黑龍江省哈爾濱市蕭紅中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版+原卷）

蕭紅中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期八年級數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列漢字是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱點的坐標為（）A. B. C. D.3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.4.下列能用平方差公式計算的是（）A. B. C. D.5.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）A. B. C. D.6.計算：下列步驟出現(xiàn)錯誤的是（）①②③④A.① B.② C.③ D.④7.下列三角形：①有兩個角等于的三角形；②有一個角等于的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④8.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“*”，其規(guī)則是，如果，那么的值是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共24分）9.計算：__________.10.分解因式：x2－9＝______．11.等腰三角形的底角為，那么它的頂角的度數(shù)為___________．12.如圖，中，，，過點作的垂線交于，，則的長為________．13.若，，則＝_______．14.已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．15.已知是完全平方式，則______．16.如圖，在中，，，平分交于點，點，分別是和上的動點，設(shè)，若，則的最小值是________．三、解答題（17－18題各6分，19－23題各3分，24－25題各10分，共72分）17.計算：（1）（2）18.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，的坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于軸對稱；（2）求的面積．19.先化簡，再求值：，其中，．20.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．(1)證明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的長21.小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示正方形與長方形紙片若干張．（1）他用1張1號、1張2號和2張3號紙片拼出一個新圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是________．（2）如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要2號紙片________張，3號紙片________張；（3）當他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長方形）的面積，可以把多項式分解因式，其結(jié)果是________；（4）動手操作，請你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式________．22.數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由，（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：①特殊情況，探索結(jié)論，當點為的中點時，如圖2，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：______．(填>，<或=)②特例啟發(fā)，解答題目，解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)理由如下：如圖3，過點作，交于點，(請你補充完成解答過程)（2）拓展結(jié)論，設(shè)計新題，同學(xué)小敏解答后，提出了新的問題：在等邊中，點在直線上，點在直線上，且，已知的邊長為，求的長?(請直接寫出結(jié)果)23.閱讀下列材料，回答問題．（1）形如型的二次三項式，有以下特點：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．把這個二次三項式進行因式分解，可以這樣來解：．因此，可以得________．利用上面結(jié)論，可以直接將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式；（2）利用（1）中的結(jié)論，分解因式：①________；②________；③________．24.已知：在平面直角坐標系中，點，點．（1）如圖1，連接，于點，，求出的長度．（面積法）（2）如圖2，點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位的速度運動，運動時間為秒，設(shè)的面積為（平方單位），試用含的式子表示．（3）當，且點在線段的延長線上時，在軸上是否存在一點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．25.已知，中，．圖1圖2圖3（1）填表：（2）如圖1，，點在線段上，點在線段的延長線上，，求證：；（3）如圖2，，點在線段上，作，且，若，，求的長；（4）如圖3，點在的延長線上，連接，點為上一點，連接交于點，，當時，若，，求的長．

蕭紅中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期八年級數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列漢字是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念“一個圖形沿某條直線進行折疊，直線兩旁部分能夠完全重合的圖形”，由此問題可求解．【詳解】解：選項A、B、D不能找到某條直線進行折疊使得直線兩旁部分能夠完全重合；而選項C可以找到這樣的一條直線，故該選項是軸對稱圖形；故選C．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的識別，熟練掌握軸對稱圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2.在平面直角坐標系中，點關(guān)于軸對稱的點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于軸對稱的兩個點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】點關(guān)于軸對稱點的坐標為，故選：C．【點睛】本題考查了關(guān)于軸對稱的兩個點的坐標特征，掌握關(guān)于軸對稱的兩個點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪的運算法則逐一計算可得．【詳解】解：A、，此選項錯誤；

B、，此選項錯誤；

C、，此選項錯誤；

D、，此選項正確；

故選：D．【點睛】本題主要考查冪的運算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運算法則．4.下列能用平方差公式計算的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平方差的結(jié)構(gòu)特點判斷即可．【詳解】解：A、，不符合平方差結(jié)構(gòu)特點，不符合題意；B、（x＋2）（2＋x），不符合平方差結(jié)構(gòu)特點，不符合題意；C、，符合平方差結(jié)構(gòu)特點，符合題意；D、（x﹣2）（x＋1），不符合平方差結(jié)構(gòu)特點，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．5.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)過直線外一點向直線作垂線即可．【詳解】已知：直線AB和AB外一點C．求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C．作法：（1）任意取一點K，使K和C在AB的兩旁．（2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點D和E．（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點F，（4）作直線CF．直線CF就是所求的垂線．故選B．【點睛】此題主要考查了過一點作直線的垂線，熟練掌握基本作圖方法是解決問題的關(guān)鍵．6.計算：下列步驟出現(xiàn)錯誤的是（）①②③④A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】通過對算式適當變形，符合平方差公式的特點，即可解答題目．【詳解】①②③步驟正確，不符合題意；④步驟錯誤，符合題意．故選：D【點睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的特點是解本題的關(guān)鍵．7.下列三角形：①有兩個角等于的三角形；②有一個角等于的等腰三角形；③三個角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可進行求解．【詳解】解：①有兩個角等于的三角形是等邊三角形；②有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形；③三個角都相等的三角形是等邊三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和為求得每個內(nèi)角的度數(shù)為；④三邊都相等的三角形是等邊三角形；綜上所述：是等邊三角形的有①②③④；故選D．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定定理，熟練掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．8.在實數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運算“*”，其規(guī)則是，如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得方程：，解方程即可．【詳解】解：由題意得：，整理得，解得：；故選：A．【點睛】此題主要考查了新定義，解一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．二、填空題（每小題3分，共24分）9.計算：__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)積的乘方法則，把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題主要考查了積的乘方法則，關(guān)鍵是掌握積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘．10.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【詳解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.11.等腰三角形的底角為，那么它的頂角的度數(shù)為___________．【答案】##100度【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：因為等腰三角形的底角為，所以它的頂角的度數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12.如圖，中，，，過點作的垂線交于，，則的長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角度之間的關(guān)系，找到邊長之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵中，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，，即，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度之間的關(guān)系找到邊長之間的關(guān)系．13.若，，則＝_______．【答案】30【解析】【詳解】試題解析：2m+n=2m?2n=5×6=30．故答案為30．14.已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．【答案】34【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式的變形即可求解．【詳解】∵a﹣b＝8，∴（a﹣b）2=a2+b2-2ab=64∴a2+b2=64+2ab=64-30=34．故答案為：34．【點睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形運用．15.已知完全平方式，則______．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵完全平方式，∴，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，，平分交于點，點，分別是和上的動點，設(shè)，若，則的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂線段最短可知，當時，，，共線時，的值最小，最小值為，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，如圖所示：，平分，，，，，根據(jù)垂線段最短可知，當時，，，共線時，的值最小，最小值為，在中，，，，，，的最小值為，即的最小值是，故答案：．【點睛】本題考查了勾股定理，軸對稱最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是證明垂直平分線段，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．三、解答題（17－18題各6分，19－23題各3分，24－25題各10分，共72分）17.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】對于（1），單項式乘以多項式法則計算；對于（2），根據(jù)多項式除以單項式法則計算．【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式．【點睛】本題主要考查了整式的乘法和除法運算，掌握運算法則時解題的關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點，，的坐標分別為，，．（1）畫出關(guān)于軸對稱的；（2）求的面積．【答案】（1）見解析圖；（2）．【解析】【分析】（）分別作出點、、關(guān)于軸的對稱點，再順次連接可得；（）利用割補法求解可得．【小問1詳解】如圖，則關(guān)于軸對稱的點為，，，連接，，，∴即為所求；【小問2詳解】，，．【點睛】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，熟練掌握軸對稱變換的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.先化簡，再求值：，其中，．【答案】,0.5【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式展開，再計算加減法化簡，最后代入字母的值即可．【詳解】解：原式，當，時，原式．【點睛】此題考查了整式的化簡求值，涉及完全平方公式與平方差公式，正確掌握整式的運算法則是解題的關(guān)鍵．20.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點D是AB上一點，過點D作DE⊥BC交BC于點E，交CA延長線于點F．(1)證明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的長【答案】（1）見解析；（2）EC=4，理由見解析【解析】【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性質(zhì)可推出∠F=∠BDE，再根據(jù)對頂角相等進行等量代換即可推出∠F=∠FDA，于是得到結(jié)論；（2）由題意根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，又，，，，，又，，；（2），，又，，在中，，，.【點睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和余角的性質(zhì)以及對頂角的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理通過等量代換進行分析．21.小剛同學(xué)動手剪了如圖①所示的正方形與長方形紙片若干張．（1）他用1張1號、1張2號和2張3號紙片拼出一個新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個圖形的面積關(guān)系寫出一個你所熟悉的乘法公式，這個乘法公式是________．（2）如果要拼成一個長為，寬為的大長方形，則需要2號紙片________張，3號紙片________張；（3）當他拼成如圖③所示的長方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長方形）的面積，可以把多項式分解因式，其結(jié)果是________；（4）動手操作，請你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式________．【答案】（1）（2）2；3（3）（4）【解析】【分析】（1）利用面積相等即可求解．（2）根據(jù)題意，，進而可求解．（3）根據(jù)小紙片與大紙片面積相等即可求解．（4）根據(jù)小剛的方法先畫圖，再根據(jù)小紙片的面積與大紙片的面積相等即可求解．【小問1詳解】解：由題意得：，故答案為：．【小問2詳解】由題意得：，則需要2號紙片2張，3號紙片3張，故答案為：2；3．【小問3詳解】，故答案為：．【小問4詳解】，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)式子會畫出圖形是解題的關(guān)鍵．22.數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關(guān)系，并說明理由，（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：①特殊情況，探索結(jié)論，當點為的中點時，如圖2，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：______．(填>，<或=)②特例啟發(fā)，解答題目，解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)理由如下：如圖3，過點作，交于點，(請你補充完成解答過程)（2）拓展結(jié)論，設(shè)計新題，同學(xué)小敏解答后，提出了新的問題：在等邊中，點在直線上，點在直線上，且，已知的邊長為，求的長?(請直接寫出結(jié)果)【答案】（1）①AE=DB；②=；理由見解析；（2）2或4．【解析】【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出=求出DB=BE，進而得出AE=DB即可；②根據(jù)題意結(jié)合平行線性質(zhì)利用全等三角形的判定證得△BDE≌△FEC，求出AE=EF進而得到AE=DB即可；（2）根據(jù)題意分兩種情況討論，一種是點在線段上另一種是點在線段的反向延長線上進行分析即可.【詳解】解：（1）①∵為等邊三角形，點為的中點，∴,,∵,∴,得出,即有,∴,∴AE=DB.②AE=DB，理由如下：作EF//BC，交AB于E，AC于F，∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，∴∠4=∠5=120°，∵EC=ED，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC，∴DB=EF，∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=EF，∴AE=DB．(2)第一種情況：假設(shè)點在線段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如圖所示：根據(jù)②可知AE=DB，∵在等邊中，的邊長為，∴AE=DB=1,∴;第二種情況：假設(shè)點在線段的反向延長線上，如圖所示：根據(jù)②的結(jié)論可知AE=DB，∵在等邊中，的邊長為，∴；綜上所述CD的長為2或4．【點睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形進行分析.23.閱讀下列材料，回答問題．（1）形如型的二次三項式，有以下特點：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．把這個二次三項式進行因式分解，可以這樣來解：．因此，可以得________．利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式；（2）利用（1）中的結(jié)論，分解因式：①________；②________；③________．【答案】（1）（2）①；②；③【解析】【分析】（1）根據(jù)題材即可得出結(jié)論；（2）利用題材做給方法因式分解即可．【小問1詳解】解：．因此，可以得故答案為：．【小問2詳解】解：①．故答案為：；②．故答案為：；③．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，明確題意，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24.已知：平面直角坐標系中，點，點．（1）如圖1，連接，于點，，求出的長度．（面積法）（2）如圖2，點從點出發(fā)，沿射線以每秒個單位的速度運動，運動時間為秒，設(shè)的面積為（平方單位），試用含的式子表示．（3）當，且點在線段的延長線上時，在軸上是否存在一點，使得為等腰三角形？若存在，請直接寫出點坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2），（3）點坐標：或或或【解析】【分析】（1）由圖先求出，然后根據(jù)三角形面積可進行求解；（2）由題意可分當和當時，進而分類求解即可；（3）由（2）可知：或，則有，即，然后根據(jù)題意可分當時，當時和當時，進而分類求解即可．【小問1詳解】解：∵點，點，∴，∴