江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.9 B.8.5 C.8 D.7.52.設(shè)平面向量，均為單位向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.甲、乙、丙、丁4個(gè)學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動(dòng)，現(xiàn)有五個(gè)研學(xué)基地供選擇，每個(gè)學(xué)校只選擇一個(gè)基地，則4個(gè)學(xué)校中至少有3個(gè)學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）A.420 B.460 C.480 D.5204.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且2an－Sn＝2，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，若對(duì)于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.B.C.D.6.已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意有，，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.7.已知拋物線過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M，N為C上的兩點(diǎn)，且直線AM與AN的斜率之和為0，直線L的斜率為，且過C的焦點(diǎn)F，直線L把分成面積相等的兩部分，則直線MN的方程為（）A. B.C. D.8.已知，且，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）AB.C.D.選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖像恒過定點(diǎn)B.“”的必要不充分條件是“”C.函數(shù)的最小正周期為2D.函數(shù)的最小值為210.函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)是圖象上的最高點(diǎn)，點(diǎn)是圖象與軸的交點(diǎn)，點(diǎn)在軸上.若是等腰直角三角形，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D.區(qū)間上有個(gè)極值點(diǎn)11.已知函數(shù)圖象上的點(diǎn)均滿足對(duì)有成立，則（）A.B.的極值點(diǎn)為C.D.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為__________.13.若直線與曲線相切，則的最小值為__________.14.已知圓，拋物線.若對(duì)于上任意一點(diǎn)，使得對(duì)圓上的任意兩點(diǎn)A，B，總有，則的取值范圍是______.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量，，記，（1）對(duì)于，不等式（其中m，）恒成立，求的最大值．（2）若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，a，b，c成等比數(shù)列，求的值．16.已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，試求單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)在上有三個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.如圖，在多面體中，四邊形為平行四邊形，且平面，且.點(diǎn)分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，滿足.（1）證明：直線平面；（2）是否存在，使得直線與平面所成角的正弦值為？請(qǐng)說明理由.18.某品牌國(guó)產(chǎn)電動(dòng)車近期進(jìn)行了一系列優(yōu)惠促銷方案．既要真正讓利于民，更要保證品質(zhì)兼優(yōu)，工廠在車輛出廠前抽取了100輛汽車作為樣本進(jìn)行單次最大續(xù)航里程的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）．（2）根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值，現(xiàn)從該款汽車的生產(chǎn)線任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率．（3）某線下銷售公司現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，贏大獎(jiǎng)，送車模”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，指揮車模在方格圖上行進(jìn)，若車模最終停在“幸運(yùn)之神”方格，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券8萬元；若最終停在“贈(zèng)送車模”方格時(shí)，則可獲得車模一個(gè)．已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5，車模開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，車模向前移動(dòng)一次．若擲出正面，車模向前移動(dòng)一格，若擲出反面，車模向前移動(dòng)兩格，直到移到第4格（幸運(yùn)之神）或第5格（贈(zèng)送車模）時(shí)游戲結(jié)束．若有6人玩游戲，每人參與一次，求這6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，19.數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．(1)求；(2)求集合中所有元素的和；(3)對(duì)數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”．試分別判斷數(shù)列是否是“和穩(wěn)定數(shù)列”．若是，求出所有的值；若不是，說明理由．江西省宜春市上高二中2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月期中數(shù)學(xué)試卷參考答案1.D2.C3.C4.D5.A6.B7.D8.B9.AB10.AC11.AD12.-2513.##14.15.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，確定得到，，得到最值.（2）計(jì)算得到，確定，化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦定理結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)得到答案.【小問1詳解】，，則，故，，恒成立，故，，當(dāng)，時(shí)，有最大值為.【小問2詳解】，即，，，故，，，，成等比數(shù)列，則，.16.（1）（2）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（3）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)題意運(yùn)算求解；（2）注意到當(dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）根據(jù)題意分析可得在上有兩個(gè)不同的根，且，構(gòu)建新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題.【小問1詳解】.由，得.【小問2詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于，恒成立，∴當(dāng)，，當(dāng)，，故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問3詳解】由條件可知，在上有三個(gè)不同的根，∵是的根，∴，即在上有兩個(gè)不同的根，且，令，則，∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴的最大值為，且，，又∵，即，∴，故.17.（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明與平面的法向量垂直即可證；（2）由線面角的向量法求線面角后可得結(jié)論．【小問1詳解】如圖，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S建立坐標(biāo)系...設(shè)平面的法向量為，則由，取得.因?yàn)?，所以解?所以，且平面，所以平面小問2詳解】設(shè)平面的法向量為則由，解得.所以，解得.18.（1）300千米（2）08186（3）33萬元【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算方法即可得出．（2）由，．利用正態(tài)分布的對(duì)稱性可得．（3）計(jì)算車模移到第4格或第5格時(shí)的概率，計(jì)算一次游戲優(yōu)惠券金額的期望值，再求6人獲得優(yōu)惠券總金額的期望值．【小問1詳解】估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值為：千米【小問2詳解】由，它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率為：．【小問3詳解】硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，第一次擲出正面，車模移動(dòng)到第1格，其概率為，移動(dòng)到第2格有兩類情況：擲出2次正面或擲出1次反面，，同理，，，，設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為X萬元，或0，

∴X的期望萬元設(shè)這6人獲得優(yōu)惠券總金額為Y萬元，優(yōu)惠券總金額的期望值萬元.19.(1)，(2)(3)數(shù)列是“和穩(wěn)定數(shù)列”，，數(shù)列不是“和穩(wěn)定數(shù)列”，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知及等比數(shù)列的定義求出的通項(xiàng)公式，由已知和求通項(xiàng)可得的通項(xiàng)公式，（2）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果（3）根據(jù)“和穩(wěn)定數(shù)列”的定義可判定.【詳解】（1），又，，解得：因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以的公比，又當(dāng)時(shí)，，作差得：將代入，化簡(jiǎn)：，得：是公差的等差數(shù)列，（2）記集合的全體元素的和為，集合的所有元素的和為，集合的