高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練51兩條直線的位置關(guān)系

五十一兩條直線的位置關(guān)系(時(shí)間:45分鐘分值:95分)【基礎(chǔ)落實(shí)練】1.(5分)(2024·濰坊模擬)已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A(2,4),B(3,6),C(5,2),則BC邊上中線的長為()A.210 B.10 C.112 D.310【解析】選A.設(shè)BC的中點(diǎn)為D(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x=3+52=4y所以AD=(4-2)22.(5分)已知直線l1:2xy+1=0,l2:x+ay1=0,且l1⊥l2,則點(diǎn)P(1,2)到直線l2的距離d等于()A.55 B.255 C.3【解析】選D.由l1⊥l2可得2×11·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1【加練備選】(2024·深圳模擬)直線l1:mxy+1=0,l2:(3m2)x+my2=0,若l1⊥l2,則實(shí)數(shù)m的值為()A.0 B.1C.0或1 D.13或【解析】選C.l1⊥l2?m(3m2)m=0,即m2m=0,解得m=0或m=1.3.(5分)(2024·南昌模擬)已知直線l1:x+ay2=0,l2:(a+1)xay+1=0,若p:l1∥l2;q:a=2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若l1∥l2,則1×(a)a(a+1)=0,解得a=0或a=2,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.所以pq,q?p,所以p是q的必要不充分條件.4.(5分)直線ax+y+3a1=0恒過定點(diǎn)N,則直線2x+3y6=0關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱的直線方程為()A.2x+3y12=0 B.2x+3y+12=0C.2x3y+12=0 D.2x3y12=0【解析】選B.由ax+y+3a1=0可得a(x+3)+y1=0.令x+3=0,y-1=0,所以N(3,1).設(shè)直線2x+3y6=0關(guān)于點(diǎn)N對(duì)稱的直線方程為2x+3y+c=0(c≠6),則|-6+3-6解得c=12或c=6(舍去).故所求直線方程為2x+3y+12=0.5.(5分)(多選題)已知A(2,4)與B(3,3)到直線l的距離相等,則直線l的方程為()A.x+y=0 B.xy=0C.x+y6=0 D.xy+1=0【解析】選ACD.因?yàn)锳(2,4)與B(3,3)的中點(diǎn)為(52,72),且kAB=4-32-3=1,所以使得點(diǎn)A(2,4)一類是過A,B的中點(diǎn)的直線,另一類是與AB平行的直線,顯然x+y6=0、xy+1=0過點(diǎn)(52,72),故C,D直線x+y=0的斜率為1與AB平行,故A正確;直線xy=0的斜率為1與AB垂直,且不過點(diǎn)(52,72),故B6.(5分)(多選題)已知直線l1:4x3y+4=0,l2:(m+2)x(m+1)y+2m+5=0(m∈R),則()A.直線l2過定點(diǎn)(3,1)B.當(dāng)m=1時(shí),l1⊥l2C.當(dāng)m=2時(shí),l1∥l2D.當(dāng)l1∥l2時(shí),兩直線l1,l2之間的距離為1【解析】選ACD.因?yàn)?m+2)x(m+1)y+2m+5=0,所以2xy+5+m(xy+2)=0,所以2x-所以直線l2過定點(diǎn)(3,1),選項(xiàng)A正確;當(dāng)m=1時(shí),直線l2:3x2y+7=0,k2=32又因?yàn)閘1:4x3y+4=0,所以k1=43,k1k2=2,所以兩直線不垂直,選項(xiàng)B錯(cuò)誤當(dāng)m=2時(shí),直線l2:4x3y+9=0,而l1:4x3y+4=0,所以兩直線斜率相等,在y軸上的截距不等,所以兩直線平行,此時(shí)兩直線之間的距離d=|9-4|37.(5分)已知兩條直線2x+3yk=0和x6y+12=0的交點(diǎn)在y軸上,那么k的值是6.

【解析】由x6y+12=0可得直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),將點(diǎn)(0,2)代入2x+3yk=0可得k=6.8.(5分)(2024·揚(yáng)州模擬)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)軍營所在平面區(qū)域?yàn)閧(x,y)|x2+y2≤1},河岸線所在直線方程為2x+2y5=0,假定將軍從點(diǎn)P(1,12)處出發(fā),只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,當(dāng)將軍選擇最短路程時(shí),飲馬點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1514,最短總路程為【解析】設(shè)點(diǎn)P(1,12)關(guān)于直線2x+2y5=0的對(duì)稱點(diǎn)P'(a,b則b-12a所以P'2,32,將軍從P出發(fā)到達(dá)直線上點(diǎn)A再到營區(qū),因?yàn)镻A=P'A,所以本題問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P'2,32到營區(qū)的最短距離,根據(jù)圓的幾何特征可知最短距離為|P'O|1=22+3221=32.A點(diǎn)為直線OP'與直線由3x-4y=02故A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為15149.(10分)已知直線l經(jīng)過直線2x+y5=0與x2y=0的交點(diǎn).(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3,求l的方程.(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值.【解析】(1)經(jīng)過兩條已知直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x+y5)+λ(x2y)=0,即(2+λ)x+(12λ)y5=0.所以|10+5λ即2λ25λ+2=0,所以λ=2或12所以l的方程為x=2或4x3y5=0.(2)由2x+y-5=0,x-2y設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離,則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立,其余距離d與PA構(gòu)成直角三角形,PA為它們的斜邊),所以dmax=|PA|=10.【能力提升練】10.(5分)(2024·福州模擬)已知過點(diǎn)A(2,m)和點(diǎn)B(m,4)的直線為l1,l2:y=2x+1,l3:y=1nx1n.若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為(A.10 B.2 C.0 D.8【解析】選A.因?yàn)閘1∥l2,所以kAB=4-mm+2=2,解得m=8,又l2⊥l3,所以(1解得n=2.所以m+n=10.11.(5分)美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭:將整個(gè)臉部按照發(fā)際線至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭,各占臉長的13,五眼:指臉的寬度比例,以眼形長度為單位,把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖,假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm,五眼中一眼的寬度為1cm,若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣,且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點(diǎn),則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為(A.524cm B.C.924cm D.【解析】選B.如圖,以鼻尖所在位置為原點(diǎn)O,中庭下邊界為x軸,垂直中庭下邊界且過鼻尖的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(12,4),B(32,2直線AB的方程:y-42整理為xy+72原點(diǎn)O到直線距離為721+1=712.(5分)數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,則△ABC的歐拉線的方程為()A.2x+4y3=0 B.x2y3=0C.2xy3=0 D.4x2y3=0【解析】選D.由|AC|=|BC|及題意可知△ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線,因?yàn)锳B的中點(diǎn)為M(1,12),斜率kAB=12,所以AB垂直平分線的斜率k因此△ABC的歐拉線的方程為y12=2(x1),即4x2y3=013.(5分)在△ABC中,點(diǎn)A(2,1),AB邊上中線所在的直線方程為x+3y6=0,∠ABC的內(nèi)角平分線所在的直線方程為xy+1=0,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(52,72),△ABC的邊BC所在直線的方程為x9y【解析】設(shè)點(diǎn)B(x,y),則x-y+1=0,x+22+3×y-1設(shè)點(diǎn)A(2,1)關(guān)于xy+1=0的對(duì)稱點(diǎn)A'(m,n),則AA'的中點(diǎn)坐標(biāo)為(m+22,n-12),k于是n+1m則A'(2,3),所以kA'B=72-3所以直線BC的方程為y72=19(x5即x9y+29=0.14.(10分)(2024·寧波模擬)已知兩條直線l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a1)y+3=0.(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一條直線,求a的值.(2)從①直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),②直線l在y軸上的截距為2,③直線l與坐標(biāo)軸形成的三角形的面積為1.這三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中,并作答.若a=0,直線l與l2垂直,且__________,求直線l的方程.

【解析】(1)因?yàn)閘1,l2不重合,且垂直于同一條直線,所以l1∥l2,所以a(a-1)=2×1(2)因?yàn)閍=0,直線l2:2xy+3=0,其斜率為2,又直線l與l2垂直,所以直線l的斜率為12選條件①.由直線l過坐標(biāo)原點(diǎn),則直線l的方程為y=12x,即x+2y=0選條件②.由題意設(shè)直線l的方程為x+2y+c=0,令x=0,則y=c2,則c2=2,即c所以直線l的方程為x+2y4=0.選條件③.由題意設(shè)直線l的方程為x+2y+c=0,令x=0,則y=c2,令y=0,則x=c所以12×|c2|×-c=1,解得c=±2,直線l的方程為x+215.(10分)已知A(4,3),B(2,1)和直線l:4x+3y2=0,若坐標(biāo)平面內(nèi)存在一點(diǎn)P,使|PA|=|PB|,且點(diǎn)P到直線l的距離為2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,b),因?yàn)锳(4,3),B(2,1),所以線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,2).而AB所在直線的斜率kAB=-3+14-2=1,所以線段AB的垂直平分線方程為即xy5=0.因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)在直線xy5=0上,所以ab5=0①;又點(diǎn)P(a,b)到直線4x+3y2=0的距離為2,所以|4即4a+3b2=±10②.聯(lián)立①②,解得a=1,故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4)或(277,87【素養(yǎng)創(chuàng)新練】16.(5分)已知M(1,3