高考數(shù)學(北師大版理)練習第十三章推理與證明算法復數(shù)第5講復數(shù)_第1頁
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文檔簡介

第5講復數(shù)一、選擇題1.(2015·福建卷)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虛數(shù)單位),則a,b的值分別等于()A.3,-2 B.3,2C.3,-3 D.-1,4解析(1+i)+(2-3i)=3-2i=a+bi,∴a=3,b=-2,故選A.答案A2.(2016·四川卷)設i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開式中含x4的項為()A.-15x4 B.15x4C.-20ix4 D.20ix4解析展開式中含x4的項為第三項,∴T3=Ceq\o\al(2,6)·x4·i2=-15x4.答案A3.(2016·山東卷)若復數(shù)z=eq\f(2,1-i),其中i為虛數(shù)單位,則=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i解析∵z=eq\f(2,1-i)=eq\f(2(1+i),(1-i)(1+i))=1+i,∴=1-i,故選B.答案B4.(2015·安徽卷)設i為虛數(shù)單位,則復數(shù)(1-i)(1+2i)=()A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i解析(1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.答案C5.(2016·全國Ⅰ卷)設(1+2i)(a+i)的實部與虛部相等,其中a為實數(shù),則a=()A.-3 B.-2 C.2 D.3解析因為(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i,所以a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.答案A6.復數(shù)eq\f(1-i,2-i)對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析復數(shù)eq\f(1-i,2-i)=eq\f((1-i)(2+i),(2-i)(2+i))=eq\f(3,5)-eq\f(1,5)i,∴其對應的點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5),-\f(1,5))),在第四象限,故選D.答案D7.(2017·北京東城綜合測試)若復數(shù)(m2-m)+mi為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為()A.-1 B.0 C.1 D.2解析因為復數(shù)(m2-m)+mi為純虛數(shù),所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2-m=0,,m≠0,))解得m=1,故選C.答案C8.已知復數(shù)z=eq\f(1+2i,2-i)(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.-1 B.0C.1 D.i解析∵z=eq\f(1+2i,2-i)=eq\f((1+2i)(2+i),(2-i)(2+i))=eq\f(5i,5)=i,故虛部為1.答案C9.設z是復數(shù),則下列命題中的假命題是()A.若z2≥0,則z是實數(shù) B.若z2<0,則z是虛數(shù)C.若z是虛數(shù),則z2≥0 D.若z是純虛數(shù),則z2<0解析舉反例說明,若z=i,則z2=-1<0,故選C.答案C10.設z1,z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是()A.若|z1-z2|=0,則1=2B.若z1=2,則1=z2C.若|z1|=|z2|,則z1·1=z2·2D.若|z1|=|z2|,則zeq\o\al(2,1)=zeq\o\al(2,2)解析A中,|z1-z2|=0,則z1=z2,故1=2,成立.B中,z1=2,則1=2成立.C中,|z1|=|z2|,則|z1|2=|z2|2,即z11=z22,C正確.D不一定成立,如z1=1+eq\r(3)i,z2=2,則|z1|=2=|z2|,但zeq\o\al(2,1)=-2+2eq\r(3)i,zeq\o\al(2,2)=4,zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D11.(2015·全國Ⅱ卷)若a為實數(shù),且eq\f(2+ai,1+i)=3+i,則a等于()A.-4 B.-3 C.3 D.4解析由eq\f(2+ai,1+i)=3+i,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即ai=4i,因為a為實數(shù),所以a=4.故選D.答案D12.(2017·河北省三市聯(lián)考)若復數(shù)z=eq\f(a+3i,i)+a在復平面上對應的點在第二象限,則實數(shù)a可以是()A.-4 B.-3 C.1 D.2解析因為z=eq\f(a+3i,i)+a=(3+a)-ai在復平面上對應的點在第二象限,所以a<-3,選A.答案A二、填空題13.(2016·江蘇卷)復數(shù)z=(1+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位,則z的實部是________.解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的實部為5.答案514.(2015·四川卷)設i是虛數(shù)單位,則復數(shù)i-eq\f(1,i)=________.解析i-eq\f(1,i)=i-eq\f(i,i2)=2i.答案2i15.(2016·天津卷)已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位,若(1+i)(1-bi)=a,則eq\f(a,b)的值為________.解析由(1+i)(1-bi)=a,得1+b+i(1-b)=a,則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1+b=a,,1-b=0,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=2,,b=1))所以eq\f(a,b)=2.答案216.若eq\f(3+bi,1-i)=a+bi(a,b為實數(shù),i為虛數(shù)單位),則a+b=________.解析eq\f(3+bi,1-i)=eq\f((3+bi)(1+i),2)=eq\f(1,2)[(3-b)+(3+b)i]=eq\f(3-b,2)+eq\f(3+b,2)i.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=\f(3-b,2),,b=\f(3+b,2),))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=0,,b=3.))∴a+b=3.答案317.若i為虛數(shù)單位,圖中復平面內(nèi)點Z表示復數(shù)z,則表示復數(shù)eq\f(z,1+i)的點是()A.E B.FC.G D.H解析由題圖知復數(shù)z=3+i,∴eq\f(z,1+i)=eq\f(3+i,1+i)=eq\f((3+i)(1-i),(1+i)(1-i))=eq\f(4-2i,2)=2-i.∴表示復數(shù)eq\f(z,1+i)的點為H.答案D18.是z的共軛復數(shù),若z+=2,(z-)i=2(i為虛數(shù)單位),則z等于()A.1+i B.-1-iC.-1+i D.1-i解析法一設z=a+bi,a,b為實數(shù),則z=a-bi.∵z+=2a=2,∴a=1.又(z-)i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故z=1-i.法二∵(z-)i=2,∴z-=eq\f(2,i)=-2i.又z+=2,∴(z-)+(z+)=-2i+2,∴2z=-2i+2,∴z=1-i.答案D19.(2014·全國Ⅰ卷)設z=eq\f(1,1+i)+i,則|z|=()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2) D.2解析∵z=eq\f(1,1+i)+i=eq\f(1-i,(1+i)(1-i))+i=eq\f(1-i,2)+i=eq\f(1,2)+eq\f(1,2)i,∴|z|=eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))=eq\f(\r(2),2),故選B.答案B20.(2017·安徽師大附中月考)已知復數(shù)z=(cosθ-isinθ)·(1+i),則“z為純虛數(shù)”的一個充分不必要條件是()A.θ=eq\f(π,4) B.θ=eq\f(π,2)C.θ=eq\f(3π,4) D.θ=eq\f(5π,4)解析因為z=(cosθ+sinθ)+(cosθ-sinθ)i,所以當θ=eq\f(3π,4)時,z=-eq\r(2)i為純虛數(shù),當z為純虛數(shù)時,θ=kπ-eq\f(π,4).故選C.答案C21.(2017·哈爾濱六中期中)若復數(shù)z滿足i·z=-eq\f(1,2)(1+i),則z的共軛復數(shù)的虛部是()A.-eq\f(1,2)i B.eq\f(1,2)i C.-eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析i·z=-eq\f(1,2)(1+i)?z=eq\f(-\f(1,2)(1+i),i)=eq\f(-\f(1,2)(1+i)·i,i·i)=eq\f(1,2)(-1+i),則z的共軛復數(shù)z=eq\f(1,2)(-1-i),其虛部是-eq\f(1,2).答案C22.(2017·陜西高三四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位,若eq\f(2+i,1+i)=a+bi(a,b∈R),則lg(a+b)的值是()A.-2 B.-1 C.0 D.eq\f(1,2)解析∵eq\f((2+i)(1-i),(1+i)(1-i))=eq\f(3-i,2)=eq\f(3,2)-eq\f(1,2)i=a+bi,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a=\f(3,2),,b=-\f(1,2),))∴l(xiāng)g(a+b)=lg1=0.答案C23.下面是關于復數(shù)z=eq\f(2,-1+i)的四個命題:p1:|z|=2;p2:z2=2i;p3:z的共軛復數(shù)為1+i;p4:z的虛部為-1.其中的真命題為()A.p2,p3 B.p1,p2C.p2,p4 D.p3,p4解析∵z=eq\f(2,-1+i)=-1-i,∴|z|=eq\r((-1)2+(-1)2)=eq\r(2),∴p1是假命題;∵z2=(-1-i)2=2i,∴p2是真命題;∵=-1+i,∴p3是假命題;∵z的虛部為-1,∴p4是真命題.其中的真命題共有2個:p2,p4.答案C24.(2017·廣州綜合測試)若1-i(i是虛數(shù)單位)是關于x的方程x2+2px+q=0(p,q∈R)的一個解,則p+q=()A.-3 B.-1 C.1 D.3解析依題意得(1-i)2+2p(1-i)+q=(2p+q)-2(p+1)i=0,即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2p+q=0,,p+1=0,))解得p=-1,q=2,所以p+q=1,故選C.答案C25.復數(shù)(3+i)m-(2+i)對應的點在第三象限內(nèi),則實數(shù)m的取值范圍是________.解析z=(3m-2)+(m-1)i,其對應點(3m-2,m-1)在第三象限內(nèi),故3m-2<0且m-1<0,∴m<eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(2,3)))26.設f(n)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+i,1-i)))eq\s\up12(n)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-i,1+i)))eq\s\up12(n)(n∈N+),則集合{f(n)}中元素的個數(shù)為________.解析f(n)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1+i,1-i)))eq\s\up12(n)+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-i,1+i)))eq\s\up12(n)=in+(-i)n,f(1)=0,f(2)=-2,f(3)=0,f(4)=2,f(5)=0,…∴集合中共有3個元素.答案327.已知復數(shù)z=x+yi,且|z-2|=eq\r(3),則e

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