高考數(shù)學（北師大版理）練習第十三章推理與證明算法復數(shù)第5講復數(shù)

第5講復數(shù)一、選擇題1.(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A.3，－2 B.3，2C.3，－3 D.－1，4解析(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故選A.答案A2.(2016·四川卷)設i為虛數(shù)單位，則(x＋i)6的展開式中含x4的項為()A.－15x4 B.15x4C.－20ix4 D.20ix4解析展開式中含x4的項為第三項，∴T3＝Ceq\o\al(2,6)·x4·i2＝－15x4.答案A3.(2016·山東卷)若復數(shù)z＝eq\f(2,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則＝()A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i解析∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i，∴＝1－i，故選B.答案B4.(2015·安徽卷)設i為虛數(shù)單位，則復數(shù)(1－i)(1＋2i)＝()A.3＋3i B.－1＋3i C.3＋i D.－1＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.答案C5.(2016·全國Ⅰ卷)設(1＋2i)(a＋i)的實部與虛部相等，其中a為實數(shù)，則a＝()A.－3 B.－2 C.2 D.3解析因為(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i，所以a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故選A.答案A6.復數(shù)eq\f(1－i,2－i)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析復數(shù)eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(（1－i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，∴其對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，在第四象限，故選D.答案D7.(2017·北京東城綜合測試)若復數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()A.－1 B.0 C.1 D.2解析因為復數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))解得m＝1，故選C.答案C8.已知復數(shù)z＝eq\f(1＋2i,2－i)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A.－1 B.0C.1 D.i解析∵z＝eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(（1＋2i）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq\f(5i,5)＝i，故虛部為1.答案C9.設z是復數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若z2≥0，則z是實數(shù) B.若z2＜0，則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù)，則z2≥0 D.若z是純虛數(shù)，則z2＜0解析舉反例說明，若z＝i，則z2＝－1＜0，故選C.答案C10.設z1，z2是復數(shù)，則下列命題中的假命題是()A.若|z1－z2|＝0，則1＝2B.若z1＝2，則1＝z2C.若|z1|＝|z2|，則z1·1＝z2·2D.若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析A中，|z1－z2|＝0，則z1＝z2，故1＝2，成立.B中，z1＝2，則1＝2成立.C中，|z1|＝|z2|，則|z1|2＝|z2|2，即z11＝z22，C正確.D不一定成立，如z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2，則|z1|＝2＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝－2＋2eq\r(3)i，zeq\o\al(2,2)＝4，zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D11.(2015·全國Ⅱ卷)若a為實數(shù)，且eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，則a等于()A.－4 B.－3 C.3 D.4解析由eq\f(2＋ai,1＋i)＝3＋i，得2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，即ai＝4i，因為a為實數(shù)，所以a＝4.故選D.答案D12.(2017·河北省三市聯(lián)考)若復數(shù)z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在復平面上對應的點在第二象限，則實數(shù)a可以是()A.－4 B.－3 C.1 D.2解析因為z＝eq\f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在復平面上對應的點在第二象限，所以a<－3，選A.答案A二、填空題13.(2016·江蘇卷)復數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實部是________.解析(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的實部為5.答案514.(2015·四川卷)設i是虛數(shù)單位，則復數(shù)i－eq\f(1,i)＝________.解析i－eq\f(1,i)＝i－eq\f(i,i2)＝2i.答案2i15.(2016·天津卷)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位，若(1＋i)(1－bi)＝a，則eq\f(a,b)的值為________.解析由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋i(1－b)＝a，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＝a，,1－b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))所以eq\f(a,b)＝2.答案216.若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.解析eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(（3＋bi）（1＋i）,2)＝eq\f(1,2)[(3－b)＋(3＋b)i]＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(3＋b,2)i.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3－b,2)，,b＝\f(3＋b,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案317.若i為虛數(shù)單位，圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z，則表示復數(shù)eq\f(z,1＋i)的點是()A.E B.FC.G D.H解析由題圖知復數(shù)z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(（3＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示復數(shù)eq\f(z,1＋i)的點為H.答案D18.是z的共軛復數(shù)，若z＋＝2，(z－)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A.1＋i B.－1－iC.－1＋i D.1－i解析法一設z＝a＋bi，a，b為實數(shù)，則z＝a－bi.∵z＋＝2a＝2，∴a＝1.又(z－)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二∵(z－)i＝2，∴z－＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋＝2，∴(z－)＋(z＋)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.答案D19.(2014·全國Ⅰ卷)設z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.2解析∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,（1＋i）（1－i）)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，故選B.答案B20.(2017·安徽師大附中月考)已知復數(shù)z＝(cosθ－isinθ)·(1＋i)，則“z為純虛數(shù)”的一個充分不必要條件是()A.θ＝eq\f(π,4) B.θ＝eq\f(π,2)C.θ＝eq\f(3π,4) D.θ＝eq\f(5π,4)解析因為z＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，所以當θ＝eq\f(3π,4)時，z＝－eq\r(2)i為純虛數(shù)，當z為純虛數(shù)時，θ＝kπ－eq\f(π,4).故選C.答案C21.(2017·哈爾濱六中期中)若復數(shù)z滿足i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)，則z的共軛復數(shù)的虛部是()A.－eq\f(1,2)i B.eq\f(1,2)i C.－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)?z＝eq\f(－\f(1,2)（1＋i）,i)＝eq\f(－\f(1,2)（1＋i）·i,i·i)＝eq\f(1,2)(－1＋i)，則z的共軛復數(shù)z＝eq\f(1,2)(－1－i)，其虛部是－eq\f(1,2).答案C22.(2017·陜西高三四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若eq\f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是()A.－2 B.－1 C.0 D.eq\f(1,2)解析∵eq\f(（2＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i＝a＋bi，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg1＝0.答案C23.下面是關于復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共軛復數(shù)為1＋i;p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()A.p2，p3 B.p1，p2C.p2，p4 D.p3，p4解析∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(（－1）2＋（－1）2)＝eq\r(2)，∴p1是假命題；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命題；∵＝－1＋i，∴p3是假命題；∵z的虛部為－1，∴p4是真命題.其中的真命題共有2個：p2，p4.答案C24.(2017·廣州綜合測試)若1－i(i是虛數(shù)單位)是關于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一個解，則p＋q＝()A.－3 B.－1 C.1 D.3解析依題意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2p＋q＝0，,p＋1＝0，))解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故選C.答案C25.復數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對應的點在第三象限內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析z＝(3m－2)＋(m－1)i，其對應點(3m－2，m－1)在第三象限內(nèi)，故3m－2<0且m－1<0，∴m<eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))26.設f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)(n∈N＋)，則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為________.解析f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq\s\up12(n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))eq\s\up12(n)＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3個元素.答案327.已知復數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則e