黑龍江省哈爾濱市蕭紅中學(xué)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版+原卷）

蕭紅中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列漢字是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.4.下列能用平方差公式計(jì)算的是（）A. B. C. D.5.尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，下列作圖中正確的是（）A. B. C. D.6.計(jì)算：下列步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（）①②③④A.① B.② C.③ D.④7.下列三角形：①有兩個(gè)角等于的三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④8.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“*”，其規(guī)則是，如果，那么的值是（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共24分）9.計(jì)算：__________.10.分解因式：x2－9＝______．11.等腰三角形的底角為，那么它的頂角的度數(shù)為_(kāi)__________．12.如圖，中，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．13.若，，則＝_______．14.已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．15.已知是完全平方式，則______．16.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若，則的最小值是________．三、解答題（17－18題各6分，19－23題各3分，24－25題各10分，共72分）17.計(jì)算：（1）（2）18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；（2）求的面積．19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．20.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)證明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的長(zhǎng)21.小剛同學(xué)動(dòng)手剪了如圖①所示正方形與長(zhǎng)方形紙片若干張．（1）他用1張1號(hào)、1張2號(hào)和2張3號(hào)紙片拼出一個(gè)新圖形（如圖②）．根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是________．（2）如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要2號(hào)紙片________張，3號(hào)紙片________張；（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長(zhǎng)方形）的面積，可以把多項(xiàng)式分解因式，其結(jié)果是________；（4）動(dòng)手操作，請(qǐng)你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式________．22.數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，試確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由，（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：①特殊情況，探索結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：______．(填>，<或=)②特例啟發(fā)，解答題目，解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，(請(qǐng)你補(bǔ)充完成解答過(guò)程)（2）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題，同學(xué)小敏解答后，提出了新的問(wèn)題：在等邊中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，已知的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)?(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)23.閱讀下列材料，回答問(wèn)題．（1）形如型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以這樣來(lái)解：．因此，可以得________．利用上面結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式；（2）利用（1）中的結(jié)論，分解因式：①________；②________；③________．24.已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）如圖1，連接，于點(diǎn)，，求出的長(zhǎng)度．（面積法）（2）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，設(shè)的面積為（平方單位），試用含的式子表示．（3）當(dāng)，且點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25.已知，中，．圖1圖2圖3（1）填表：（2）如圖1，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，，求證：；（3）如圖2，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，作，且，若，，求的長(zhǎng)；（4）如圖3，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．

蕭紅中學(xué)2023－2024學(xué)年度上學(xué)期八年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試一、選擇題（每小題3分，共24分）1.下列漢字是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念“一個(gè)圖形沿某條直線(xiàn)進(jìn)行折疊，直線(xiàn)兩旁部分能夠完全重合的圖形”，由此問(wèn)題可求解．【詳解】解：選項(xiàng)A、B、D不能找到某條直線(xiàn)進(jìn)行折疊使得直線(xiàn)兩旁部分能夠完全重合；而選項(xiàng)C可以找到這樣的一條直線(xiàn)，故該選項(xiàng)是軸對(duì)稱(chēng)圖形；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念是解題的關(guān)鍵．2.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．3.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得．【詳解】解：A、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、，此選項(xiàng)正確；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握冪的運(yùn)算法則．4.下列能用平方差公式計(jì)算的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平方差的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)判斷即可．【詳解】解：A、，不符合平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不符合題意；B、（x＋2）（2＋x），不符合平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不符合題意；C、，符合平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，符合題意；D、（x﹣2）（x＋1），不符合平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．5.尺規(guī)作圖：經(jīng)過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)作這條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，下列作圖中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)向直線(xiàn)作垂線(xiàn)即可．【詳解】已知：直線(xiàn)AB和AB外一點(diǎn)C．求作：AB的垂線(xiàn)，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁．（2）以C為圓心，CK的長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E．（3）分別以D和E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，（4）作直線(xiàn)CF．直線(xiàn)CF就是所求的垂線(xiàn)．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了過(guò)一點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，熟練掌握基本作圖方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6.計(jì)算：下列步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（）①②③④A.① B.② C.③ D.④【答案】D【解析】【分析】通過(guò)對(duì)算式適當(dāng)變形，符合平方差公式的特點(diǎn)，即可解答題目．【詳解】①②③步驟正確，不符合題意；④步驟錯(cuò)誤，符合題意．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．7.下列三角形：①有兩個(gè)角等于的三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形；③三個(gè)角都相等的三角形；④三邊都相等的三角形．其中是等邊三角形的有（）A.①②③ B.①②④ C.①③ D.①②③④【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的判定定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：①有兩個(gè)角等于的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形；③三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形，可根據(jù)三角形內(nèi)角和為求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為；④三邊都相等的三角形是等邊三角形；綜上所述：是等邊三角形的有①②③④；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定定理，熟練掌握等邊三角形的判定是解題的關(guān)鍵．8.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種新運(yùn)算“*”，其規(guī)則是，如果，那么的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得方程：，解方程即可．【詳解】解：由題意得：，整理得，解得：；故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了新定義，解一元一次方程，關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程．二、填空題（每小題3分，共24分）9.計(jì)算：__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)積的乘方法則，把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了積的乘方法則，關(guān)鍵是掌握積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．10.分解因式：x2－9＝______．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】【詳解】解：x2-9=（x+3）（x-3），故答案：（x+3）（x-3）.11.等腰三角形的底角為，那么它的頂角的度數(shù)為_(kāi)__________．【答案】##100度【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理即可得．【詳解】解：因?yàn)榈妊切蔚牡捉菫?，所以它的頂角的度?shù)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12.如圖，中，，，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角度之間的關(guān)系，找到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵中，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，設(shè)，則，，即，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角度之間的關(guān)系找到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系．13.若，，則＝_______．【答案】30【解析】【詳解】試題解析：2m+n=2m?2n=5×6=30．故答案為30．14.已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．【答案】34【解析】【分析】根據(jù)完全平方公式的變形即可求解．【詳解】∵a﹣b＝8，∴（a﹣b）2=a2+b2-2ab=64∴a2+b2=64+2ab=64-30=34．故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形運(yùn)用．15.已知完全平方式，則______．【答案】【解析】【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【詳解】解：∵完全平方式，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，若，則的最小值是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)時(shí)，，，共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為，根據(jù)三角形的面積公式得到，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接，如圖所示：，平分，，，，，根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)時(shí)，，，共線(xiàn)時(shí)，的值最小，最小值為，在中，，，，，，的最小值為，即的最小值是，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明垂直平分線(xiàn)段，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．三、解答題（17－18題各6分，19－23題各3分，24－25題各10分，共72分）17.計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】對(duì)于（1），單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算；對(duì)于（2），根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】原式；【小問(wèn)2詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的乘法和除法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則時(shí)解題的關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，．（1）畫(huà)出關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的；（2）求的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析圖；（2）．【解析】【分析】（）分別作出點(diǎn)、、關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再順次連接可得；（）利用割補(bǔ)法求解可得．【小問(wèn)1詳解】如圖，則關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，，，連接，，，∴即為所求；【小問(wèn)2詳解】，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖﹣軸對(duì)稱(chēng)變換，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)變換的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】,0.5【解析】【分析】利用完全平方公式和平方差公式展開(kāi)，再計(jì)算加減法化簡(jiǎn)，最后代入字母的值即可．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，涉及完全平方公式與平方差公式，正確掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．20.如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．(1)證明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B=60°，BD=4，AD=2，求EC的長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EC=4，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC和余角的性質(zhì)可推出∠F=∠BDE，再根據(jù)對(duì)頂角相等進(jìn)行等量代換即可推出∠F=∠FDA，于是得到結(jié)論；（2）由題意根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），，又，，，，，又，，；（2），，又，，在中，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)和余角的性質(zhì)以及對(duì)頂角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理通過(guò)等量代換進(jìn)行分析．21.小剛同學(xué)動(dòng)手剪了如圖①所示的正方形與長(zhǎng)方形紙片若干張．（1）他用1張1號(hào)、1張2號(hào)和2張3號(hào)紙片拼出一個(gè)新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是________．（2）如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要2號(hào)紙片________張，3號(hào)紙片________張；（3）當(dāng)他拼成如圖③所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長(zhǎng)方形）的面積，可以把多項(xiàng)式分解因式，其結(jié)果是________；（4）動(dòng)手操作，請(qǐng)你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式________．【答案】（1）（2）2；3（3）（4）【解析】【分析】（1）利用面積相等即可求解．（2）根據(jù)題意，，進(jìn)而可求解．（3）根據(jù)小紙片與大紙片面積相等即可求解．（4）根據(jù)小剛的方法先畫(huà)圖，再根據(jù)小紙片的面積與大紙片的面積相等即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：由題意得：，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】由題意得：，則需要2號(hào)紙片2張，3號(hào)紙片3張，故答案為：2；3．【小問(wèn)3詳解】，故答案為：．【小問(wèn)4詳解】，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)式子會(huì)畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．22.數(shù)學(xué)課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，試確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由，（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：①特殊情況，探索結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，如圖2，確定線(xiàn)段與的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：______．(填>，<或=)②特例啟發(fā)，解答題目，解：題目中，與的大小關(guān)系是：______．(填>，<或=)理由如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，(請(qǐng)你補(bǔ)充完成解答過(guò)程)（2）拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題，同學(xué)小敏解答后，提出了新的問(wèn)題：在等邊中，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，已知的邊長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)?(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)【答案】（1）①AE=DB；②=；理由見(jiàn)解析；（2）2或4．【解析】【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出=求出DB=BE，進(jìn)而得出AE=DB即可；②根據(jù)題意結(jié)合平行線(xiàn)性質(zhì)利用全等三角形的判定證得△BDE≌△FEC，求出AE=EF進(jìn)而得到AE=DB即可；（2）根據(jù)題意分兩種情況討論，一種是點(diǎn)在線(xiàn)段上另一種是點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）①∵為等邊三角形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴,,∵,∴,得出,即有,∴,∴AE=DB.②AE=DB，理由如下：作EF//BC，交AB于E，AC于F，∵EF//BC，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，∴∠4=∠5=120°，∵EC=ED，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC，∴DB=EF，∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，∴△AEF為等邊三角形，∴AE=EF，∴AE=DB．(2)第一種情況：假設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如圖所示：根據(jù)②可知AE=DB，∵在等邊中，的邊長(zhǎng)為，∴AE=DB=1,∴;第二種情況：假設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖所示：根據(jù)②的結(jié)論可知AE=DB，∵在等邊中，的邊長(zhǎng)為，∴；綜上所述CD的長(zhǎng)為2或4．【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)和判定和等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等的三角形進(jìn)行分析.23.閱讀下列材料，回答問(wèn)題．（1）形如型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以這樣來(lái)解：．因此，可以得________．利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式；（2）利用（1）中的結(jié)論，分解因式：①________；②________；③________．【答案】（1）（2）①；②；③【解析】【分析】（1）根據(jù)題材即可得出結(jié)論；（2）利用題材做給方法因式分解即可．【小問(wèn)1詳解】解：．因此，可以得故答案為：．【小問(wèn)2詳解】解：①．故答案為：；②．故答案為：；③．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，明確題意，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．24.已知：平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）如圖1，連接，于點(diǎn)，，求出的長(zhǎng)度．（面積法）（2）如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線(xiàn)以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，設(shè)的面積為（平方單位），試用含的式子表示．（3）當(dāng)，且點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2），（3）點(diǎn)坐標(biāo)：或或或【解析】【分析】（1）由圖先求出，然后根據(jù)三角形面積可進(jìn)行求解；（2）由題意可分當(dāng)和當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分類(lèi)求解即可；（3）由（2）可知：或，則有，即，然后根據(jù)題意可分當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，進(jìn)而分類(lèi)求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，∴