備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練專題16解三角形(選填壓軸題)(學(xué)生版+解析)

專題16解三角形（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形邊長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題 1二、三角形周長(zhǎng)問(wèn)題 2三、三角形面積問(wèn)題 3四、三角形與向量綜合問(wèn)題 5一、三角形邊長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知外接圓的半徑為，為邊的中點(diǎn)，，為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別是是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．93．（23-24高一下·湖北·期中）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·天津靜?！て谥校┰阡J角三角形ABC中，若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·浙江嘉興·期末）在中，，的中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度為3的線段（在的左側(cè)）在直線上移動(dòng)，則的最小值為A． B．C． D．6．（23-24高一下·重慶·期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為.7．（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是.8．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是．二、三角形周長(zhǎng)問(wèn)題1．（23-24高一下·江蘇淮安·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·福建泉州·開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高三下·河南·開(kāi)學(xué)考試）在中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B． C． D．44．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．5．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，則周長(zhǎng)的取值范圍為.6．（23-24高一下·四川成都·期中）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，并滿足條件，，，，則的周長(zhǎng)范圍4．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，的平分線交AC于點(diǎn)D，，，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．165．（23-24高一下·湖北武漢·期中）設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．86．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為.7．（2024高二下·浙江杭州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為，則的值為.8．（23-24高一下·四川成都·期中）中，為線段上一點(diǎn)，，且，則面積的最小值為.9．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖，四邊形由和拼接而成，其中，，若與相交于點(diǎn)，，，，且，則的面積．四、三角形與向量綜合問(wèn)題1．（23-24高一下·福建廈門·期末）向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·重慶·期末）已知中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·山東青島·期中）中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（

）A．1 B． C．3 D．54．（23-24高一下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）在等腰中，為上一點(diǎn)，且，記的外心為，若，則（

）A．9 B．12 C． D．275．（23-24高一下·上?！て谀┤鐖D，已知點(diǎn)P為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，，定義點(diǎn)集，若存在點(diǎn)，使得對(duì)任意，有恒成立，那么當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值12時(shí)，．6．（23-24高一下·重慶·期末）趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成，如圖①），類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)較大的等邊三角形，其中，則的值為；設(shè)，則．

7．（23-24高一下·江蘇宿遷·期末）記的三個(gè)內(nèi)角，且，，若是的外心，是角的平分線，在線段上，則.專題16解三角形（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角形邊長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題 1二、三角形周長(zhǎng)問(wèn)題 11三、三角形面積問(wèn)題 19四、三角形與向量綜合問(wèn)題 28一、三角形邊長(zhǎng)相關(guān)問(wèn)題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知外接圓的半徑為，為邊的中點(diǎn)，，為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解法一：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，設(shè)，利用正弦定理將，用角的三角函數(shù)表示出來(lái)，再利用三角恒等變換及三角函數(shù)的值域即可求解；解法二：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，利用向量可得，令，再由關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根，利用判別式可得其范圍；解法三：利用正弦定理和外接圓的半徑可求得，在和中，分別利用余弦定理可得，令，再由關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根，利用判別式可得其范圍.【詳解】解法一：根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉殁g角，所以；延長(zhǎng)到，使得，連接，如下圖所示：易知四邊形為平行四邊形，且．設(shè)，則，所以，即，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，可得的取值范圍是．解法二：根?jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉殁g角，所以因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，可得，設(shè)，則①．設(shè)，則，將其代入①得②，所以關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根；當(dāng)，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，不符合題意；所以或，解得，故的取值范圍是．解法三：根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉殁g角，所以；設(shè)，根據(jù)余弦定理得，在中易知，又在中可得，所以可得，即，將代入，得①，設(shè)，則，將其代入①得②，所以關(guān)于的方程至少有1個(gè)正根；當(dāng)，即，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，則，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程②即，解得，不符合題意；所以或，解得，故的取值范圍是．故選：C【點(diǎn)睛】解三角形中的最值或范圍問(wèn)題主要有兩種解決方法：一是將所求量表示為與邊有關(guān)的形式，利用函數(shù)知識(shí)或基本不等式求得最值或范圍；二是將所求量用三角形的某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定最值或范圍．2．（23-24高二上·河南鄭州·開(kāi)學(xué)考試）在中，角所對(duì)的邊分別是是邊上一點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】C【分析】利用正弦定理及，表達(dá)出，再利用基本不等式求出最值.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，所以，在Rt△ABD中，，即，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻茫?，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C3．（23-24高一下·湖北·期中）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合正余弦定理求得角，繼而由結(jié)合正余弦定理求出，再表示出，，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得的范圍，即可求得答案.【詳解】由，由正弦定理得,即有，而，則，又，由正弦定理?余弦定理得，，化簡(jiǎn)得：，由正弦定理有：，即，，是銳角三角形且，有，，解得，因此，由得：，，所以.故選：D4．（23-24高一下·天津靜?！て谥校┰阡J角三角形ABC中，若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)已知條件求得，構(gòu)造的函數(shù)，通過(guò)求三角函數(shù)的值域，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋士傻?，又，故可?因?yàn)椋士傻谜淼茫瑒t.故可得，因?yàn)?，故可?則故可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理求解三角形中的范圍問(wèn)題，涉及正弦的和角公式，屬綜合困難題.5．（23-24高一下·浙江嘉興·期末）在中，，的中點(diǎn)為，若長(zhǎng)度為3的線段（在的左側(cè)）在直線上移動(dòng)，則的最小值為A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)正弦定理求得，以所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)間的距離公式，求得所求的最小值.【詳解】由正弦定理可得,,以BC所在直線為軸，則,則表示軸上的點(diǎn)P與A和的距離和，利用對(duì)稱性，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，可得的最小值為=.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查距離和的最小值的求法，考查坐標(biāo)法，屬于中檔題.6．（23-24高一下·重慶·期末）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為.【答案】【分析】利用三角形面積公式和余弦定理，可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，，然后利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得，結(jié)合條件可得的取值范圍，進(jìn)而可得的取值范圍，令，則，然后利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，由余弦定理，所以，又因?yàn)椋?，解得或，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，由正弦定理得，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用正弦定理與三角恒等變換公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可以求解.7．（23-24高一下·湖南永州·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是.【答案】/【分析】由明確邊上的高等于邊的一半，做出邊上的高，設(shè)，用表示出，再結(jié)合換元法和基本不等式，求的最大值.【詳解】如圖：過(guò)作于.因?yàn)?，所?設(shè)，則設(shè)，則若，則；若，則；當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.所以故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求取值范圍得問(wèn)題，常用的方法有：（1）結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；（2）利用基本不等式，求最值；（3）利用三角函數(shù)的有界性求最值；（4）判斷函數(shù)的單調(diào)性，求最值.8．（23-24高一下·江蘇連云港·期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二倍角公式可得，即，根據(jù)角的范圍可得，，，故.由正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角公式可得，換元，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可得，故，即，因?yàn)?所以，因?yàn)?，所以或，即或，即?若，則，則無(wú)意義，故.又，所以，即.因?yàn)椋?，，所以，解得，故.由正弦定理可得，令，則.設(shè)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，所以，即.故答案為:.二、三角形周長(zhǎng)問(wèn)題1．（23-24高一下·江蘇淮安·期末）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：設(shè)的外接圓半徑為R，根據(jù)正弦定理及已知可將題干等式化為，再結(jié)合兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合可得，最后根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換用B表示出的周長(zhǎng)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．方法二：根據(jù)三角形三邊關(guān)系排除即可．【詳解】方法一：設(shè)的外接圓半徑為R，則，因?yàn)?，所以，可得，即，可得，因?yàn)椋?，所以，結(jié)合，可得，又，所以，可得，則的周長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以，則，可得故的周長(zhǎng)的取值范圍為方法二：由，可知周長(zhǎng)，排除ABD，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解三角形周長(zhǎng)和面積的取值范圍問(wèn)題一般需將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為邊或者角的式子，再利用三角函數(shù)性質(zhì)或基本不等式即可求得取值范圍.2．（23-24高二上·福建泉州·開(kāi)學(xué)考試）在銳角中，角的對(duì)邊分別為，為的面積，，且，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用面積公式和余弦定理可得，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得，再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到的范圍，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域的問(wèn)題.【詳解】，，∴，即，為銳角，∴，又，由正弦定理可得，所以，其中，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，即：，所以，又，∴，即，故的周長(zhǎng)的取值范圍是.故選：C.3．（23-24高三下·河南·開(kāi)學(xué)考試）在中，若內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，的平分線交AC于點(diǎn)D，且，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．7 B． C． D．4【答案】C【分析】先利用面積相等與三角形面積公式，結(jié)合正弦的倍角公式求得，再利用余弦定理的推論與余弦的倍角公式得到的關(guān)系式，從而利用基本不等式求得，由此得解.【詳解】由題可得，，即，又，所以，則，因?yàn)?，所以，則，所以，即，又因?yàn)?，，所以，整理得，所以，解得或（舍去），所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則，故周長(zhǎng)的最小值為.故選：C..4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，若的面積為，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C【分析】應(yīng)用正弦定理把中的“角”轉(zhuǎn)化為“邊”，利用余弦定理求出角的值，接下來(lái)有兩個(gè)思路．思路一：先根據(jù)面積為求得的值，從而利用基本不等式求得，再把周長(zhǎng)用表示出來(lái)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出的周長(zhǎng)的最小值；思路二：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積為，得到兩個(gè)變量之間的關(guān)系，從而用其中一個(gè)變量表示出的周長(zhǎng)，再利用基本不等式求出的周長(zhǎng)的最小值．【詳解】解法一：因?yàn)?，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因?yàn)?，所以，由，得，由得，則，所以，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，的周長(zhǎng)為，易知是關(guān)于的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，為；解法二：因?yàn)?，所以由正弦定理得，得，由余弦定理知，因?yàn)椋?，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋钥稍O(shè)，則，即，所以的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的周長(zhǎng)的最小值為6．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式，基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.5．（23-24高一下·江蘇鹽城·期中）在銳角中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，則周長(zhǎng)的取值范圍為.【答案】【分析】由正弦定理及已知可得，結(jié)合銳角三角形得、，再由正弦邊角關(guān)系、三角恒等變換得，即可求范圍.【詳解】由，則，故，所以，又為銳角三角形，則，且，則，而，則，，所以，又，且，所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用正弦定理以及三角恒等變換得，再求出角的范圍，利用正切函數(shù)的值域即可得到答案.6．（23-24高一下·四川成都·期中）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，并滿足條件，，，，則的周長(zhǎng)范圍為．【答案】【分析】先根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求出，然后利用三角形中化簡(jiǎn)，結(jié)合兩角和的正弦公式求出，然后利用余弦定理并結(jié)合均值不等式求出范圍，以及利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，最終求出的周長(zhǎng)范圍【詳解】由，可得：由，可得：則又有：可得：又有：可得：，即易知：可得：故，即由余弦定理可得：可得：易知：可得：則有：易知：則有：故故答案為：7．（23-24高三上·重慶北碚·階段練習(xí)）拿破侖定理是法國(guó)著名的軍事家拿破侖·波拿馬最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”．在中，，以、、為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為、、，若的面積為，則的周長(zhǎng)的取值范圍為．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示圖形，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題解答，即可求出周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，，，所以以、為邊作等邊三角形，其中一邊在、的延長(zhǎng)線上；由，，，；所以，，；同理，，；；所以等邊△的面積為，解得，所以；在中，由，所以，所以的周長(zhǎng)為，又，且，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”；又，，所以，，，即的周長(zhǎng)最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，面積、邊長(zhǎng)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算是關(guān)鍵，利用均值不等式即可求出最小值，屬于難題.8．（23-24高一下·上海嘉定·期中）設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，則的周長(zhǎng)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)銳角三角形的性質(zhì)判斷出，然后利用正弦定理將三角形的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為用來(lái)表示，從而求得的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】由于三角形是銳角三角形，所以，所以.，所以.由正弦定理得，可得，.所以.由于，所以.而在上遞增，，，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理求三角形周長(zhǎng)的取值范圍，屬于中檔題.三、三角形面積問(wèn)題1．（23-24高一下·浙江金華·期末）已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由余弦定理以及三角形的面積公式可得，再利用兩次基本不等式得到，從而得解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，即，由余弦定理可得，又，所以①，②，①②可得，又，即，則，即，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用余弦定理與三角形的面積公式得到，從而結(jié)合基本不等式即可得解.2．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，一塊三角形鐵片ABC，已知，，，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)D，，.如果過(guò)點(diǎn)D作一條直線分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，并沿直線EF裁掉，則剩下的四邊形EFCB面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，運(yùn)用面積相等得到，利用基本不等式求出的最小值，即可求得四邊形EFCB面積的最大值.【詳解】設(shè)，，，則，化簡(jiǎn)得：，由基本不等式，，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即此時(shí)，即的面積最小值為，而，因,故當(dāng)面積的最小時(shí)，剩下的四邊形面積最大，最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.解題思路在于根據(jù)題設(shè)條件，選設(shè)未知數(shù)，并利用圖形特征，利用等面積建立未知量之間的關(guān)系式，結(jié)合所求利用基本不等式即可求得.3．（23-24高一下·重慶·期中）如圖，已知，，為邊上的兩點(diǎn)，且滿足，．則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，考慮三角形的面積之比，將其化簡(jiǎn)得，借助于余弦定理和基本不等式求得的最大值和此時(shí)的三角形邊長(zhǎng)，由面積公式即可求得.【詳解】不妨設(shè),分別記的面積為,則①②由①，②兩式左右分別相乘，可得：,故得：.設(shè)，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因，故，取得最大值，此時(shí)的面積等于.故選：C4．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）在中，的平分線交AC于點(diǎn)D，，，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．16【答案】A【分析】設(shè)，即可表示出，，在和中，利用正弦定理表示出、，再根據(jù)面積公式及三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得到，即可求出三角形面積的最小值；【詳解】設(shè)，則，，在中，由正弦定理，故；在中，由正弦定理，故；所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故面積的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在和中，利用正弦定理表示出、，再根據(jù)面積公式及三角恒等變換公式求面積的最小值.5．（23-24高一下·湖北武漢·期中）設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】B【分析】首先由，，結(jié)合余弦定理得出，進(jìn)一步由三角形面積公式、同角三角函數(shù)關(guān)系恒等式得，由此即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是依次得出，，由此即可順利得解.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平面四邊形中，，則四邊形面積的最大值為.【答案】10【分析】設(shè)，利用余弦定理求出，進(jìn)而可求出，再根據(jù)換元，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)，則，而，則，所以，令，則，則，其中，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，即，所以四邊形面積的最大值為10.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見(jiàn)的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.7．（2024高二下·浙江杭州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在平面四邊形中，，，記與的面積分別為，則的值為.【答案】【分析】首先得出，然后根據(jù)余弦定理得、，兩式相減可得，由三角形的面積公式得，即可求解.【詳解】，所以，所以，在中，由余弦定理得，即，得①，在中，由余弦定理得，即，得②，又，所以③，由②①，得，由，得，代入③得.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是根據(jù)余弦定理得出，結(jié)合三角形公式即可順利得解.8．（23-24高一下·四川成都·期中）中，為線段上一點(diǎn)，，且，則面積的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，由得，利用基本不等式求得，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】由，得，又，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，則，兩邊平方得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故面積的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是找到的等量關(guān)系，從而利用基本不等式求解乘積的范圍求解面積的范圍，面積分割法是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.9．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）如圖，四邊形由和拼接而成，其中，，若與相交于點(diǎn)，，，，且，則的面積．【答案】/【分析】在中，由正弦定理得再利用兩角和差的正弦展開(kāi)式計(jì)算出，最后利用三角形面積公式得到面積.【詳解】在中，由正弦定理得：，由于，所以．而，則有：，，又，，由，可得，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于能利用正弦定理和兩角差的正切公式結(jié)合三角形面積公式求出邊長(zhǎng).四、三角形與向量綜合問(wèn)題1．（23-24高一下·福建廈門·期末）向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，，則由已知條件可得，，利用正弦定理求出外接圓的半徑，再結(jié)合圖形可求得結(jié)果.【詳解】令，，，則，因?yàn)?，，所以．因?yàn)?，所以．所以過(guò)，，的圓的半徑，連接交于點(diǎn)，連接，則，，所以，所以的最大值為，故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的加減法運(yùn)算，考查求向量的模，解題的關(guān)鍵是令，，，然后根據(jù)已知條件畫出圖形，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合思想和計(jì)算能力，屬于較難題.2．（23-24高一下·重慶·期末）已知中，角的對(duì)邊分別為，且滿足，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，根據(jù)題意可知，，，根據(jù)垂直關(guān)系數(shù)量積為0，可得，從而借助余弦定理求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在上的投影向量的模長(zhǎng)為，則，因?yàn)?，所以，所以，則，又因?yàn)?，得，所?故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由在上的投影向量的模長(zhǎng)為，則，.3．（23-24高一下·山東青島·期中）中，，，是外接圓圓心，是的最大值為（

）A．1 B． C．3 D．5【答案】C【分析】先利用正余弦定理和向量的數(shù)量積求得的代數(shù)式，進(jìn)而求得其最大值.【詳解】過(guò)點(diǎn)作、，垂足分別為、，如圖，因?yàn)槭峭饨訄A圓心，則、分別為、的中點(diǎn)，在中，，所以，即，即，，同理，則，由正弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以的最大值為.故選：C.4．（23-24高一下·黑龍江綏化·階段練習(xí)）在等腰中，為上一點(diǎn)，且，記的外心為，若，則（

）A．9 B．12 C． D．27【答案】C【分析】由等腰三角形及外心的性質(zhì)得到平分，利用正弦定理得到，從而得到，再利用余弦定理求出與