專題924菱形（直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.24菱形（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的菱形按如圖方式放置，若，，則（

）

A． B． C． D．2．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線上：若，，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，的面積為12，，與交于點(diǎn)O．分別過(guò)點(diǎn)C，D作，的平行線相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A．1 B． C． D．34．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形．若，，則四邊形的面積為（

）

A．2 B．4 C．5 D．65．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為邊的中點(diǎn)，連結(jié)．若，則（

）

A．2 B． C．3 D．46．（2022下·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，E為AD邊的中點(diǎn)，連接CE交對(duì)角線BD于點(diǎn)F．若∠DEF＝∠DFE，則這個(gè)菱形的面積為（）A．16 B．6 C．12 D．307．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）下列命題不正確的是（

）A．經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行B．負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)C．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D．五邊形的外角和是8．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是菱形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，是對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則的值是（

）A．3 B． C． D．9．（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)分別為a，b，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；第二次，順次連接四邊形各邊的中點(diǎn)，得到四邊形；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形的面積是（

）A． B． C． D．10．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023上·甘肅隴南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8，則該菱形的面積為．12．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)O，連接，，過(guò)點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．若，，則四邊形的面積為．

13．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，線段，端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，且，將平移至第一象限內(nèi)，得到（，均在格點(diǎn)上）．若四邊形是菱形，則所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．

14．（2022·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為2，，對(duì)角線與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為．15．（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長(zhǎng)為．16．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，作，垂足分別為E、F，則的值為．17．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為cm．18．（2022·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，，AH是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，，且分別交對(duì)角線于點(diǎn)M，N，連接．

（1）求證：；（2）若．求證：四邊形是菱形．20．（8分）（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，是菱形的對(duì)角線．

（1）作邊的垂直平分線，分別與，交于點(diǎn)，（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接，若，求的度數(shù)．21．（10分）（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是平行四邊形，連接，交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若四邊形是菱形且，，求四邊形的面積．22．（10分）（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）已知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為_(kāi)_________．23．（10分）（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形中，，點(diǎn)O為對(duì)角線的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線l分別與、所在的直線相交于點(diǎn)E、F．（點(diǎn)E不與點(diǎn)D重合）

（1）求證：；（2）當(dāng)直線時(shí)，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．24．（12分）（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)四邊形，若存在點(diǎn)，使得該四邊形的一條對(duì)角線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后能與另一條對(duì)角線重合，則稱該四邊形為“可旋四邊形”，點(diǎn)是該四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．例如，在矩形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，則點(diǎn)是矩形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．

（1）若菱形為“可旋四邊形”，其面積是，則菱形的邊長(zhǎng)是_______；（2）如圖1，四邊形為“可旋四邊形”，邊的中點(diǎn)是四邊形的一個(gè)“旋點(diǎn)”．求的度數(shù)；（3）如圖2，在四邊形中，，與不平行．四邊形是否為“可旋四邊形”？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：1．D【分析】由題意可得，由菱形的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．解：根據(jù)題意可得：，四邊形為菱形，，，，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．解：如圖，∵∴∵∴∵∴∵∴

故選：C．

【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】先證明，四邊形是菱形，如圖，連接，，而點(diǎn)G是的中點(diǎn)，可得為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，最小，再利用等面積法求解最小值即可．解：∵，，∴是矩形，∴，∵，，∴四邊形是菱形，如圖，連接，，而點(diǎn)G是的中點(diǎn)，

∴為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)，，∴當(dāng)時(shí)，最小，∵即矩形的面積為12，，∴，，∴，∴，由菱形的性質(zhì)可得：，∴，∴，即的最小值為1．故選A【點(diǎn)撥】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，菱形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的含義，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．4．B【分析】由題意可得四邊形是菱形，，，由菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半即可得到答案．解：∵將矩形對(duì)折，使邊與，與分別重合，展開(kāi)后得到四邊形，∴，與互相平分，∴四邊形是菱形，∵，，∴菱形的面積為．故選：B【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的折疊、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】先由菱形的性質(zhì)得，，，再由勾股定理求出，然后由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解．解：∵菱形，∴，，，∴由勾股定理，得，∵E為邊的中點(diǎn)，∴故選：B．【點(diǎn)撥】本考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】連接AC交BD于O，如圖，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥AB，BO＝OD，OC＝AO，再利用∠DEF＝∠DFE得到DF＝DE＝2，證明∠BCF＝∠BFC得到BF＝BC＝4，則BD＝6，所以O(shè)B＝OD＝3，接著利用勾股定理計(jì)算出OC，從而得到AC＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計(jì)算它的面積．解：連接AC交BD于O，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴，CB＝CD＝AD＝4，AC⊥BD，BO＝OD，OC＝AO，∵E為AD邊的中點(diǎn)，∴DE＝2，∵∠DEF＝∠DFE，∴DF＝DE＝2，∵，∴∠DEF＝∠BCF，∵∠DFE＝∠BFC，∴∠BCF＝∠BFC，∴BF＝BC＝4，∴BD＝BF+DF＝4+2＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOC中，，∴AC＝2OC＝，∴菱形ABCD的面積＝AC?BD＝．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形面積＝ab（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）．7．C【分析】由平行線公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，分別進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：A、經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；故A正確；B、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；故B正確；C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯(cuò)誤；D、五邊形的外角和是，故D正確；故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了判斷命題的真假，以及考查了平行線公理、立方根的定義、菱形的判定定理、多邊形的外角和，解題的關(guān)鍵是掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的進(jìn)行判斷．8．D【分析】取AC的中點(diǎn)M，連接EM設(shè)由中位線性質(zhì)可得再根據(jù)，可得出從而得到FC的長(zhǎng)，即可得到的結(jié)果．解：如圖所示：取AC的中點(diǎn)M，連接EM，DM，設(shè)∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴EM是的中位線，四邊形是菱形，，∠AMD=90°，，∴DM=，∴AM=故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．9．A【分析】利用中位線、菱形、矩形的性質(zhì)可知，每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，由此可解．解：如圖，連接AC，BD，，．∵四邊形ABCD是矩形，∴，，．∵，，，分別是矩形四個(gè)邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴四邊形是菱形，∵，，∴四邊形的面積為：．同理，由中位線的性質(zhì)可知，，，，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴四邊形的面積為：．∴每一次操作后得到的四邊形面積為原四邊形面積的一半，∴四邊形的面積是．故選:A．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)，證明四邊形是菱形，四邊形是矩形是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明四邊形為菱形，即可判斷①，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解．判斷③，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，根據(jù)作圖可得，且平分，，四邊形是矩形，，，又，，，，，四邊形是平行四邊形，垂直平分，，四邊形是菱形，故①正確；②，，∠AFB＝2∠ACB；故②正確；③由菱形的面積可得AC?EF＝CF?CD；故③不正確，④四邊形是矩形，，若AF平分∠BAC，，則，，，，，，，CF＝2BF．故④正確；故選B【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．24【分析】由菱形的性質(zhì)得到，再通過(guò)的面積，的面積得到菱形的面積．解：如圖：菱形中，，四邊形是菱形，，的面積，的面積，菱形的面積的面積的面積．故答案為：24．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，三角形面積，由三角形的面積得到菱形的面積的面積的面積是解題的關(guān)鍵．12．24【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，，根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定可推得四邊形為菱形，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得四邊形的面積．解：∵，∴，∵的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，，∴四邊形為平行四邊形，又∵，，，∴平行四邊形為菱形，∵，∴，∴，在中，，故菱形的面積為，故答案為：24．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．或【分析】分別以點(diǎn)A，B為圓心，為半徑作弧，交第一象限于格點(diǎn)，，，，，，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)果．解：分別以點(diǎn)A，B為圓心，為半徑作弧，交第一象限于格點(diǎn)，，，，，，順次連接A，B，，及A，B，，，得到菱形及菱形，觀察圖形可知點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，∵點(diǎn)，都在第一象限內(nèi)，∴符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)、確定平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．14．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位線定理得FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．解：如圖，取OD的中點(diǎn)H，連接FH，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，∴AO＝AB＝1，BO＝＝DO，∵點(diǎn)H是OD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴FH＝AO＝，F(xiàn)HAO，∴FH⊥BD，∵點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，點(diǎn)H是OD的中點(diǎn)，∴OE＝，OH＝，∴EH＝，∴EF＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理計(jì)算出菱形的邊長(zhǎng)BC的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線性質(zhì)，求出OF的長(zhǎng)．解：已知菱形ABCD，對(duì)角線互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根據(jù)勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的邊長(zhǎng)為，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DB中點(diǎn)，∴．故答案為【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．16．【分析】連接AC交BD于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，則可得四邊形MEOG是矩形，以及，從而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，運(yùn)用勾股定理求出AO的長(zhǎng)即可．解：連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴過(guò)點(diǎn)M作MG//BD交AC于點(diǎn)G，∴,∴又∴，∴四邊形MEOG是矩形，∴ME=OG，又∴∴在和中，,∴≌∴，∴，故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．17．8【分析】利用菱形對(duì)角線互相垂直且平分的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案即可．解：菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，AC=4cm，，，AO=OC=AC=2cmcm，cm，cm，故答案為：8．【點(diǎn)撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握菱形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理解直角三角形，是解題關(guān)鍵．18．/【分析】作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF，利用菱形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求出OF，OE長(zhǎng)，再證明△EOF是直角三角形，然后由勾股定理求出EF長(zhǎng)即可．解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，此時(shí)，PO+PE最小，最小值=EF的長(zhǎng)，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=3，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=3，∠BAO=30°，∴OB==，∴OA=，∴點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，∴OF⊥AB，OG=FG，∴OF=2OG=OA=，∠AOG=60°，∵CE⊥AH于E，OA=OC，∴OE=OC=OA=，∴∠AEC=∠CAE，∵AH平分∠BAC，∴∠CAE=15°，∴∠AEO=∠CAE=15°，∴∠COE=∠AEO+∠CAE=30°，∴∠COE+∠AOG=30°+60°=90°，∴∠FOE=90°，∴由勾股定理，得EF=,∴PO+PE最小值=．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作點(diǎn)O關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接OF交AB于G，連接PE交直線AB于P，連接PO，則PO=PF，則PO+PE最小，最小值=EF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．19．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，證明，推出四邊形為平行四邊形，得到，即可得證；（2）先證明四邊形是菱形，得到，進(jìn)而得到，即可得證．解：（1）證明：連接，交于點(diǎn)，

∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．20．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接即可；（2）連接，由菱形的性質(zhì)得到，，則，由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得，故得到，則．（1）解：

（2）解：連接，菱形，，，，垂直平分，，，．【點(diǎn)撥】本題主要考查基本作圖，菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)．按照要求作出邊的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．21．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)，角平分線定義推出，得到，判定四邊形是平行四邊形，推出，得到．（2）由菱形的性質(zhì)得到，，推出四邊形的菱形，由平行線的性質(zhì)得到，判定是等邊三角形，得到，，求出，得到，由菱形的面積公式即可求出四邊形的面積．解：（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，平分，平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，．（2）解：由（1）知，，四邊形是菱形，，，，四邊形的菱形，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，四邊形的面積．【點(diǎn)撥】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由，得到，判定四邊形是平行四邊形；證明四邊形是菱形．22．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在中，由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對(duì)角線平分對(duì)角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．解：（1）證明：由題意可知，，，，四邊形地平行四邊形；（2）如圖，在中，