猜想01三角形（五種解題模型專練）

猜想01三角形（五種解題模型專練）題型一：A字型題型二：8字型題型三：燕尾型題型四：雙角平分線型題型五：風箏型題型一：A字型1．（2022秋?渝北區(qū)校級期末）已知如圖，△ABC為直角三角形，∠C＝90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1＝∠4+∠C，∠2＝∠3+∠C，即∠1+∠2＝2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4＝180°﹣∠C＝90°，∴∠1+∠2＝2×90°+90°＝270°．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．2．（2022秋?濟寧期末）如圖，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，將△ABC沿EF折疊，A點落在形內(nèi)的A′，則∠1+∠2的度數(shù)為．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，進而可得出∠A′EF+∠A′FE的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出∠AEF+∠AFE的度數(shù)，再由四邊形的內(nèi)角和為360°即可得出結(jié)論．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案為：60°．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．3．（2022秋?平橋區(qū)期末）探索歸納：（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1+∠2＝270°．（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1+∠2＝220°．（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，你歸納猜想∠1+∠2與∠A的關(guān)系是180°+∠A．（4）如圖3，若沒有剪掉∠A，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1+∠2與∠A的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和求解；（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果；（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)角相等，以及鄰補角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）：∵四邊形的內(nèi)角和為360°，直角三角形中兩個銳角和為90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故答案為：270°；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°，故答案為：220°；（3）∠1+∠2與∠A的關(guān)系是：∠1+∠2＝180°+∠A；故答案為：180°+∠A；（4）∵△EFP是由△EFA折疊得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．【點評】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和．（2）三角形的內(nèi)角和是180度．求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件．4．（2022秋?運城期末）一個三角形紙片ABC沿DE折疊，使點A落在點A′處．（點A′在△ABC的內(nèi)部）（1）如圖1，若∠A＝45°，則∠1+∠2＝90°．（2）利用圖1，探索∠1，∠2與∠A之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【解答】解：（1）∵點A沿DE折疊落在點A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝90°；故答案為：90；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×54°＝117°．【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準確識圖是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?香坊區(qū)期末）已知：四邊形ABCD，連接AC，AD＝CD，∠DAC＝∠ABC，∠DCA＝∠BAC，AD∥BC．（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；（2）過點A作AM⊥BC于點M，點N為AM上一點（不與點A重合），∠FNG＝120°，∠FNG的邊NF交BA的延長線于點F，另一邊NG交AC的延長線于點G，如圖2，點N與點M重合時，求證：NF＝NG；（3）如圖3，在（2）的條件下，點N不與點M重合，過點N作NE⊥AM，交AC于點E，EN：CM＝3：4，AF＝3，CG＝4，點H為AD上一點，連接EH、GH，GH交CD于點R，EH＝EG，求DR的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得∠DCA＝∠DAC，再證∠ABC＝∠BAC，然后由平行線的性質(zhì)得∠DAC＝∠ACB，得∠ABC＝∠BAC＝∠ACB，即可得出結(jié)論；（2）取AB的中點E，連接EM，證△MEF≌△MCG（ASA），得MF＝MG，即NF＝NG；（3）延長EN交AB于點T，取AT的中點K，連接KN，則△AET為等邊三角形，設(shè)EN＝3k，則CM＝4k，得△AET的邊長為6k，△ABC的邊長為8k，則EC＝AC﹣AE＝2k，AK＝AT＝3k，同（2）得△NKF≌△NEG（ASA），則KF＝EG，即3k+3＝2k+4，解得k＝1，則AE＝6，EG＝EH＝6，再證△AEH是等邊三角形，得AH＝6，同（1）得△ACD是等邊三角形，則AD＝AC＝8，∠D＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AD＝CD，∴∠DCA＝∠DAC，∵∠DAC＝∠ABC，∠DCA＝∠BAC，∴∠ABC＝∠BAC，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形；（2）證明：如圖2，取AB的中點E，連接EM，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC，∴∠MCG＝120°，∵AM⊥BC，∴∠BAM＝∠CAM＝30°，BM＝CM＝BC，∵E是AB的中點，∴EM＝AB，∴EM＝BM＝CM，∴△BME是等邊三角形，∴∠BEM＝∠BME＝60°，∴∠MEF＝∠EMC＝120°，∴∠MEF＝∠MCG＝120°，∵∠FMG＝120°，∴∠EMC﹣∠FMC＝∠FMG﹣∠FMC，即∠EMF＝∠CMG，∴△MEF≌△MCG（ASA），∴MF＝MG，即NF＝NG；（3）解：如圖3，延長EN交AB于點T，取AT的中點K，連接KN，則△AET為等邊三角形，∵EN：CM＝3：4，∴設(shè)EN＝3k，則CM＝4k，∴△AET的邊長為6k，△ABC的邊長為8k，∴EC＝AC﹣AE＝2k，AK＝AT＝3k，同（2）得：△NKF≌△NEG（ASA），∴KF＝EG，即3k+3＝2k+4，解得：k＝1，∴AE＝6，EG＝EH＝6，∴AE＝EH＝EG，∴∠EAH＝∠EHA，∠EGH＝∠EHG，∵∠EAH+∠EHA+∠EHG+∠EGH＝180°，∴∠EHA+∠EHG＝∠AHG＝90°，∴∠DHR＝90°，∵∠CAD＝∠ACB＝60°，∴△AEH是等邊三角形，∴AH＝6，同（1）得：△ACD是等邊三角形，∴AD＝AC＝8，∠D＝60°，∴∠HRD＝90°﹣∠D＝30°，DH＝AD﹣AH＝8﹣6＝2，∴DR＝2DH＝4．【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．題型二：8字型1．（2023春?侯馬市期末）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為360°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和四邊形內(nèi)角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案為：360°．【點評】此題考查三角形的內(nèi)角和，角的和與差，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360度．【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，則這幾個角是一個四邊形的四個內(nèi)角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案為：360．【點評】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內(nèi)角和，正確掌握三角形外角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8”字型．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數(shù)；（4）同（3），根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）關(guān)系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【點評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學生的觀察理解能力，需從復雜的圖形中辨認出“8字形”；（3）（4）直接運用“8字形”中的角的規(guī)律解題．4．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點D是直線AC上一動點，連接BD并延長至點E，使ED＝BD．過點E作EF⊥AC于點F．（1）如圖1，當點D在線段AC上（點D不與點A和點C重合）時，此時DF與DC的數(shù)量關(guān)系是DF＝DC．（2）如圖2，當點D在線段AC的延長線上時，依題意補全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．（3）當點D在線段CA的延長線上時，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是AF＝2AD+EF．【分析】（1）由∠ACB＝90°、EF⊥AC得到∠EFD＝∠BCD，結(jié)合BD＝ED、∠EDF＝∠BDC得證△EDF≌△BDC，然后得到DF＝DC；（2）同（1）理得證△BDC≌△EDF，然后得到CD＝FD、BC＝EF，然后由AC＝BC得到2AD＝AF+EF；（3）同（1）理得證△DFE≌△DCB，然后得到EF＝BC、DF＝DC，再結(jié)合AC＝BC得到AF、AD、EF的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：（1）∵EF⊥AC，∴∠EFD＝∠BCD＝90°，∵∠EDF＝∠BDC，ED＝BD，∴△EDF≌△BDC（AAS），∴DF＝DC．（2）圖形補充如圖（1），證明如下，同（1）理得，△BDC≌△EDF，∴BC＝EF，DC＝DF，∵AD＝AC+CD，AC＝BC，∴2AD＝AD+AC+CD＝AD+EF+DF＝AF+EF．（3）根據(jù)題意作出圖形如圖（2），由（1）得，△BDC≌△EDF，∴DF＝DC，EF＝BC，∵DC＝AD+CD，∴DF＝AD+AC＝AD+EF，∴AF＝DF+AD＝2AD+EF，故答案為：AF＝2AD+EF．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知8字型全等三角形模型．5．（2022秋?江岸區(qū)期末）已知△ABC是等邊三角形．（1）如圖1，點D是AB邊的中點，點P為射線AC上一動點，當△CDP是軸對稱圖形時，∠APD的度數(shù)為15°，60°，105°；（2）如圖2，AE∥BC，點D在AB邊上，點F在射線AE上，且DC＝DF，作FG⊥AC于G，當點D在AB邊上移動時，請同學們探究線段AD，AC，CG之間有什么數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論加以證明；（3）如圖3，點R在BC延長線上，連接AR，S為AR上一點，AS＝BC，連接BS交AC于T，若AT＝2n，SR＝n，直接寫出線段的值為．【分析】（1）先根據(jù)題意得到△CDP是等腰三角形，再分三種情況進行討論：CP＝DP，CD＝CP，CD＝DP，分別畫出圖形進行計算即可；（2）延長BA，過點F作FH⊥BH于H，連接CF；延長EA，過點D作DN⊥EN于點N，過點D作DM⊥AC于M．證明Rt△FAH≌Rt△FAG，即可得到AH＝AG；證明Rt△NDF≌Rt△MDC，即可得到∠NDF＝∠MDC；再根據(jù)∠FDC＝60°，即可證明△DCF是等邊三角形，進而得到CF＝CD＝DF；最后證明Rt△FHD≌Rt△FGC，即可得出CG＝DH；再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）過點R作DE∥AB交BS的延長線于點D，交AC的延長線于點E，在BC上截取BF＝CT，連接AF，先證明△ABF≌△BCT，得到∠BAF＝∠CBT；再證明∠FAR＝∠AFR，得到AR＝FR；證明△ECR為等邊三角形，設(shè)CE＝ER＝CR＝m，AB＝AC＝BC＝a，求出a＝m+n，證明△ABT≌△EDT，即可得到AT＝ET＝2n，求出m＝n，最后依據(jù)CT＝n，AR＝n，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵等腰三角形為軸對稱圖形，∴當△CDP為軸對稱圖形時，△CDP為等腰三角形，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵點D是AB邊的中點，∴CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°；當CP＝DP時，如圖所示：∴∠PDC＝∠PCD＝30°，∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝60°；當CD＝CP，點P在線段AC上時，如圖所示：∴∠CDP＝∠CPD＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠APD＝∠PDC+∠PCD＝105°；點P在線段AC的延長線上時，如圖所示：∵∠ACD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣30°＝150°，∵CD＝CP，∴∠CDP＝∠CPD＝（180°﹣150°）＝15°，即∠APD＝15°，當CD＝DP時，點P在CA的延長線上，不在射線AC上；綜上所述，∠APD的度數(shù)為15°，60°，105°．故答案為：15°，60°，105°．（2）解：AC+AD＝2CG．理由：延長BA，過F作FH⊥BH于H，連接CF，延長EA，過點D作DN⊥EN于N，過點D作DM⊥AC于M，如圖所示：∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠BAC＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB＝60°，∴∠FAH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FAH＝∠EAC，∵FH⊥AH，F(xiàn)G⊥AC，∴FH＝FG，∵AF＝AF，∴Rt△FAH≌Rt△FAG（HL），∴AH＝AG，∵∠NAD＝∠HAF＝60°，∴∠NAD＝∠DAM＝60°，∵DN⊥AN，DM⊥AM，∴DN＝DM，∵DF＝DC，∴Rt△NDF≌Rt△MDC（HL），∴∠NDF＝∠MDC，∴∠NDF﹣∠MDF＝∠MDC﹣∠MDF，∴∠NDM＝∠FDC，∵∠ADN＝90°﹣∠NAD＝30°，∠ADM＝90°﹣∠DAM＝30°，∴∠NDM＝30°+30°＝60°，∴∠FDC＝60°，∵DF＝DC，∴△DCF是等邊三角形，∴CF＝CD＝DF，∵FH＝FG，F(xiàn)D＝FC，∴Rt△FHD≌Rt△FGC（HL），∴CG＝DH，∴CG＝DH＝AD+AH＝AD+AG，∴AG＝CG﹣AD，∴AC＝CG+AG＝CG+CG﹣AD＝2CG﹣AD，即AC+AD＝2CG；（3）過點R作DE∥AB交BS的延長線于點D，交AC的延長線于點E，在BC上截取BF＝CT，連接AF，如圖所示：在△ABF和△BCT中，，∴△ABF≌△BCT（SAS），∴∠BAF＝∠CBT，設(shè)∠BAF＝∠CBT＝α，則∠ABS＝60°﹣α，∵AS＝BC＝AB，∴∠ASB＝∠ABS＝60°﹣α，∴∠BAS＝180°﹣∠ABS﹣∠ASB＝60°+2α，∠FAR＝∠BAS﹣∠BAF＝60°+α，∵∠AFR＝∠ABF+∠BAF＝60°+α，∴∠FAR＝∠AFR，∵DE∥AB，∴∠D＝∠ABS，∵∠DSR＝∠ASB，∠ABS＝∠ASB，∴∠D＝∠DSR，∴DR＝SR＝n，∵DE∥AB，∴∠E＝∠BAC＝60°，又∵∠ECR＝∠ACB＝60°，∴△ECR是等邊三角形，設(shè)CE＝ER＝CR＝m，AB＝AC＝BC＝a，則AR＝AS+SR＝a+n，∵BC＝AC，BF＝CT，∴BC﹣BF＝AC﹣CT，∴CF＝AT＝2n，∴FR＝CF+CR＝2n+m，∵AR＝FR，∴a+n＝2n+m，∴a＝m+n，又∵DE＝DR+ER＝m+n，∴DE＝AB，在△ABT和△EDT中，，∴△ABT≌△EDT（AAS），∴AT＝ET＝2n，∵ET＝CT+CE，∴CT＝ET﹣CE＝2n﹣m，又∵CT＝AC﹣AT＝a﹣2n，∴a﹣2n＝2n﹣m，∵a＝m+n，∴m+n﹣2n＝2n﹣m，解得m＝n，∴CT＝2n﹣m＝2n﹣n＝n，AR＝AS+SR＝a+n＝m+n+n＝m+2n＝n+2n＝n，∴＝＝，故答案為：．【點評】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差關(guān)系進行推算，進而得出結(jié)論．題型三：燕尾型1．（2019秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學習用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°．②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．【分析】（1）作射線AF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①先根據(jù)三角尺可知：∠X＝90°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，從而得結(jié)論；②先根據(jù)第1題的結(jié)論可得：∠ADE+∠AEB的度數(shù)，由角平分線可得：∠ADC+∠AEC＝＝45°，從而得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：過點A、D作射線AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案為：50；②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2．（2021秋?東源縣校級期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，請發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題：（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，若∠A＝50°，直接寫出∠ABX+∠ACX的結(jié)果；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2、…、G9，若∠BDC＝140°，∠BG1C＝77°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接AD并延長至點F，由外角定理可知，一個三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，則容易得到∠BDC＝∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的結(jié)論可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后把∠A＝50°，∠BXC＝90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值．②結(jié)合圖形可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°即可得到∠ADB+∠AEB的值，再利用上面得出的結(jié)論可知∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由（2）的方法，進而可得答案【解答】解：（1）連接AD并延長至點F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；且∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD；相加可得∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1）的結(jié)論易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，又∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°；②由（1）的結(jié)論易得∠DBE＝∠A+∠ADB+∠AEB，易得∠ADB+∠AEB＝80°；而∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠A，代入∠DAE＝50°，∠DBE＝130°，易得∠DCE＝90°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝77°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝140°﹣x°∴（140﹣x）+x＝77，14﹣x+x＝77，x＝70∴∠A為70°．【點評】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，能求出∠BDC＝∠A+∠B+∠C是解答的關(guān)鍵，注意：三角形的內(nèi)角和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．3．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，故答案為：50．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°；③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63，即∠A的度數(shù)為63°．【點評】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．4．（2018秋?蘭州期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個問題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝50°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，，根據(jù)外角的性質(zhì)，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C．（2）①由（1），可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°．②由（1），可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE＝45°+40°＝85°．③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∵∠BG1C＝70°，∴設(shè)∠A為x°，∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°∴（133﹣x）+x＝70，∴13.3﹣x+x＝70，解得x＝63即∠A的度數(shù)為63°．故答案為：50．【點評】（1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．題型四：雙角平分線型1．（2022秋?上杭縣校級期末）如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，則∠A的度數(shù)為（）A．60° B．80° C．70° D．45°【分析】根據(jù)BF平分∠ABC可得，∠FBC＝∠ABC，同理，然后根據(jù)∠BFC＝125°，利用三角形內(nèi)角和可得∠∠FBC+∠FCB＝55°，從而得到∠ABC+∠ACB＝110°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠A＝70°．【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故選：C．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理與角平分線的定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?蜀山區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分線BD、CD交于點D．過點D作EF∥BC，分別交AB、AC于點E、F，則△AEF的周長為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∵AB＝6，AC＝8，∴△AEF的周長＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝14，∴△AEF的周長為：14，故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線與平行這兩個條件可證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋?道里區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，EF過點D，且EF∥BC，若BE＝3，CF＝4，則EF的長為7．【分析】根據(jù)角平分線與平行兩個條件，可證出等腰三角下即可解答．【解答】解：∵BD和CD分別是∠ABC和∠ACB的平分線，∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴EB＝ED＝3，F(xiàn)D＝FC＝4，∴EF＝ED+DF＝3+4＝7，故答案為：7．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線與平行兩個條件，可以證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?天山區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分線，它們相交于點O．（1）若∠ABC＝60°，∠C＝70°，求∠DAE的度數(shù)．（2）若∠C＝70°，求∠BOE的度數(shù)．（3）若∠ABC＝α，∠C＝β（α＜β），則∠DAE＝（β﹣α）．．（用含α、β的式子表示）【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°，再由AE是角平分線，求出∠EAC＝∠BAC＝25°，由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣∠C＝20°，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝5°；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，所以∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣70°）＝55°；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC＝180°﹣α﹣β，再由AE是角平分線，求出∠EAC＝（180°﹣α﹣β），由AD是高，求出∠CAD＝90°﹣β，最后即可求出∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）＝（β﹣α）．【解答】解：（1）∠ABC＝60°，∠C＝70°∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵AE是角平分線，∴∠EAC＝∠BAC＝×50°＝25°，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣70°＝20°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝25°﹣20°＝5°；（2）∵AE，BF是角平分線，∴∠OAB＝∠BAC，∠OBA＝∠ABC，∴∠BOE＝∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠C）＝×（180°﹣70°）＝55°；（3）∠ABC＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣α﹣β，∵AE是角平分線，∴∠EAC＝∠BAC＝（180°﹣α﹣β），∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣β，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠CAD＝（180°﹣α﹣β）﹣（90°﹣β）＝（β﹣α）．故答案為（β﹣α）．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．5．（2022秋?新鄉(xiāng)期末）如圖1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．（1）當BE＝5，CF＝3，則EF＝8；（2）當BE＞CF時，若CO是∠ACB的外角平分線，如圖2，它仍然和∠ABC的角平分線相交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，試判斷EF，BE，CF之間的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，即可得出答案；（2）與（1）同理可證．【解答】解：（1）∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點O，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠BCO，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE＝5，OF＝CF＝3，∴EF＝EO+FO＝8，故答案為：8；（2）EF＝BE﹣CF，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EO∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠ABO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得FO＝FC，∴EF＝EO﹣FO＝EB﹣FC．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?玉林期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE，BF分別是∠BAC、∠ABC的角平分線，它們相交于點O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度數(shù)．【分析】因為AD是高，所以∠ADC＝90°，又因為∠C＝70°，所以∠DAC度數(shù)可求；因為∠BAC＝50°，∠C＝70°，所以∠BAO＝25°，∠ABC＝60°，BF是∠ABC的角平分線，則∠ABO＝30°，故∠BOA的度數(shù)可求．【解答】解：∵AD⊥BC∴∠ADC＝90°∵∠C＝70°∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°；∵∠BAC＝50°，∠C＝70°∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°∵BF是∠ABC的角平分線∴∠ABO＝30°∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°．【點評】本題考查了同學們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學們的發(fā)散思維能力．7．（2022秋?東昌府區(qū)校級期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠B、∠C的平分線交于O點，過O點作EF∥BC交AB、AC于E、F．（1）猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系．（2）如圖2，若AB≠AC，其他條件不變，在第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？并說明理由．（3）如圖3，若△ABC中∠B的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時圖中還有等腰三角形嗎？EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）利用（1）的方法解答即可；（3）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可以判定△BEO和△CFO為等腰三角形，利用線段和差的關(guān)系可得結(jié)論．【解答】解：（1）EF與BE、CF之間的關(guān)系為：EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．（2）第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在，即EF＝BE+CF．理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．同理：CF＝FO．∴EF＝OE+OF＝BE+CF．∴第（1）問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在．（3）圖中還存在等腰三角形△BEO和△CFO，此時EF＝BE﹣CF，理由：∵BO是∠ABC的平分線，∴∠EBO＝∠CBO．∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC．∴∠EBO＝∠EOB．∴BE＝EO．∴△BEO是等腰三角形，同理可證△CFO是等腰三角形，∵BE＝EO，OF＝FC∴BE＝EF+FO＝EF+CF，∴EF＝BE﹣CF．【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了角平分線的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用角平分線與平行線的組合模型得出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?即墨區(qū)期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個內(nèi)角的和等于180°如何證明這個定理呢？我們知道，平角是180°，要證明這個定理就是把三角形的三個內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個平角中去，請根據(jù)如下條件，證明定理．【定理證明】已知：△ABC如圖①，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．【定理推論】如圖②，在△ABC中，有∠A+∠B+∠ACB＝180°，點D是BC延長線上一點，由平角的定義可得∠ACD+∠ACB＝180°，所以∠ACD＝∠A+∠B，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【初步運用】如圖③，點D、E分別是△ABC的邊AB、AC延長線上一點．（1）若∠A＝80°，∠DBC＝150°，則∠ACB＝70°．（2）若∠A＝80°，則∠DBC+∠ECB＝260°．【拓展延伸】如圖④，點D、E分別是四邊形ABPC的邊AB、AC延長線上一點．（1）若∠A＝80°，∠P＝150°，則∠DBP+∠ECP＝230°．（2）分別作∠DBP和∠ECP的平分線BM、CN，如圖⑤，若BM∥CN，則∠A和∠P的關(guān)系為∠A＝∠P．（3）分別作∠DBP和∠ECP的平分線，交于點O，如圖⑥，求出∠A，∠O和∠P的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【分析】【定理證明】過點A作MN∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義解決．【定理推論】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義即可解答．【初步運用】（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可解答；（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，以此即可求解．【拓展延伸】（1）連接AP，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可解答．（2）過點P作PQ∥BM，由（1）可知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，則（∠DBP+∠ECP）＝（∠A+∠BPC），根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得（∠DBP+∠ECP）＝∠BPC，則∠BPC＝（∠A+∠BPC），以此即可求解．（3）由（1）可知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，則（∠DBP+∠ECP）＝（∠A+∠BPC），根據(jù)角平分線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為360°即可求解．【解答】【定理證明】證明：如圖，過點A作MN∥AB，∵MN∥AB，∴∠MAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∵∠MAB+∠BAC+∠NAC＝180°，∴∠B+∠BAC+C＝180°．【定理推論】∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠ACD+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠A+∠B．故答案為：∠A+∠B．【初步運用】（1）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠A＝80°，∠DBC＝150°，∴∠ACB＝∠DBC﹣∠A＝150°﹣80°＝70°；故答案為：70°；（2）∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝80°，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ABC+∠A+∠ACB＝180°+80°＝260°．故答案為：260°．【拓展延伸】（1）如圖，連接AP，∵∠DBP＝∠BAP+∠APB，∠ECP＝∠CAP+∠APC，∴∠DBP+∠ECP＝∠BAP+∠APB+∠CAP+∠APC，∵∠BAP+∠CAP＝∠A＝80°，∠APB+∠APC＝∠P＝150°，∴∠DBP+∠ECP＝∠A+∠P＝80°+150°＝230°．故答案為：230°．（2）如圖，過點P作PQ∥BM，則PQ∥CM，由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∴（∠DBP+∠ECP）＝（∠A+∠BPC），∵PQ∥BM∥CM，∴∠MBP＝∠BPQ，∠NCP＝∠CPQ，∴∠BPQ+∠CPQ＝∠BPC＝∠MBP+∠NCP，∵BM、CN分別是∠DBP和∠ECP，∴（∠DBP+∠ECP）＝∠MBP+∠NCP＝∠BPC，∴∠BPC＝（∠A+∠BPC），∴∠BPC＝∠A．故答案為：∠A＝∠P．（3）∠A+2∠O＝∠P，理由如下：由（1）知，∠DBP+∠ECP＝∠A+∠BPC，∴（∠DBP+∠ECP）＝（∠A+∠BPC），∵OB、OC分別為∠DBP和∠ECP的角平分線，∴∠OBP+∠OCP＝（∠DBP+∠ECP），∴∠OBP+∠OCP＝（∠A+∠BPC），∵∠OBP+∠OCP+（∠360°﹣∠BPC）+∠O＝360°，∴（∠A+∠BPC）﹣∠BPC+∠O＝0，∴∠A+2∠O＝∠BPC，即∠A+2∠O＝∠P．【點評】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題干作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．9．（2022秋?清河區(qū)校級期末）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，AD、CE相交于點P．（1）求∠APC的度數(shù)；（2）若AE＝3，CD＝4，求線段AC的長．【分析】（1）先由∠ABC＝60