數(shù)學學案：第三章回歸分析的基本思想及其初步應用

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精3。1回歸分析的基本思想及其初步應用學習目標重點、難點1.能知道用回歸分析處理兩個變量之間的不確定關系的統(tǒng)計方法．2．會利用散點圖分析兩個變量是否存在相關關系．會用殘差及R2來刻畫線性回歸模型的擬合效果．3．能記住建立回歸模型的方法和步驟；能知道如何利用線性回歸模型求非線性回歸模型。重點:建立變量之間的線性回歸方程，能根據(jù)散點圖初步判斷兩個變量之間是否具有線性關系．難點：1。會求線性回歸方程．2．掌握建立回歸模型的步驟，會選擇回歸模型，特別是非線性回歸模型。1．線性回歸模型（1）函數(shù)關系是一種______關系,而相關關系是一種________關系．(2）回歸分析是對具有____關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．(3）對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1），（x2,y2）,…,(xn,yn)，回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為__________________．其中(eq\x\to(x)，eq\x\to(y）)稱為________．(4）線性回歸模型y＝bx＋a＋e，其中e稱為________,a和b是模型的未知參數(shù)，自變量x稱為________,因變量y稱為________．預習交流1如果記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為（0，1）,（1,4）,(2,7），（3,10),則y關于x的線性回歸直線必過點（）．A．（2，2）B．（1。5，2) C．(1，2) D．(1。5，5。5）2．殘差的概念對于樣本點（x1，y1)，（x2，y2）,…，（xn,yn）而言，它們的隨機誤差為ei＝____，i＝1,2，…，n,其估計值為eq\o(e,\s\up6(^))i＝__________＝__________，i＝1，2,…,n,eq\o（e，\s\up6（^)）i稱為相應于點（xi，yi）的殘差．3．回歸模型擬合效果的刻畫類別殘差圖法殘差平方和法R2法特點殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內，說明選用的模型比較適合,這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說明模型擬合精度越高殘差平方和eq\i\su(i＝1,n，）(yi－eq\o(y，\s\up6(^））i）2越小，模型的擬合效果越好R2＝__________表示________對于________變化的貢獻率,R2越接近于__，表示回歸的效果越好預習交流2怎么理解散點圖和相關指數(shù)的關系?4．建立回歸模型的基本步驟為：(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量．（2）畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等)．(3）由經驗確定回歸方程的類型(如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程eq\o（y,\s\up6(^)）＝eq\o（b,\s\up6(^）)x＋eq\o(a，\s\up6(^）））．（4）按一定規(guī)則(如最小二乘法)估計回歸方程中的參數(shù)．（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應殘差過大,殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等）．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤,或模型是否合適等．預習交流3用回歸方程求預報值應注意哪些問題?答案：1．(1)確定性非確定性(2)相關（3）eq\o(b,\s\up6（^))＝eq\f（\i\su（i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1,n，)xi－\x\to(x）2)＝eq\f（\i\su(i＝1,n，x）iyi－n\x\to(x）\x\to(y），\i\su(i＝1，n，x）\o\al（2,i)－n\x\to(x）2)，eq\o（a，\s\up6（^）)＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6(^）)eq\x\to(x)樣本點的中心(4)隨機誤差解釋變量預報變量預習交流1：提示：D2．yi－bxi－ayi－eq\o（y，\s\up6(^)）iyi－eq\o(b,\s\up6(^））xi－eq\o（a，\s\up6（^)）3．1－eq\f(\i\su(i＝1，n,）yi－\o（y，\s\up6（^)）i2，\i\su（i＝1,n，）yi－\x\to（y)2）解釋變量預報變量1預習交流2：提示:散點圖可以說明變量間有無線性相關關系，只能粗略地說明兩個變量之間關系的密切程度，而相關指數(shù)R2能精確地描述兩個變量之間的密切程度．預習交流3：提示：（1）回歸方程只適用于所研究的樣本的總體．（2)所建立的回歸方程一般都有時間性．(3)樣本的取值范圍會影響回歸方程的適用范圍．（4）不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值．事實上,它是預報變量的可能取值的平均值．在預習中，還有哪些問題需要你在聽課時加以關注?請在下列表格中做個備忘吧！我的學困點我的學疑點一、求線性回歸方程某工廠1～8月份某種產品的產量與成本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表：月份12345678產量（噸）5。66。06。16。47。07.58.08.2成本(萬元）130136143149157172183188以產量為x,成本為y。（1)畫出散點圖；（2)y與x是否具有線性相關關系？若有，求出其回歸方程．思路分析:畫出散點圖，觀察圖形的形狀得x與y是否具有線性相關關系．把數(shù)值代入回歸系數(shù)公式求回歸方程．某商場經營一批進價是30元/臺的小商品，在市場試驗中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（x取整數(shù)）元與日銷售量y臺之間有如下關系：x35404550y56412811(1）y與x是否具有線性相關關系？如果具有線性相關關系，求出回歸直線方程．(方程的斜率保留一個有效數(shù)字)(2)設經營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)（1)寫出P關于x的函數(shù)關系式,并預測當銷售單價x為多少元時，才能獲得最大日銷售利潤．（1）散點圖是定義在具有相關關系的兩個變量基礎上的，對于性質不明確的兩組數(shù)據(jù),可先作散點圖，在圖上看它們有無關系，關系的密切程度，然后再進行相關回歸分析．（2)求回歸直線方程，首先應注意到，只有在散點圖大致呈線性時,求出的回歸直線方程才有實際意義,否則，求出的回歸直線方程毫無意義．二、線性回歸分析某運動員訓練次數(shù)與運動成績之間的數(shù)據(jù)關系如下：次數(shù)（x）3033353739444650成績(y）3034373942464851（1）作出散點圖;(2）求出線性回歸方程;(3）作出殘差圖，并說明模型的擬合效果；（4)計算R2,并說明其含義．思路分析:先畫出散點圖，確定是否具有線性相關關系,求出回歸方程，再求出殘差，確定模型的擬合的效果和R2的含義．1．（2011山東高考，文8）某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x/萬元4235銷售額y/萬元49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6（^))＝eq\o（b,\s\up6（^）)x＋eq\o(a,\s\up6(^））中的eq\o(b，\s\up6（^))為9。4,據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為（）．A．63。6萬元B．65.5萬元 C．67。7萬元 D．72.0萬元2．在一段時間內，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x(元)1416182022y（件)1210753且知x與y具有線性相關關系,求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞．“相關指數(shù)R2、殘差圖”在回歸分析中的作用：（1）相關指數(shù)R2是用來刻畫回歸效果的,由R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1，n，)yi－\o(y，\s\up6(^))i2,\i\su（i＝1,n，）yi－\x\to(y）2）可知R2越大,意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．（2)殘差圖也是用來刻畫回歸效果的，判斷依據(jù)是:殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高,回歸方程預報精度越高．三、非線性回歸分析下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325（1）作出x與y的散點圖，并猜測x與y之間的關系；(2）建立x與y的關系，預報回歸模型并計算殘差;（3)利用所得模型，預報x＝40時y的值．思路分析：先由數(shù)值表作出散點圖，然后根據(jù)散點的形狀模擬出近似函數(shù),進而轉化為線性函數(shù),由數(shù)值表求出回歸函數(shù)．在一次抽樣調查中測得樣本的5個樣本點，數(shù)值如下表：x0.250.5124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．非線性回歸問題有時并不給出經驗公式,這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖,把它與學過的各種函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù),然后采用適當?shù)淖兞恐脫Q，把問題化為線性回歸分析問題,使之得到解決．答案：活動與探究1：解：(1)由表畫出散點圖，如圖所示．(2)從圖上可看出,這些點基本上散布在一條直線附近,可以認為x和y線性相關關系顯著，下面求其回歸方程，首先列出下表.序號xiyixeq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)xiyi15。613031.3616900728.026.013636.0018496816。036.114337。2120449872.346.414940.9622201953.657。015749.00246491099。067。517256。25295841290。078.018364。00334891464.088。218867。24353441541.6∑54.81258382。022011128764.5eq\x\to（x)＝6。85,eq\x\to(y）＝157。25.∴eq\o（b,\s\up6(^)）＝eq\f(\i\su(i＝1,8，x)iyi－8\x\to（x）\x\to(y),\i\su(i＝1，8，x)\o\al(2,i)－8\x\to（x）2）＝eq\f(8764。5－8×6。85×157.25，382。02－8×6。852）≈22。17,eq\o（a，\s\up6（^））＝eq\x\to（y）－eq\o（b，\s\up6(^）)eq\x\to（x）＝157.25－22.17×6。85≈5。39，故線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6(^)）＝22。17x＋5.39。遷移與應用：解：(1）散點圖如圖所示，從圖中可以看出這些點大致分布在一條直線附近，因此兩個變量線性相關．設回歸直線為eq\o（y,\s\up6(^)）＝eq\o（b,\s\up6（^))x＋eq\o（a,\s\up6(^）），由題知eq\x\to（x）＝42.5，eq\x\to(y)＝34，則求得eq\o（b,\s\up6（^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4，）xi－\x\to(x）yi－\x\to(y),\i\su(i＝1，4,）xi－\x\to(x）2）＝eq\f(－370，125）≈－3.eq\o(a，\s\up6（^))＝eq\x\to(y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to(x）＝34－（－3）×42。5＝161。5?！鄀q\o（y，\s\up6（^）)＝－3x＋161。5.（2)依題意有P＝（－3x＋161。5)（x－30)＝－3x2＋251.5x－4845＝－3eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(x－\f（251.5，6)）)2＋eq\f（251。52,12)－4845。∴當x＝eq\f(251。5，6）≈42時，P有最大值，約為426。即預測銷售單價為42元時,能獲得最大日銷售利潤．活動與探究2:解：（1）作出該運動員訓練次數(shù)(x)與成績(y)之間的散點圖，如圖所示，由散點圖可知,它們之間具有線性相關關系．（2)eq\x\to（x）＝39。25，eq\x\to（y）＝40.875，eq\i\su（i＝1，8，x）eq\o\al（2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,y)eq\o\al（2，i)＝13731，eq\i\su（i＝1，8,x）iyi＝13180，∴eq\o（b,\s\up6（^）)＝eq\f（\i\su（i＝1,8，)xi－\x\to(x）yi－\x\to(y)，\i\su（i＝1，8,)xi－\x\to（x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1，8,x)iyi－8\x\to(x）\x\to（y）,\i\su(i＝1,8，x）\o\al（2，i）－8\o\al（-2，x）)≈1.0415，eq\o（a，\s\up6（^））＝eq\x\to(y）－eq\o(b，\s\up6(^））eq\x\to（x)＝－0。003875，∴線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^））＝1.0415x－0。003875.(3）作殘差圖如圖所示,由圖可知，殘差點比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．(4）計算得相關指數(shù)R2＝0。9855,說明了該運動員的成績的差異有98.55%是由訓練次數(shù)引起的．遷移與應用:1。B解析：∵eq\o(a,\s\up6（^)）＝eq\x\to(y）－eq\o（b，\s\up6（^))eq\x\to（x)＝eq\f（49＋26＋39＋54，4）－9.4×eq\f（4＋2＋3＋5,4)＝9。1，∴回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^））＝9.4x＋9.1。令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^)）＝9。4×6＋9。1＝65。5（萬元）．2．解：eq\x\to(x)＝eq\f（1，5)×（14＋16＋18＋20＋22）＝18，eq\x\to(y）＝eq\f（1，5）×(12＋10＋7＋5＋3）＝7。4，eq\i\su（i＝1，5,x)eq\o\al（2,i）＝142＋162＋182＋202＋222＝1660，eq\i\su(i＝1,5，y)eq\o\al(2,i)＝122＋102＋72＋52＋32＝327,eq\i\su（i＝1,5,x）iyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，∴eq\o（b,\s\up6（^））＝eq\f（\i\su（i＝1,5，x）iyi－5\x\to(x)\x\to（y）,\i\su(i＝1，5,x）\o\al（2,i)－5\x\to(x)2）＝eq\f(620－5×18×7。4,1660－5×182)＝eq\f(－46,40)＝－1。15?！鄀q\o（a,\s\up6(^)）＝7.4＋1。15×18＝28。1，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6（^))＝－1。15x＋28.1.列出殘差表為：yi－eq\o（y，\s\up6(^））i00。3－0。4－0.10。2yi－eq\x\to（y)4.62。6－0。4－2。4－4。4∴eq\i\su（i＝1，5，)(yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i）2＝0.3，eq\i\su（i＝1，5，)(yi－eq\x\to(y)）2＝53.2，R2＝1－eq\f（\i\su（i＝1，5,)yi－\o(y，\s\up6（^））i2，\i\su(i＝1,5,)yi－\x\to(y)2）≈0。994。故R2≈0.994說明擬合效果較好．活動與探究3:解：(1）作出散點圖如圖,從散點圖可以看出x與y不具有線性相關關系，根據(jù)已有知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，其中c1，c2為待定的參數(shù)．(2)對兩邊取對數(shù)把指數(shù)關系變?yōu)榫€性關系,令z＝lny，則有變換后的樣本點應分布在直線z＝bx＋a,a＝lnc1,b＝c2的周圍，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y與x之間的非線性回歸方程了,數(shù)據(jù)可以轉化為：x21232527293235z1。9462。3983。0453.1784.1904.7455.784求得回歸直線方程為eq\o（z,\s\up6（^）)＝0.272x－3.849，∴eq\o(y，\s\up6（^)）＝e0。272x－3。849.殘差yi711212466115325eq\o(y,\s\up6(^）)i6。44311。10119.12532.95056.770128.381290.325eq\o(e,\s\up6（^））i0。557－0。1011。875－8。9509.23－13.38134.675（3）當x＝40時，y＝e0。272x－3.849≈1131。遷移與應用：解：畫出散點圖如圖所示．根據(jù)散點圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關系，設y＝eq\f（k,x)，令t＝eq\f(1，x),則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210。50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點圖如下：由散點圖可以看出y與t呈近似的線性相關關系．列表如下：序號tiyitiyiteq\o\al(2，i）yeq\o\al（2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250。06251∑7.753694。2521。3125430所以eq\x\to(t）＝1。55，eq\x\to（y）＝7。2。所以eq\o（b，\s\up6(^))＝eq\f（\i\su(i＝1,5，t）iyi－5\x\to(t）\x\to(y)，\i\su（i＝1，5,t)\o\al(2，i)－5\x\to(t2）)≈4。1344，eq\o(a,\s\up6（^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^)）eq\x\to（t)≈0.8.所以eq\o(y，\s\up6（^））＝4.1344t＋0。8。所以y與x的回歸方程是eq\o(y，\s\up6（^）)＝eq\f（4。1344,x）＋0。8.1．(2011江西高考,文8)為了解兒子身高與其父親身高的關系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y(cm）175175176177177則y對x的線性回歸方程為（)．A．y＝x－1B．y＝x＋1 C．y＝88＋eq