《作角的平分線》知識清單

《作角的平分線》知識清單12.8作角的平分線知識清單一、作角平分線的工具我們作角平分線用到的工具是圓規(guī)和直尺，這就像是廚師做菜的鍋和鏟，缺一不可。二、作角平分線的步驟1、以角的頂點為圓心，適當長為半徑畫弧這里的“適當長”很重要，就像你穿衣服要選合適的尺碼一樣。如果半徑太短，弧可能畫不到角的兩邊；如果半徑太長，弧可能就畫得太大，不方便后續(xù)操作。這個半徑要保證能與角的兩邊相交就行。例如，有一個∠AOB，我們以O為圓心，取一個長度，比如3cm（假設）為半徑畫弧，這個弧就會和角的兩邊OA和OB相交于點C和點D。2、分別以弧與角兩邊的交點為圓心，大于兩交點間距離一半的長為半徑畫弧，兩弧在角內交于一點這里半徑要大于兩交點間距離的一半。為啥呢？如果小于或者等于，那這兩個弧可能就畫不出來或者重合了，就沒法找到我們想要的那個交點。接著上面的例子，我們以C為圓心，取一個大于CD距離一半的長度，比如2cm（假設CD距離為3cm）為半徑畫弧，再以D為圓心，同樣2cm為半徑畫弧，這兩個弧在∠AOB內部會交于一點E。3、作射線OE，射線OE就是∠AOB的平分線這條射線OE就像一把刀，把∠AOB這個“大蛋糕”平均分成了兩份。三、角平分線的性質1、角平分線上的點到角兩邊的距離相等這是個很厲害的性質。比如說有一個∠ABC，BD是它的角平分線，點P在BD上，過點P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，那么PM＝PN。就好像在角平分線上的這個點P，它到角兩邊的距離是一對雙胞胎，長得一樣高（相等）。四、證明角平分線性質的思路1、利用全等三角形證明一般的做法是，先根據角平分線的定義得到兩個角相等，然后因為我們作的垂直，所以有兩個直角相等，再加上公共邊，就可以利用“角角邊”（AAS）或者“角邊角”（ASA）等全等三角形的判定定理來證明兩個三角形全等。就拿上面∠ABC和BD是角平分線，點P在BD上的例子來說。在△PMB和△PNB中，因為BD平分∠ABC，所以∠PBM＝∠PBN，∠PMB＝∠PNB＝90°，BP是公共邊，根據AAS就可以證明△PMB≌△PNB，從而得到PM＝PN。五、與角平分線有關的習題類型1、直接證明角平分線性質習題：已知∠AOC，OD是它的角平分線，點E在OD上，EF⊥OA于F，EG⊥OC于G，求證EF＝EG。解答思路：根據角平分線的定義得到∠FOD＝∠GOD，再由垂直得到∠EFO＝∠EGO＝90°，OE是公共邊，利用AAS證明△EFO≌△EGO，所以EF＝EG。2、利用角平分線性質求線段長度習題：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，求DE的長。解答思路：首先利用勾股定理求出AB的長為10。因為AD是角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，根據角平分線的性質可知DC＝DE。設DE＝DC＝x，則BD＝8x。再根據△ABD的面積可以列出方程：1/2×AB×DE+1/2×AC×DC＝1/2×AC×BC，即1/2×10x+1/2×6x＝1/2×6×8，解得x＝3，所以DE＝3。答案：1、對于直接證明角平分線性質的習題：證明：因為OD是∠AOC的角平分線，所以∠FOD＝∠GOD。又因為EF⊥OA，EG⊥OC，所以∠EFO＝∠EGO＝90°。在△EFO和△EGO中，∠FOD＝∠GOD，∠EFO＝∠EGO，OE是公共邊，所以△EFO≌△EGO（AAS），所以EF＝EG。2、對于利用角平分線性質求線段長度的習題：首先，根據勾股定理$AB=＼sqrt{AC^｛2}＋BC^｛2}｝＝＼sqrt{6^｛2}＋8^｛2}｝＝10$。設DE＝DC＝x，則BD＝8x。根據三角形面積關系列出方程：＄＼frac{1}｛2}＼timesAB\timesDE+＼frac{1}｛2}＼timesAC\timesDC=＼frac{1}｛2}＼timesAC\timesBC$＄＼frac{1}｛2}＼times1