四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2

安寧河聯(lián)盟20232024學(xué)年度下期高2022級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時(shí)間共120分鐘，滿分150分注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．3．答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上．4．所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效．5．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列中，則（）A． B． C． D．22．已知數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，如果成等比數(shù)列，那么d等于（）A．2或 B． C．2 D．33．已知，若，則等于（）A．0 B．1 C．e D．2e4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．5．若數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，若，且關(guān)于x不等式在上恒成立，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列滿足，則等于（）A．2565 B．2575 C．2585 D．2595二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知數(shù)列是等比數(shù)列，則下列結(jié)論中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列B．若，，則C．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則10．已知在處取得極大值1，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．對(duì)稱中心為C． D．11．下列判斷正確的是（）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題，共77分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．等差數(shù)列中，，則______．13．已知函數(shù)在上存在遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．14．已知，關(guān)于x的方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則m取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，是以1為首項(xiàng)1為公差的等差數(shù)列．（1）求的表達(dá)式和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：16．設(shè)數(shù)列，滿足：，，且，對(duì)成立．（1）證明是等比數(shù)列．（2）求和的通項(xiàng)公式．17．已知函數(shù)，（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，求a的范圍．18．雪花是一種美麗的結(jié)晶體，放大任意一片雪花的局部，會(huì)發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的，如圖是瑞典科學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案，其作法如下：將圖①中正三角形的每條邊三等分，并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形，再去掉底邊，得到圖②；將圖②的每條邊三等分，重復(fù)上述的作圖方法，得到圖③；……按上述方法，所得到的曲線稱為科赫雪花曲線（Kochsnowflake）．現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、…．小明為了研究圖形的面積，把圖形的面積記為，假設(shè)，并作了如下探究：…邊數(shù)31248192…從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…根據(jù)小明的假設(shè)與思路，解答下列問(wèn)題．（1）填寫(xiě)表格最后一列，并寫(xiě)出與的關(guān)系式；（2）根據(jù)（1）得到的遞推公式，求的通項(xiàng)公式；（3）從第幾個(gè)圖形開(kāi)始，雪花曲線所圍成的面積大于．參考數(shù)據(jù)（，）19．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程．（2）設(shè)分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，記，；①證明：直線與曲線交于另一個(gè)點(diǎn)C；②在①的條件下，判斷是否存在常數(shù)，使得，若存在，求n；若不存在，說(shuō)明理由．附：，安寧河聯(lián)盟20232024學(xué)年度下期高2022級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．【答案】B解析：因?yàn)?，，，，?．【答案】C解析：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，因?yàn)?，所以，解得：（舍去）?．【答案】B解析：因?yàn)?，則所以4．【答案】A解析：由的定義域?yàn)椋?，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，5．【答案】D解析：因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)②，①②得，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；6．【答案】C解析：因?yàn)楹瘮?shù)，，且是遞增數(shù)列，則，解得．7．【答案】D解析：8．【答案】D解析：由，得，由，得；…故是以5為首項(xiàng)，24為公差的等差數(shù)列的前15項(xiàng)和．所以二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．（答案有三個(gè)，選對(duì)一個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分，全選對(duì)得6分，答案有二個(gè)，選對(duì)一個(gè)得2分，全選對(duì)得6分）9．【答案】AC解析：由數(shù)列是等比數(shù)列，知：在A中，，是常數(shù)，數(shù)列是等比數(shù)列，故A正確；在B中，若，，則，故B錯(cuò)誤；在C中，若，則，數(shù)列是遞增數(shù)列，故C正確；在D中，若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則，，，，，成等比數(shù)列，，，解得，故D錯(cuò)誤．10．【答案】ABD解析：由題意可得，且是函數(shù)的極大值點(diǎn)，即，可得，又極大值為1，所以，解得或；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)在處取得極小值，與題意不符，即舍去，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；此時(shí)函數(shù)在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，此時(shí)，所以對(duì)稱中心為，B正確，即D正確．11．【答案】ABD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)，，由切線放縮得，故，即對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，故對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槿我?，，所以?duì)于D選項(xiàng)，與結(jié)合圖形可知，當(dāng)時(shí)，，所以三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．【答案】20解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，所以，所以，所以．13．【答案】解析：由題意得的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間，即在區(qū)間上能成立，即，設(shè)，，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，則．14．【答案】解析：令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)函數(shù)有最小值．令，則所求等價(jià)于有三個(gè)不同實(shí)根．當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去．當(dāng)時(shí)，要使得方程有三個(gè)根，則，而，不滿足，舍去．故，，設(shè)則有，，即，解得四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．解析：（1）因是以1為首項(xiàng)1為公差為的等差數(shù)列，因此，即，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足上式，所以的通項(xiàng)公式是（2）由（1）知：16．解析：（1）移項(xiàng)得到，相加得所以因?yàn)?，所以是首?xiàng)為5，公比為的等比數(shù)列．（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到，又因?yàn)椋詫?duì)成立所以，對(duì)成立所以通項(xiàng)公式為和17．解析：（1）因?yàn)?，所以①?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由得或，由得，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）由（1）可知①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上的最大值為；②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值只有可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以即可，則③當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；在上的最大值可能是或，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，所以即可，則由①②③得，18．【解析】（1）圖形、、…、、…的邊數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則圖形的邊數(shù)為；從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)為；從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積是…邊數(shù)31248192…從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的三角形的個(gè)數(shù)31248…從起，每一個(gè)比前一個(gè)圖形多出的每一個(gè)三角形的面積…所以，即（2）當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，符合上式，所以?）由，得，則，所以，故，由，，故，又因?yàn)椋?，所以從?個(gè)圖形開(kāi)始雪花曲線所圍成的面積大于．19．解析：（1）當(dāng)時(shí)，，故，所以當(dāng)時(shí)