第一:步:求數(shù)列｛a“+i+"“｝的通項(xiàng)公式

G第四步:根據(jù)數(shù)列｛。的1+8。力的通項(xiàng)公式，求出

U｛Q“｝通項(xiàng)公式

4笫一步:將遞推公式兩邊取倒數(shù)得

?

y-L-=工_L+1夕

0t?一pP

解題方法模板八..第二步:利用方法五，求出數(shù)列｛^;｝的通項(xiàng)公式

構(gòu)造法五

②第；步:求出數(shù)列｛a,J通項(xiàng)公式

.3第一步：

對(duì)遞推公式兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為如+i=pb“+q

解題方法模板九.

,第二步:利用方法五，求出數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式

構(gòu)造法六b,,

?第三步:求出數(shù)列｛而｝通項(xiàng)公式

【解題方法】

解題方法模板一：S“法

使用情景:已知S"=/(4)或S"=f(n)

解題模板：第一步利用S“滿足條件P,寫出當(dāng)“22時(shí)，S,-的表達(dá)式；

第二步利用冊(cè)=Sn-Sn_](n>2),求出an或者轉(zhuǎn)化為a”的遞推公式的形式；

第三步根據(jù)q=E求出q,并代入｛%｝的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證，若成立，則合并；若不成

立，則寫出分段形式或根據(jù)?)和｛??｝的遞推公式求出

解題模板應(yīng)用：

例1在數(shù)列｛?,｝中，已知其前〃項(xiàng)和為S“=2"+3,則a,,=.

5,n=1

a=

【答案】"^2"-',n>2

【解析】

解題模板選擇：

本題中涉及S“=/(〃)，故選取解題方法模板一法進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步利用S“滿足條件。，寫出當(dāng)〃22時(shí)，Si的表達(dá)式；

當(dāng)〃之2時(shí)，S“T=2"T+3：

第二步利用%=S,-S,i(〃N2),求出a“或者轉(zhuǎn)化為a,,的遞推公式的形式；

n>24=S?-S?_,=(2"+3)-(2"-'+3)=2小

第三步得出結(jié)論：

5,〃=1

%=2"<2'

練習(xí)

1.已知數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和S〃滿足則加=()

_321、385

0，五D.—

64

【答案】B

【解析】

【分析】由Sn+an=2n,可得當(dāng)n>2時(shí),多-什a〃一1=2"—2,兩式相減可得出一

2｝是首項(xiàng)為力一2,公比為J的等比數(shù)列,從而可得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)時(shí)，Sn-i+an-i=2n-2,又Sn+an=2n,

所以2a〃-8"-i=2,所以2(8〃-2)=/-i—2,

故｛為一2｝是首項(xiàng)為團(tuán)一2,公比為｝的等比數(shù)列,

又$+仇=2,故為=1,所以為=一(；)+2,

44r1127

故<57=2———--,

6464

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查

計(jì)算推理能力，是基礎(chǔ)題

2.設(shè)正數(shù)數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和為s,,數(shù)列｛SJ的前〃項(xiàng)之積為7；,且S,+7；=l,

則數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)公式是.

【答案】an~~77

n(n+\)

【解析】

【分析】令〃=1可得q=E=7；=:，利用7；的定義，S“=?(〃N2),可得7,的

遞推關(guān)系，從而得是等差數(shù)列，求出，后可得S“，從而可得見.

【詳解】4=$=6，=1,4=；，即5=(=；,

S.=，(〃N2)

即｛1』是以2為首項(xiàng)，1為公差

%

的等差數(shù)列,

11A71n

故〒=2+〃-1=〃+1,(=—S〃=-也符合此式，S〃=-J

/”〃+1〃+12〃+1

nn-\_1又?1

???當(dāng)〃22時(shí)，。―“而q=g,..%

n〃(〃+1)

1

故答案為：an~

71(77+1)

【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題中注意數(shù)列的和、數(shù)列的積與項(xiàng)的關(guān)系，

進(jìn)行相應(yīng)的轉(zhuǎn)化.

如對(duì)積T.有5,,=/（〃22）,對(duì)和s“有a“=S"-S“T（〃N2）,另外這種關(guān)系中常常

/"-I

不包括〃=1的情形，需討論以確定是否一致.

3.設(shè)數(shù)列｛4｝的前.〃項(xiàng)和為S”，若q=g且當(dāng)〃之2時(shí)，an=-Sn-Sn_｝,則｛4｝的

通項(xiàng)公式??=.

—n-1

2

【答案】.

?>2

【解析】

【分析】根據(jù)5“與4的關(guān)系，當(dāng)〃N2時(shí)，可得q,=S“-S,T，從而可得

S,-S,T=—S,JS“T，從而可得!一3=1,進(jìn)而求出S“，再根據(jù)S,與%的關(guān)系即

可求解.

【詳解】當(dāng)〃22時(shí)，

則S"-S“T=—S,JS.T，

J____1_

5F=i

4=」，:.S]=1,即1=2,

22E

—=2+(n-l)xl=/?+l,

S”

所以S“二—二

〃+1

cc11-1

所以當(dāng)力22時(shí)，O〃=S“-S,I=F--=,

及+ln+

當(dāng)"二1時(shí)，a=—不滿足上式，

]2f

故4="

」一n>2

n(n+1)

,2

故答案為：][

n>2

n(n+l)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了S“與。，的關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于

中檔題.

4—n

4.已知數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為T“，2b“=T“+2,凡=；,數(shù)列｛4｝的

也,，〃為偶數(shù)

前"項(xiàng)和為S“，若使得白恰好為數(shù)列｛%｝中的某個(gè)奇數(shù)項(xiàng)，則數(shù)列論,｝的通項(xiàng)

公式b?=,所有正整數(shù)m組成的集合為.

【答案】(1).2"(2).｛2｝

【解析】

【分析】先利用勿與7“的關(guān)系求出｛"｝的通項(xiàng)公式，然后再分別求出邑，”和S2“I的

,n+1

2,4-4

&-m+4/71H----------

表達(dá)式，從而A=----------------最后討論求值即可.

S-'一/+4加+上

3

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，24=(+2=4+2,所以4=2,

當(dāng)〃“時(shí)，2么=7；+2①，2%=7；i+2②，①一②得：2bn-2bn_t=Tn-Tn_{=b?,

化簡(jiǎn)得"=2〃i，即3=2,

“n-l

所以數(shù)列也“｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以々=2-2"T=2"；

$2,"=S奇+S斛

=[3+l+---+(5-2rn)]+(22+2*4+---22m)

加(3+5—2加)4(1—4")

F+1-4

4m+l2，4

----m"+4m——)

33

4?,4

52?>-l=S2m~a2m=7一一+4加一§，

4”用42"4”向—4

-----〃廣+4m——-m+4mH-------

?Sc2m=33二_____________3=4k

一%「4，〃244-244ZM-4-，

~n-1---m+4m———m+4機(jī)+-----

333

假設(shè)為第攵項(xiàng)，攵為奇數(shù)，

-3w2+12/n-4

所以人=—1二―>且為奇數(shù)，

-m~+4"?+

3

只有當(dāng)加=2,攵=1滿足題意.

故答案為：2";｛2｝.

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考

查邏輯思維能力和計(jì)算能力，考查分析和解決問題的能力，屬于?？碱}.

22

5.已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足:g+與t--+—-—=n+n(neN+),

23n+i

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

119

(2)設(shè)"=一，若數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S“，求滿足5〃>?的最小正整數(shù)

4()

【答案】(1)a?=2n(n+l).(2)20.

【解析】

\Sxn-1

【分析】（1）利用-S,i〃22即可求得;

,11111、

(2)由)=—/n=彳(——77).利用裂項(xiàng)相消法即可得.

an2〃(〃+1)2n〃+1

【詳解】(I)幺+"+…+?="+〃①

23?+1

當(dāng)〃=1時(shí)，可得q=4,

當(dāng)〃22時(shí)，幺+幺+???+4rL=(n-l)2+n-l,②

23n

①-②可得：

71+1

=2n(n+1),〃=1時(shí)也滿足,

an=2n(n+1).

可)匕」=—1

"an2〃(〃+1)2〃ZJ+1'

111）=如占，

S=—(1——+——

〃2223n〃+1

191119

又S"＞新'而'解得"19,

所以滿足S?>—的最小正整數(shù)”為20.

_5〃=i

【點(diǎn)晴】（1）利用“"=1S"—S“T〃N2求通項(xiàng)時(shí)要注意〃=1時(shí)的情況;

（2）裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和常用方法，要注意剩余哪些項(xiàng).

解題方法模板二：累加法

使用情景：型如見+i-?！?/（〃）或%+i=%+/（〃）

解題模板：第一步將遞推公式寫成4M-4=/(〃)；

第二步依次寫出?！耙弧?一,…,4一。1，并將它們累加起來;

第三步得到4-q的值，解出見;

第四步檢驗(yàn)q是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.

解題模板應(yīng)用:

例2數(shù)列｛4｝滿足％=1,對(duì)任意〃eN*都有?！?[=%+?！?〃，則

20154032八40342016

A、-----B、-------C、-----D、-------

2016201720172017

【答案】B

【解析】

解題模板選擇：

本題中涉及-勺=/(〃)，故選取解題方法模板二累加法進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步，將遞推公式寫成一《,=/(〃)；

；4+1=an+〃+1，%+|-4=〃+1

第二步，依次寫出可一%_|,…,。2-4，并將它們累加起來；

%一4=2,。3-?2=3,?-?,??-an_x=n

第三步，得到4-弓值，解出仆；

所以=2+3+4+…+〃，

cc“，cc/n(n+l)12J11)

a=q+2+3+4+...+〃=1+2+3+4+...+〃=------,——------——2-------

2an?(?+1)n+\)

第四步，檢驗(yàn)為是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.

qa2a.a2Ql6I22320162017；2017

故選8.

練習(xí)

6.已知數(shù)列｛4｝滿足q=28,%+i=2,則區(qū)的最小值為()

nn

29

A.--B.4^7—1C.

3

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用累和法，結(jié)合雙鉤函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

【詳解】由《“I一%=2〃知：34=2x1,4-4=2x2,...,an-an_y=2(/?-1),

相加得：%-4=九2一〃，----1,函數(shù)=-----1在(0,25/7)上單

nnx

調(diào)遞減，在(2夕,+8)上單調(diào)遞增，又xeN*,而5<2g<6,且§=?<?=?，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了累和法的應(yīng)用，雙鉤函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

7.設(shè)數(shù)列｛。“｝滿足乜+1-(〃+1)%=—4=：,aa=__________.

〃+2'，2

【答案】??=—

"〃+1

【解析】

【分析】對(duì)條件用-(〃+l)a“進(jìn)行化簡(jiǎn)然后運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)求和法推導(dǎo)

出通項(xiàng)

【詳解】+

.AiL=]=J_____]_

n+1n(〃+2)(〃+1)n+1n+2

.^n__411_J__]a2_色=JJ_

nn-\nn+\2123

累加可得”-6j__1

n2〃+1

?！◣?/p>

???〃]=—1,—=1+---1--=------

2n〃+1〃+1

〃+1

故答案為4=:]

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，在形如用-（〃+1”“=/3的條件時(shí)將其

構(gòu)造出新的數(shù)列，然后運(yùn)用累積法進(jìn)行求解，需要學(xué)生掌握解題方法

8.設(shè)數(shù)列｛《,｝滿足q,M=4+2（〃+l）,〃eN*,《=2,則數(shù)列｛（一1）"。“｝的前40項(xiàng)

和是.

【答案】840

【解析】

【分析】利用累加法可求得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4=〃（〃+1）,再并項(xiàng)求和求解前

40項(xiàng)和即可.

【詳解】因?yàn)?用=%+2（〃+l）,〃eN*,且q=2,

故時(shí)，a2-at=4,=6,…?！耙弧?一=2",累加可得

/n（2+2n）/、

ctfJ=2+4+6+...+2〃—----------=〃（〃+1）,

〃=1,4=2滿足上式，即%="（〃+1）,

故｛（一的前40項(xiàng)和S=—lx2+2x3—3x4+4x5.…一39x40+40x41

即S=2*2+2x4….2x40=2x生衛(wèi)上必=840.

2

故答案為：840

【點(diǎn)睛】本題主要考查了累加法求解數(shù)列通項(xiàng)公式、并項(xiàng)求和以及等差數(shù)列的求和

公式等.屬于中檔題.

9.在數(shù)列｛q｝中，4=2,%+]=a+ln(l+-),則a=.

nnn

【答案】2+lnn

【解析】

【詳解】因?yàn)閝=2,a,,+|=a“+ln(l+3,

n

?*-a〃=(4一an-\)+(〃〃一i一%-2)+,??+?4)+4

=(In〃-ln(〃-l))+(ln(〃—1)—ln(7t-2))H----F(In2—In1)+2

=2+ln〃.

10.已知在數(shù)列｛4｝中，4=11且一(〃-1)4+1=1，設(shè)2=一~，neN*，則=

anan+\

，數(shù)列也｝前〃項(xiàng)和z,=.

n

【答案】(1).2/?-1(2).-一-

2〃+1

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得4立--一二(〃22),可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，即

nnn-\n-\

可求出通項(xiàng)公式，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求出｛〃｝前“項(xiàng)和北.

【詳解】vna?-(n-l)an+i=1,

n-\nz?(n-l)n-1n

.?.也」=衛(wèi)...—(?>2)

nnn-\n-\

b-告鴦-"2)

.\azi=2n-l(n>2),n=l,q=1適合上式.

「.?！ǘ?〃-1,neN*,

1

bn=—^—=--------?--------=-

citlan+1(2/1-1)(2n+1)212〃-12〃+1

n

2〃+1

故答案為：2〃i狎

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中

檔題.

解題方法模板三：累乘法

使用情景：型如也=/（"）或4+i=%x/（〃）

解題模板：第一步將遞推公式寫成&"=/（〃）：

第二步依次寫出區(qū)，…，絲，并將它們累乘起來；

第三步得到區(qū)的值，解出凡；

a\

第四步檢驗(yàn)為是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并：若不成立，則寫出分段形式.

解題模板應(yīng)用：

例3己知數(shù)列｛/｝滿足q=］卬m求為

3〃+1

2

【答案】a=—

"3〃

【解析】

解題模板選擇：

本題中涉及4川=anx/（〃），故選取解題方法模板三累乘法進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步，將遞推公式寫成也=/（〃）；

4+i=〃

an〃+1

第二步，依次寫出2，…，&,并將它們累加起來;

%%

123

“2/4??-XXXx?-l??_1

a

%a2%n-\234naxn

第三步，得到答的值，解出4;

第四步，檢驗(yàn)外是否滿足所求通項(xiàng)公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式.

22

:4=耳，an=

練習(xí)

11.已知數(shù)列為,—,…j,…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，則log4=()

an-\2

A.心+1)B.迎aC.她@D.”

422

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得上匚，再利用累乘法即可求得《，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可

a,,-\

求得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)有&=1X2"T=2"T(〃N2),

%

n(n-l)

而a,=qx&x亥x…x2=lx2"2+fT=2丁(n>2),

4%??-1

當(dāng)八=1時(shí)，4=1也滿足該式，故4=2^—

n(n-l)

所以lOg2《,=--一，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬綜合基礎(chǔ)題.

12.已知數(shù)列｛4』滿足％=1,《加:二凡卜6k)，則為=()

A.〃+1B.nC.---D.—

〃+1n

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式，利用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝滿足a“+i='=a,,(〃wN*),所以4包=一、，

〃+1''ann+\

a,a,,a、a、n-\n-221,1

所以a“=jx3x…x二x」x“=------x--x...x-x-xl=-.

anAan_2a2a,nn-l32n

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查由遞推公式求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查累乘法在求通項(xiàng)公

式中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知數(shù)列｛褊滿足組=匕(烏巴一4+1(〃WN*),且力=6,則｛莉的通項(xiàng)公

式為.

【答案】2n2—n

【解析】

【分析】由題意令77=1可得出，當(dāng)〃22時(shí)，轉(zhuǎn)化條件可得〃="+1,進(jìn)而

n-ln

^!L-1

可得〃_°，即可得解.

n-l

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛劣｝滿足%=匕1[七_(dá)]+i(〃WN*)，所以

nn卜〃+1)

①當(dāng)/7=1時(shí)，％—1=0即ai=l,

②當(dāng)〃22時(shí)，由％-1=巴口(智—?？傻?/一1，

n〃["+1)----=------

n-\n

,、

??.數(shù)列上丁從第二項(xiàng)開始是常數(shù)列，

n-\

”T"T

又2_=2'，上—二2，

2-1n-1

an=2rT-n(/?>2),

又q=1=2-1滿足上式，

2

：.an-2n-n.

故答案為：2〃2—〃.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了構(gòu)造新數(shù)列的

能力與運(yùn)算求解能力，合理構(gòu)造新數(shù)列是解題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意〃的取值范圍,

屬于中檔題.

解題方法模板四：構(gòu)造法一

使用情景：型如。"+|=〃4+9(其中，4為常數(shù)，且，4(〃-1)70,)

解題模板：第一步假設(shè)將遞推公式改寫為%+i+f=p(a”+f)；

第二步由待定系數(shù)法，解得f=-J；

P-1

第三步寫出數(shù)列｛r例+3q、｝的通項(xiàng)公式；

第四步寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式.

解題模板應(yīng)用：

例4已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,%+產(chǎn)2《,+1(〃eN*)，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

n

【答案】an=2-l

【解析】

解題模板選擇：

本題中涉及4"+i=pan+q,故選取解題方法模板四構(gòu)造法一進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

解題模板：

第一步，假設(shè)將遞推公式改寫為％+i+f=p（a“+f）;

構(gòu)造新數(shù)列｛G“+p｝,其中P為常數(shù)，使之成為公比是G“的系數(shù)2的等比數(shù)列

二?％M+〃=2（%+〃）

第二步，由待定系數(shù)法，解得r=—J；

P-1

整理得：+〃使之滿足。7=24+1/.p=i[

第三步，寫出數(shù)列｛《,+g｝的通項(xiàng)公式；

P-1

即E+1）是首項(xiàng)為G]+1=2,q=2的等比數(shù)列,??4+1=2?2在

第四步，寫出數(shù)列｛4“｝通項(xiàng)公式.

%=2"-1

練習(xí)

14.已知數(shù)列｛勺｝滿足3《用+勺=4（"21）,且q=9,其前n項(xiàng)之和為S“，則滿足

不等式|S,-〃-6k*的最小整數(shù)n是

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】首先分析題目已知3an+i+an=4（n6N*）且ai=9,其前n項(xiàng)和為Sn,求滿足

不等式0-n-6|V上的最小整數(shù)n.故可以考慮把等式3ae+an=4變形得到

=然后根據(jù)數(shù)列bn=an-1為等比數(shù)列，求出Sn代入絕對(duì)值不等式求解

4,-13

即可得到答案.

【詳解】對(duì)3an+i+an=4變形得：3(an+i-1)="(an-1)

故可以分析得到數(shù)列b?=a?-1為首項(xiàng)為8公比為-g的等比數(shù)歹U.

所以bn=an-l=8x

解得最小的正整數(shù)n=7

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查不等式的求解問題,其中涉及到可化為等比數(shù)列的數(shù)列的求

和問題，屬于不等式與數(shù)列的綜合性問題,判斷出數(shù)列an-1為等比數(shù)列是題目的

關(guān)鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目.

15.若q=1,an=2a“T+\(n>2,neN),則an=.

【答案】r-\

【解析】

【分析】將原式化為%+1=2(%T+1)(H>2),可得｛%+1｝是首項(xiàng)為2,公比為

2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案.

【詳解】原式可化為%+1=2(4_1+1)(?>2),

因?yàn)閝+l=2,所以｛q,+l｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,

所以4+1=2",即—

故答案為：2,1-1.

【點(diǎn)睛】本題主要由數(shù)列的遞推公式構(gòu)造新數(shù)列，使之成等差數(shù)列或等比數(shù)列的問

題，構(gòu)造是關(guān)鍵，屬于中檔題.

解題方法模板五：構(gòu)造法二

使用情景：型如(其中〃目為常數(shù)，且〃工0,)

解題模板：第一步假設(shè)將遞推公式改寫為a“+i+x(〃+l)+y=p(a“+x〃+y)；

第二步由待定系數(shù)法，求出x，＞的值；

第三步寫出數(shù)列｛a.+x〃+y｝的通項(xiàng)公式；

第四步寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式.

解題模板應(yīng)用：

例5已知數(shù)列｛an｝滿足an+l=2a“+3/+4〃+5,%=1,求數(shù)歹U｛q,｝的通項(xiàng)公式.

【答案】a?=2,,+4-3n2-10?-18

【解析】

解題模板選擇：

本題中涉及4+1=pan+qn+r,故選取解題方法模板五構(gòu)造法二進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

解題模板：

第一步，假設(shè)將遞推公式改寫為4+|+*(〃+1)+y=p(an+xn+y).

設(shè)a*.+尸(〃+1)+2=2(。凡+必’+)力+z)⑥

%+x(〃+l)，+)G+l)+z=2(a”+m，+yn+z)

將-初+3”'+4”+5代入⑥式，得

2

24+3n+4"+5+M”+l)2+iy("+l)+z=2(?！?必2+y”+z)貝U

1aK+(3+X)M+(2x+y+4)”+(x+y+z+5)=2aK+2XJ^+2yn+2z

等式兩邊消去2?！?得(3+x)/+(2x+y+4)〃+(x+y+z+5)=2xM，+2jn+2z,

第二步，由待定系數(shù)法，求出的值；

3+x=2xx=3

解方程組2x+y+4=2y.則J尸10,RA@S.得

x+y+z+5=2zz=18

第三步，寫出數(shù)列｛4+w+y｝的通項(xiàng)公式；

4,+3(〃+1)2+10(”+1)+18=2(4+3/+10〃+18)⑨

由q+3xl2+K)xl+18=l+31=32H0及⑨式，^a?+3n2.10n+18-.0

則—+3("+iy+10("+l)+18=2,故朝jg+3M+ic,+i8｝大上

O,+3?*+10?J+18

q+3xF+iOxl+18=l+31=32為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此

a“+3〃2+]0〃+i8=32x2"T,

第四步，寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式.

則=2"4-3〃2-10〃一18.

練習(xí)

16.已知數(shù)列｛4,｝的首項(xiàng)q=21,且滿足(2〃-5)1=(2〃-3)%+4/―16〃+15,

則｛4｝的最小的一項(xiàng)是

A.a5B.6C.%D.%

【答案】A

【解析】

【分析】利用配湊法將題目所給遞推公式轉(zhuǎn)化為+即證得

2〃-32n-512/7-5

為首項(xiàng)為-7,公差為1的等差數(shù)列，由此求得的表達(dá)式，進(jìn)而求得?！钡谋磉_(dá)

2/7-5

式，并根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸求得當(dāng)〃=5時(shí)有最小值.

【詳解】由己知得詈%=;4+1,3=-7,所以數(shù)列［詈公］為首項(xiàng)為-7,

2〃-32〃-52-512”5j

公差為1的等差數(shù)列，-^-=-7+(/?-1)=/?-8,貝iJ%=(2〃—5)5—8),其對(duì)稱軸

2〃一5

〃=寫=5.25.所以｛4｝的最小的一項(xiàng)是第5項(xiàng).故選A.

【點(diǎn)睛】本小題考查由數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查二次函數(shù)求最值的

方法，屬于中檔題.

解題方法模板六：構(gòu)造法三

使用情景：型如%+i=p%+4”(其中P，9為常數(shù),且P4(P—

,a,pa?1

解題模板：第一步在遞推公式兩邊同除以＜?"+'得n*+=彳,才十一；

第二步利用方法四，求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

第三步寫出數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式.

解題模板應(yīng)用：

例6已知數(shù)列｛。“｝滿足4+1=24+3x2”,4=2,求數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式.

31

【答案】a?=(-n--)2-

【解析】

解題模板選擇：

本題涉及問題，故選取解題方法模板六：構(gòu)造法三進(jìn)行解答.

解題模板應(yīng)用：

第一步，在遞推公式兩邊同除以得潑■=彳,/+/；

44=2^+3、2”兩邊除以22,得翱=*+：,則相一黑=：,故數(shù)列｛*｝是以

為百項(xiàng)，以I為公差的等差數(shù)列，

2*22

第二步，利用方法五，求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式;

q

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，得*=1+(”-1)三，

22

第三步，寫出數(shù)列｛?！埃?xiàng)公式.

練習(xí)

17.已知數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和S“=2a〃—2"+i,若不等式2/一〃—3<(5-團(tuán)4,對(duì)

V〃eN+恒成立，則整數(shù)4的最大值為.

【答案】4

【解析】

【詳解】當(dāng)〃=1時(shí)，S[=2%-2?,得q=4,

當(dāng)”22時(shí)，S,,_l=2an-2",

又S“=2a”-2田，

兩式相減得=2an-2a,i-2",得a0=24T+2",

所以會(huì)-翳=L

又會(huì)=2,所以數(shù)列]墨｝是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

之=〃+1,即=(〃+1>2".

2〃一3

因?yàn)?>0,所以不等式2/一〃—3<(5-田％等價(jià)于5-4>二工

2/7-3,1,

記2,a=一］也

2”4

2/?-1

2”“2”-1

〃22時(shí),

hn2〃-34n-6

2"

h

所以〃之3時(shí)，片

3

綜上，電)2=A=d，

O

所以5-4>3g"<5-3?=37所以整數(shù)4的最大值為4.

888

考點(diǎn)：1.數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.解不等式.

18.已知數(shù)列｛風(fēng)｝滿足q=4,a.=2a,i+2”(〃N2,〃eN*),若不等式

2萬-“-3<(5-義”“對(duì)任意”eM恒成立，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

【答案】(口,3?7)

O

【解析】

【分析】由數(shù)列遞推公式，求得?！?(〃+1>2",把不等式2〃2-〃-3<(5-勿風(fēng)對(duì)任

2“一32”一3

意〃cN*恒成立，轉(zhuǎn)化為2<5-與上對(duì)任意〃wN*恒成立，設(shè)〃〃)=安工求

得了(〃)的單調(diào)性與最值，即可求解.

【詳解】由題意，數(shù)列｛4｝滿足q=4,a“=2a,i+2"("N2,〃eN*),

則及=符+1(常數(shù))，所以數(shù)列｛%｝是以捺=2為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，

所以2■=2+(〃—1)x1=〃+1,整理得q=(〃+1)-2",

不等式2/-〃-3<(5-"可對(duì)任意〃eN*恒成立，

即5-X>力,；,3=與2對(duì)任意“e恒成立,

即幾<5-善0對(duì)任意〃wN*恒成立，

設(shè)小)=亨，則仆+1)-4)=咒『一三=,

當(dāng)〃=1,2時(shí)，/(〃+1)一/(〃)>(),此時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列；

當(dāng)“N3,〃eN+時(shí)，/(〃+1)二/?(〃)<(),此時(shí)數(shù)列為遞減數(shù)列,

13337

又由“2)=T"3)=￡所以4<5-丁方，

4OOO

即實(shí)數(shù)4的取值范圍是(-8,3.7).

O

37

故答案為：(―°°,—).

O

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及恒成立問

題的求解和數(shù)列的單調(diào)性的判定及應(yīng)用，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，

屬于中檔試題.

19.在數(shù)列｛%｝中，卬=1,且a,用=3%+(-1)”,則?！?.(用含〃的式子表示)

［答案］3"(一。"

4

【解析】

【分析】將條件變形為1)”"=3%+；(—1)”,即數(shù)列卜是首

3

項(xiàng)為:，公比為3的等比數(shù)列，然后可算出答案.

4

【詳解】因?yàn)橛?3a“+(—1)",所以%+；(-1戶=3%+；(-1)”,

所以數(shù)列”是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，

所以《+；(-1yq

所以4,■一:(一1)“?

故答案為：

4

【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

n

20.已知在數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之和為S.，若q=2,an+i=an+2-'+1，則幾=

【答案】1078

【解析】

【詳解】q=2,a“M=a"+2"T+l=a“+「a,,=2"T+l

aa

=>n=3“一n-\）+（。〃_]一。〃一2）---F（%-出）+（。2-=

%=2”-2+2"-3+.??+2+1+〃—1+4.

1_2〃T

=---------F〃-1+2=2,,_|+n.

1-2

品>=1+2+2?+?.?+29+