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文檔簡介
§4.3三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)最新考綱考情考向分析1.能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象,了解三角函數(shù)的周期性.2.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值,圖象與x軸的交點(diǎn)等),理解正切函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2),\f(π,2)))內(nèi)的單調(diào)性.以考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)為主,題目涉及三角函數(shù)的圖象及應(yīng)用、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性、周期性、最值、零點(diǎn).考查三角函數(shù)性質(zhì)時(shí),常與三角恒等變換結(jié)合,加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用意識(shí).題型既有選擇題和填空題,又有解答題,中檔難度.1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(1)在正弦函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖像中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),1)),(π,0),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),-1)),(2π,0).(2)在余弦函數(shù)y=cosx,x∈[0,2π]的圖像中,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),(π,-1),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),0)),(2π,1).2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)(下表中k∈Z)函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖像定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|x∈R,且))x≠kπ+eq\f(π,2)}值域[-1,1][-1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)遞增區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,2),2kπ+\f(π,2)))[2kπ-π,2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,2),kπ+\f(π,2)))遞減區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),2kπ+\f(3π,2)))[2kπ,2kπ+π]無對(duì)稱中心(kπ,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,2),0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2),0))對(duì)稱軸方程x=kπ+eq\f(π,2)x=kπ無知識(shí)拓展1.對(duì)稱與周期(1)正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對(duì)稱中心、相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離是半個(gè)周期,相鄰的對(duì)稱中心與對(duì)稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個(gè)周期.(2)正切曲線相鄰兩對(duì)稱中心之間的距離是半個(gè)周期.2.奇偶性若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),則:(1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z);(2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ=kπ(k∈Z).題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)y=sinx在第一、第四象限上是增函數(shù).(×)(2)由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+\f(2π,3)))=sineq\f(π,6)知,eq\f(2π,3)是正弦函數(shù)y=sinx(x∈R)的一個(gè)周期.(×)(3)正切函數(shù)y=tanx在定義域內(nèi)是增函數(shù).(×)(4)已知y=ksinx+1,x∈R,則y的最大值為k+1.(×)(5)y=sin|x|是偶函數(shù).(√)題組二教材改編2.函數(shù)f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))的最小正周期是.答案π3.y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的值域是.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3))解析當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))時(shí),2x-eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(5π,6))),sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)),故3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)),即y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),3)).4.y=tan2x的定義域是.答案eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,4),k∈Z))))解析由2x≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得x≠eq\f(kπ,2)+eq\f(π,4),k∈Z,∴y=tan2x的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,4),k∈Z)))).題組三易錯(cuò)自糾5.函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))的圖像的一條對(duì)稱軸是()A.x=eq\f(π,4) B.x=eq\f(π,2)C.x=-eq\f(π,4) D.x=-eq\f(π,2)答案C解析∵正弦函數(shù)圖像的對(duì)稱軸過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),故令x-eq\f(π,4)=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,∴x=kπ+eq\f(3π,4),k∈Z.取k=-1,則x=-eq\f(π,4).6.函數(shù)y=-taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(3π,4)))的遞減區(qū)間為.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)+\f(kπ,2),\f(5π,8)+\f(kπ,2)))(k∈Z)解析因?yàn)閥=tanx的遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)+kπ,\f(π,2)+kπ))(k∈Z),所以由-eq\f(π,2)+kπ<2x-eq\f(3π,4)<eq\f(π,2)+kπ,k∈Z,得eq\f(π,8)+eq\f(kπ,2)<x<eq\f(5π,8)+eq\f(kπ,2)(k∈Z),所以y=-taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(3π,4)))的遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)+\f(kπ,2),\f(5π,8)+\f(kπ,2)))(k∈Z).7.cos23°,sin68°,cos97°的大小關(guān)系是.答案sin68°>cos23°>cos97°解析sin68°=cos22°,又y=cosx在[0°,180°]上是減函數(shù),∴sin68°>cos23°>cos97°.題型一三角函數(shù)的定義域和值域1.函數(shù)f(x)=-2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))的定義域是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠-\f(π,12)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ+\f(π,6)k∈Z)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)+\f(π,6)k∈Z))))答案D解析由正切函數(shù)的定義域,得2x+eq\f(π,6)≠kπ+eq\f(π,2),k∈Z,即x≠eq\f(kπ,2)+eq\f(π,6)(k∈Z),故選D.2.函數(shù)y=eq\r(sinx-cosx)的定義域?yàn)椋鸢竐q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,4),2kπ+\f(5π,4)))(k∈Z)解析方法一要使函數(shù)有意義,必須使sinx-cosx≥0.利用圖像,在同一坐標(biāo)系中畫出[0,2π]上y=sinx和y=cosx的圖像,如圖所示.在[0,2π]內(nèi),滿足sinx=cosx的x為eq\f(π,4),eq\f(5π,4),再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的周期是2π,所以原函數(shù)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,4)≤x≤2kπ+\f(5π,4),k∈Z)))).方法二利用三角函數(shù)線,畫出滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示).所以定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,4)≤x≤2kπ+\f(5π,4),k∈Z)))).3.函數(shù)y=-2sinx-1,x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6),\f(13π,6)))的值域是.答案(-2,1]解析當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6),\f(13π,6)))時(shí),-1≤sinx<eq\f(1,2),所以函數(shù)y=-2sinx-1,x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6),\f(13π,6)))的值域是(-2,1].4.(2018屆山東鄒平雙語學(xué)校月考)函數(shù)f(x)=sin2x+eq\r(3)cosx-eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))))的最大值是.答案1解析f(x)=sin2x+eq\r(3)cosx-eq\f(3,4)=1-cos2x+eq\r(3)cosx-eq\f(3,4),令cosx=t且t∈[0,1],則y=-t2+eq\r(3)t+eq\f(1,4)=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(\r(3),2)))2+1,當(dāng)t=eq\f(\r(3),2)時(shí),ymax=1,即f(x)的最大值是1.思維升華(1)三角函數(shù)定義域的求法求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組),常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來求解.(2)三角函數(shù)值域的不同求法①利用sinx和cosx的值域直接求;②把所給的三角函數(shù)式變換成y=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0)的形式求值域;③通過換元,轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域.題型二三角函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1求三角函數(shù)的單調(diào)性典例(1)函數(shù)f(x)=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)-\f(π,12),\f(kπ,2)+\f(5π,12)))(k∈Z)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)-\f(π,12),\f(kπ,2)+\f(5π,12)))(k∈Z)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,6),kπ+\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(π,12),kπ+\f(5π,12)))(k∈Z)答案B解析由kπ-eq\f(π,2)<2x-eq\f(π,3)<kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),得eq\f(kπ,2)-eq\f(π,12)<x<eq\f(kπ,2)+eq\f(5π,12)(k∈Z),所以函數(shù)f(x)=taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的遞增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)-\f(π,12),\f(kπ,2)+\f(5π,12)))(k∈Z),故選B.(2)(2017·哈爾濱、長春、沈陽、大連四市聯(lián)考)函數(shù)y=eq\f(1,2)sinx+eq\f(\r(3),2)cosxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))))的遞增區(qū)間是.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,6)))解析∵y=eq\f(1,2)sinx+eq\f(\r(3),2)cosx=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3))),由2kπ-eq\f(π,2)≤x+eq\f(π,3)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),解得2kπ-eq\f(5π,6)≤x≤2kπ+eq\f(π,6)(k∈Z).∴函數(shù)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(5π,6),2kπ+\f(π,6)))(k∈Z),又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,6))).命題點(diǎn)2根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)典例已知ω>0,函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上是減少的,則ω的取值范圍是.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(5,4)))解析由eq\f(π,2)<x<π,ω>0,得eq\f(ωπ,2)+eq\f(π,4)<ωx+eq\f(π,4)<ωπ+eq\f(π,4),又y=sinx的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,2),2kπ+\f(3π,2))),k∈Z,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)+\f(π,4)≥\f(π,2)+2kπ,,ωπ+\f(π,4)≤\f(3π,2)+2kπ))k∈Z,解得4k+eq\f(1,2)≤ω≤2k+eq\f(5,4),k∈Z.又由4k+eq\f(1,2)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k+\f(5,4)))≤0,k∈Z且2k+eq\f(5,4)>0,k∈Z,得k=0,所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(5,4))).引申探究本例中,若已知ω>0,函數(shù)f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,4)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上是增加的,則ω的取值范圍是.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(7,4)))解析函數(shù)y=cosx的遞增區(qū)間為[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ωπ,2)+\f(π,4)≥-π+2kπ,,ωπ+\f(π,4)≤2kπ))k∈Z,解得4k-eq\f(5,2)≤ω≤2k-eq\f(1,4),k∈Z,又由4k-eq\f(5,2)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k-\f(1,4)))≤0,k∈Z且2k-eq\f(1,4)>0,k∈Z,得k=1,所以ω∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),\f(7,4))).思維升華(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“ωx+φ”為一個(gè)整體,通過解不等式求解.但如果ω<0,可借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò).(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.跟蹤訓(xùn)練(2017·濟(jì)南模擬)若函數(shù)f(x)=sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,3)))上是增加的,在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3),\f(π,2)))上是減少的,則ω等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)C.2 D.3答案B解析由已知得eq\f(T,4)=eq\f(π,3),∴T=eq\f(4π,3),∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(3,2).命題點(diǎn)1三角函數(shù)的周期性典例(1)(2017·湘西自治州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx-ωπ)(ω>0)的最小正周期為π,則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))等于()A.eq\f(1,2) B.-eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.-eq\f(\r(3),2)答案A解析∵T=π,∴ω=eq\f(2π,T)=eq\f(2π,π)=2,∴f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-2π))=sin2x,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))=sineq\f(π,6)=eq\f(1,2).(2)若函數(shù)f(x)=2taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx+\f(π,3)))的最小正周期T滿足1<T<2,則自然數(shù)k的值為.答案2或3解析由題意得,1<eq\f(π,k)<2,∴k<π<2k,即eq\f(π,2)<k<π,又k∈Z,∴k=2或3.命題點(diǎn)2三角函數(shù)的奇偶性典例(2017·銀川模擬)函數(shù)f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)+φ)),φ∈(0,π)滿足f(|x|)=f(x),則φ的值為.答案eq\f(5π,6)解析由題意知f(x)為偶函數(shù),關(guān)于y軸對(duì)稱,∴f(0)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(φ-\f(π,3)))=±3,∴φ-eq\f(π,3)=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,又0<φ<π,∴φ=eq\f(5π,6).命題點(diǎn)3三角函數(shù)圖像的對(duì)稱性典例(1)下列函數(shù)的最小正周期為π且圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,3)對(duì)稱的是()A.y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))) B.y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,6)))C.y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)+\f(π,3))) D.y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))答案B解析由y=f(x)的最小正周期為π,可排除C;其圖像關(guān)于直線x=eq\f(π,3)對(duì)稱,根據(jù)選項(xiàng),則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))=2或-2,可排除A,D.故選B.(2)(2016·全國Ⅰ改編)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|≤\f(π,2))),x=-eq\f(π,4)為f(x)的零點(diǎn),x=eq\f(π,4)為y=f(x)圖像的對(duì)稱軸,且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(5π,36)))上單調(diào),則ω的最大值為.答案9解析因?yàn)閤=-eq\f(π,4)為f(x)的零點(diǎn),x=eq\f(π,4)為f(x)的圖像的對(duì)稱軸,所以eq\f(π,4)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4)))=eq\f(T,4)+eq\f(kT,2),即eq\f(π,2)=eq\f(2k+1,4)T=eq\f(2k+1,4)·eq\f(2π,ω),所以ω=2k+1(k∈N),又因?yàn)閒(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(5π,36)))上單調(diào),所以eq\f(5π,36)-eq\f(π,18)=eq\f(π,12)≤eq\f(T,2)=eq\f(2π,2ω),即ω≤12,若ω=11,又|φ|≤eq\f(π,2),則φ=-eq\f(π,4),此時(shí),f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11x-\f(π,4))),f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(3π,44)))上是增加的,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,44),\f(5π,36)))上是減少的,不滿足條件.若ω=9,又|φ|≤eq\f(π,2),則φ=eq\f(π,4),此時(shí),f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9x+\f(π,4))),滿足f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(5π,36)))上單調(diào)的條件.由此得ω的最大值為9.思維升華(1)對(duì)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn).(2)求三角函數(shù)周期的方法①利用周期函數(shù)的定義.②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為eq\f(2π,|ω|),y=tan(ωx+φ)的最小正周期為eq\f(π,|ω|).跟蹤訓(xùn)練(1)(2017·大連模擬)函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω≠0)對(duì)任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x)),則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))等于()A.2或0 B.-2或2C.0 D.-2或0答案B解析由題意,知x=eq\f(π,4)為函數(shù)f(x)的一條對(duì)稱軸,∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))=±2.(2)若將函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,3)))的圖像向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后與原函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,則ω的最小正值是.答案3解析若將函數(shù)f(x)的圖像向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位長度后與原函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,則平移的大小最小為eq\f(T,2),所以eq\f(T,2)≤eq\f(π,3),即Tmax=eq\f(2π,3),所以當(dāng)T=eq\f(2π,3)時(shí),ωmin=eq\f(2π,Tmax)=eq\f(2π,\f(2π,3))=3.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)考點(diǎn)分析縱觀近年高考中三角函數(shù)的試題,其有關(guān)性質(zhì)幾乎每年必考,題目較為簡單,綜合性的知識(shí)多數(shù)為三角函數(shù)本章內(nèi)的知識(shí),通過有效地復(fù)習(xí)完全可以對(duì)此類題型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.典例(1)(2017·全國Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3))),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.f(x)的一個(gè)周期為-2πB.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=eq\f(8π,3)對(duì)稱C.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=eq\f(π,6)D.f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))上是減少的答案D解析A項(xiàng),因?yàn)閒(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))的周期為2kπ(k∈Z),所以f(x)的一個(gè)周期為-2π,A項(xiàng)正確;B項(xiàng),因?yàn)閒(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))圖像的對(duì)稱軸為直線x=kπ-eq\f(π,3)(k∈Z),所以y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=eq\f(8π,3)對(duì)稱,B項(xiàng)正確;C項(xiàng),f(x+π)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(4π,3))).令x+eq\f(4π,3)=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),得x=kπ-eq\f(5π,6),當(dāng)k=1時(shí),x=eq\f(π,6),所以f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為x=eq\f(π,6),C項(xiàng)正確;D項(xiàng),因?yàn)閒(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,3)))的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ-\f(π,3),2kπ+\f(2π,3)))(k∈Z),遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(2π,3),2kπ+\f(5π,3)))(k∈Z),所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(2π,3)))是f(x)的遞減區(qū)間,eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3),π))是f(x)的遞增區(qū)間,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D.(2)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖像如圖所示,則f(x)的遞減區(qū)間為.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k-\f(1,4),2k+\f(3,4))),k∈Z解析由圖像知,周期T=2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)-\f(1,4)))=2,∴eq\f(2π,ω)=2,∴ω=π.由π×eq\f(1,4)+φ=eq\f(π,2)+2kπ,k∈Z,不妨取φ=eq\f(π,4),∴f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx+\f(π,4))).由2kπ<πx+eq\f(π,4)<2kπ+π,k∈Z,得2k-eq\f(1,4)<x<2k+eq\f(3,4),k∈Z,∴f(x)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k-\f(1,4),2k+\f(3,4))),k∈Z.(3)設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(π,2)))上具有單調(diào)性,且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))=-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),則f(x)的最小正周期為.答案π解析記f(x)的最小正周期為T.由題意知eq\f(T,2)≥eq\f(π,2)-eq\f(π,6)=eq\f(π,3),又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))=-feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6))),且eq\f(2π,3)-eq\f(π,2)=eq\f(π,6),可作出示意圖如圖所示(一種情況):∴x1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+\f(π,6)))×eq\f(1,2)=eq\f(π,3),x2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)+\f(2π,3)))×eq\f(1,2)=eq\f(7π,12),∴eq\f(T,4)=x2-x1=eq\f(7π,12)-eq\f(π,3)=eq\f(π,4),∴T=π.1.(2017·廣州五校聯(lián)考)下列函數(shù)中,周期為π的奇函數(shù)為()A.y=sinxcosx B.y=sin2xC.y=tan2x D.y=sin2x+cos2x答案A解析y=sinxcosx=eq\f(1,2)sin2x,周期為π,且是奇函數(shù).2.函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的最小值為()A.-1B.-eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2)D.0答案B解析由已知x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),得2x-eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,4),\f(3π,4))),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),1)),故函數(shù)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上的最小值為-eq\f(\r(2),2).故選B.3.函數(shù)y=sinx2的圖像是()答案DD.4.(2017·成都診斷)函數(shù)y=cos2x-2sinx的最大值與最小值分別為()A.3,-1B.3,-2C.2,-1D.2,-2答案D解析y=cos2x-2sinx=1-sin2x-2sinx=-sin2x-2sinx+1,令t=sinx,則t∈[-1,1],y=-t2-2t+1=-(t+1)2+2,所以ymax=2,ymin=-2.5.已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖像過點(diǎn)(0,eq\r(3)),則f(x)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6),0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),0))答案B解析函數(shù)f(x)=2sin(2x+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖像過點(diǎn)(0,eq\r(3)),則f(0)=2sinφ=eq\r(3),∴sinφ=eq\f(\r(3),2),又|φ|<eq\f(π,2),∴φ=eq\f(π,3),則f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))),令2x+eq\f(π,3)=kπ(k∈Z),則x=eq\f(kπ,2)-eq\f(π,6)(k∈Z),當(dāng)k=0時(shí),x=-eq\f(π,6),∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),0))是函數(shù)f(x)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心.6.已知函數(shù)f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))=-2,則f(x)的一個(gè)遞減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,8),\f(3π,8))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8),\f(9π,8)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3π,8),\f(π,8))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8),\f(5π,8)))答案C解析由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))=-2,得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)))=-2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)+φ))=-2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+φ))=-2,所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+φ))=1.因?yàn)閨φ|<π,所以φ=eq\f(π,4).由2kπ-eq\f(π,2)≤2x+eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,解得kπ-eq\f(3π,8)≤x≤kπ+eq\f(π,8),k∈Z.當(dāng)k=0時(shí),-eq\f(3π,8)≤x≤eq\f(π,8),故選C.7.函數(shù)y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-2x))的遞減區(qū)間為.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,8),kπ+\f(5π,8)))(k∈Z)解析因?yàn)閥=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-2x))=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,4))),所以令2kπ≤2x-eq\f(π,4)≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ+eq\f(π,8)≤x≤kπ+eq\f(5π,8)(k∈Z),所以函數(shù)的遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ+\f(π,8),kπ+\f(5π,8)))(k∈Z).8.(2018·福州質(zhì)檢)函數(shù)y=cos2x+sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|x|≤\f(π,4)))的最小值為.答案eq\f(1-\r(2),2)解析令t=sinx,∵|x|≤eq\f(π,4),∴t∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))).∴y=-t2+t+1=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t-\f(1,2)))2+eq\f(5,4),∴當(dāng)t=-eq\f(\r(2),2)時(shí),ymin=eq\f(1-\r(2),2).9.已知函數(shù)f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx-\f(π,6)))+1(x∈R)的圖像的一條對(duì)稱軸為x=π,其中ω為常數(shù),且ω∈(1,2),則函數(shù)f(x)的最小正周期為.答案eq\f(6π,5)解析由函數(shù)f(x)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx-\f(π,6)))+1(x∈R)的圖像的一條對(duì)稱軸為x=π,可得ωπ-eq\f(π,6)=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,∴ω=k+eq\f(2,3),又ω∈(1,2),∴ω=eq\f(5,3),從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為eq\f(2π,\f(5,3))=eq\f(6π,5).10.(2018·珠海模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x+\f(π,4))),若存在這樣的實(shí)數(shù)x1,x2,對(duì)任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,則|x1-x2|的最小值為.答案2解析|x1-x2|的最小值為函數(shù)f(x)的半個(gè)周期,又T=4,∴|x1-x2|的最小值為2.11.已知f(x)=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4))).(1)求函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程;(2)求f(x)的遞增區(qū)間;(3)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(3π,4)))時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.解(1)f(x)=eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4))),令2x+eq\f(π,4)=kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,8),k∈Z.所以函數(shù)f(x)圖像的對(duì)稱軸方程是x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,8),k∈Z.(2)令2kπ-eq\f(π,2)≤2x+eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(π,2),k∈Z,得kπ-eq\f(3π,8)≤x≤kπ+eq\f(π,8),k∈Z.故f(x)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ-\f(3π,8),kπ+\f(π,8))),k∈Z.(3)當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(3π,4)))時(shí),eq\f(3π,4)≤2x+eq\f(π,4)≤eq\f(7π,4),所以-1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,4)))≤eq\f(\r(2),2),所以-eq\r(2)≤f(x)≤1,所以當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4),\f(3π,4)))時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-eq\r(2).12.(2017·武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(x,2)+sinx))+b.(1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間;(2)當(dāng)x∈[0,π]時(shí),函數(shù)f(x)的值域是[5,8],求a,b的值.解f(x)=a(1+cosx+sinx)+b=eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))+a+b.(1)當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))+b-1,由2kπ+eq\f(π,2)≤x+eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(3π,2)(k∈Z),得2kπ+eq\f(π,4)≤x≤2kπ+eq\f(5π,4)(k∈Z),∴f(x)的遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(π,4),2kπ+\f(5π,4)))(k∈Z).(2)∵0≤x≤π,∴eq\f(π,4)≤x+eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4),∴-eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))≤1.依題意知a≠0,①當(dāng)a>0時(shí),eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a+a+b=8,,b=5,))∴a=3eq\r(2)-3,b=5;②當(dāng)a<0時(shí)
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